Beispiel
Ein rechtslaufender Carnot-Prozess mit dem Arbeitsmittel trockene Luft als kalorisch perfektes Gas starte bei einem Druck von 1 bar und einer Temperatur von 25 °C und verdichte diese zunächst isotherm auf 5 bar. Bei der anschließenden isentropen Verdichtung erreiche die Luft die maximale Prozesstemperatur von 1025 °C. Die Gaskonstante des Arbeitsmittels sei mit 287,12 $\frac{J}{kg \; K}$ gegeben.
- Ermitteln Sie die dimensionslosen Prozessparameter maximales Verdichtungsverhältnis, maximales Druckverhältnis und maximales Temperaturverhältnis!
- Welche spezifischen Wärmen werden im Prozess zu- und abgeführt?
- Wie hoch sind die spezifische Kreisprozessarbeit und der thermische Wirkungsgrad?
- Welche Leistung in kW könnte erreicht werden, wenn der Bauraum der Anlage beim Ansaugen des Arbeitsmittels einen Volumenstrom von 20 Liter pro Sekunde ermöglicht?
Ergebnisse sind auf fünf gültige Ziffern zu runden!
Gegeben:
Tmin = T1 = T2 = 298,15 K
Tmax = T3 = T4 = 1298,15 K
RL = 287,12 $\frac{J}{kg \; K}$
p1 = 1 bar = 100.000 $\frac{N}{m^2}$
p2 = 5 bar = 500.000 $\frac{N}{m^2}$
$\dot V$ = 0,02 $\frac{m^3}{s}$
Für das Arbeitsmittel wurde unterstellt, dass es sich um kalorisch perfektes Gas handeln soll. Man kann daher vom Idealgasverhalten und konstant bleibenden spezifischen Wärmekapazitäten ausgehen. Der Isentropenexponent für zweiatomiges Gas betrage nach kinetischer Gastheorie κ = $\frac{7}{5}$ = 1,4.
Hinweis zur Lösung:
Es ist sinnvoll, zunächst Druck, spezifisches Volumen und die thermodynamische Temperatur in allen Eckpunkten des Prozesses zu berechnen. Zweckmäßig geht man dabei so vor, dass man sich eine entsprechende Tabelle anlegt und zunächst die gegebenen Größen einträgt, hier nachfolgend fett gedruckt. Bei der Vervollständigung beginnt man mit den Größen, die in bestimmten Zustandspunkten konstant bleiben.
Zusammenstellung der Zustandsparameter in den Eckpunkten des Prozesses:
| $p$ in $bar$ | $\nu$ in $\frac{m^3}{kg}$ | $T$ in $K$ | |
| 1 | 1,0000 | 0,85605 | 298,15 K |
| 2 | 5,0000 | 0,17121 | 298,15 K |
| 3 | 861,16 | 0,0043282 | 1298,15 K |
| 4 | 172,23 | 0,021641 | 1298,15 K |
Lösung:
Im Zustandspunkt 1 und 2 sind jeweils Druck und Temperatur gegeben. Das spezifische Volumen als dritte Zustandsgröße kann über die Grundgleichung für ideales Gas berechnet werden.
$\nu_1 = \frac{R_L \cdot T_1}{p_1}= \frac{287,12 \frac{Nm}{kg \; K} \cdot 298,15 K}{100.000 \frac{N}{m^2}} = 0,85605 \frac{m^3}{kg}$
$\nu_2 = \frac{R_L \cdot T_2}{p_2}= \frac{287,12 \frac{Nm}{kg \; K} \cdot 298,15 K}{500.000 \frac{N}{m^2}} = 0,17121 \frac{m^3}{kg}$
Für Zustandspunkt 2 liegen nun alle drei Parameter vor, von Zustandspunkt 3 ist jedoch nu rein Parameter (die Temperatur) bekannt. Deshalb muss man auf Zustandsgleichungen zurückgreifen. Man benötigt damit auch die Information, welche Zustandsänderung von 2 → 3 stattfindet, hier eine isentrope Verdichtung. Die Ausgangssituation für 3 → 4 ist gleich, dort findet eine isentrope Entspannung statt.
$p_3 = p_2 \cdot \Bigl( \frac{T_3}{T_2} \Bigr)^{\frac{\kappa}{\kappa - 1}} = 5bar \cdot \Bigl( \frac{1298,15K}{298,15K} \Bigr)^{3,5} = 172,23bar $
$p_4 = p_1 \cdot \Bigl( \frac{T_4}{T_1} \Bigr)^{\frac{\kappa}{\kappa - 1}} = 1bar \cdot \Bigl( \frac{1298,15K}{298,15K} \Bigr)^{3,5} = 861,16 bar$
Für die Berechnung der spezifischen Volumina steht jetzt wieder die Grundgleichung für ideales Gas zur Verfügung, alternativ kann man aber auch isentrope Zustandsgleichungen verwenden.
$\nu_3 = \nu_2 \cdot \Bigl( \frac{T_2}{T_3} \Bigr)^{\frac{1}{\kappa - 1}} = 0,17121 \frac{m^3}{kg} \cdot \Bigl( \frac{298,15K}{1298,15K} \Bigr)^{2,5} = 172,23bar $
$\nu_4 = \nu_1 \cdot \Bigl( \frac{T_1}{T_4} \Bigr)^{\frac{1}{\kappa - 1}} = 0,85605 \frac{m^3}{kg} \cdot \Bigl( \frac{298,15K}{1298,15K} \Bigr)^{2,5} = 861,16 bar$
Die Genauigkeit dieses Ergebnisses hängt nicht von der Anzahl der Nachkommastellen, sondern von der Anzahl der gültigen Stellen (hier 5) ab!
- dimensionslose Prozessparameter (gerundet auf fünf gültige Ziffern)
$\epsilon = \frac{\nu_{max}}{\nu_{min}} = \frac{\nu_{1}}{\nu_{3}} = \frac{0,85606 \frac{m^3}{kg}}{0,0043282 \frac{m^3}{kg}} =197,78$
$\pi = \frac{p_{max}}{p_{min}} = \frac{p_3}{p_1} = \frac{861,16 bar}{1 bar} = 861,16 $
$\tau_{max} = \frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_4}{T_1} = \frac{1298,15 K}{298,15 K} = 4,3540 $ - Prozesswärmen
$q_{zu} = q_{34} = R_L \cdot T_3 \cdot ln \frac{p_3}{p_4} = 0,28712 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot 1298,15K \cdot ln \frac{861,16 bar}{172,23bar} = 599,88 \frac{kJ}{kg}$
$q_{ab} = q_{12} = R_L \cdot T_1 \cdot ln \frac{p_1}{p_2} = 0,28712 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot 298,15 K \cdot ln \frac{1bar}{5bar} = -137,78 \frac{kJ}{kg}$ - spezifische Kreisprozessarbeit und Carnotfaktor
$w = q_{zu} - \lvert q_{ab} \rvert = 599,88 \frac{kJ}{kg} - 137,78 \frac{kJ}{kg} = 462,1 \frac{kJ}{kg}$
$\eta_{th,C} = 1 - \frac{T_{min}}{T_{max}} = 1- \frac{T_2}{T_3} = 1 - \frac{298,12 K}{1298,12 K} = 0,77033$ oder auch
$\eta_{th,C} = \frac{w}{q_{zu}} = \frac{462,1 \frac{kJ}{kg}}{599,88\frac{kJ}{kg}} = 0,77032 $ Abweichung zu oben wegen ganz kleiner Rundungsfehler in den
Ausgangsgrößen! → Berechnungsgleichungen auswählen, die möglichst viele gegebene Größen enthalten! - Leistung in kW
$P = \dot m \cdot w = \rho_1 \cdot \dot V \cdot w = \frac{\dot V}{\nu_1} \cdot w = \frac{0,02 \frac{m^3}{s}}{0,85605 \frac{m^3}{kg}} = 462,1 \frac{kJ}{kg} = 10,796 kW$
Kommentar zu diesem Beispiel:
Der technischen Realisierung einer solchen Anlage stehen zwei Dinge entgegen:- Das hier, wie bei den meisten Carnot-Prozessabläufen extrem hohe maximale Druckverhältnis führt zu einer konstruktiv nicht wirtschaftlich auffangbaren Materialbelastung.
- Die isothermen Zustandsänderungen können technisch nicht verwirklicht werden, weil die dazu erforderliche Verweilzeit des Arbeitsmittels in dem betreffenden Anlagenteil trotz intensiver Kühlung nicht ausreicht. Man muss also auf andere Zustandsänderungen ausweichen! Dabei hat man aber eine Orientierung und kann versuchen, wenigstens abschnittsweise sich der isothermen Zustandsänderung zu nähern. Ein solches Vorgehen heißt carnotisieren und einen sehr gut mit einer unendlichen Zahl von Zwischenstufen approximierten isothermen Verlauf nennt man isothermal.
