Beispiel
In einem Produktionsprozess fallen pro Tag durch heißes Abwasser von 95 °C eine Wärme von 3,6 GJ an. Die Tagesmitteltemperatur der Umgebung betrage 18 °C.
- Welche mechanische Leistung in kW könnte daraus maximal gewonnen werden?
- Welcher prozentuale Anteil dieser Wärme ginge bei idealer Umwandlung zwangläufig technisch nicht weiter verwertbar an die Umgebung?
Gegeben:
maximale Prozesstemperatur: Tmax = (273,15 + 95,00) K = 368,15 K
minimale Prozesstemperatur: Tmin = (273,15 + 18,00) K = 291,15 K
zugeführte Wärme: Qzu = 3,6 GJ
Zeitraum: τ = 1 h = 3.600 s
Lösung:
- Ansatz mit dem Carnotfaktor als bestmöglicher Wirkungsgrad
$\begin{align} \eta_{th,C} & = \frac{W_{mech}}{Q_{zu}} = \frac{P_{mech} \cdot \tau}{Q_{zu}} = 1 \frac{T_{min}}{T_{max}}
\\ \eta_{th,C} & = \Bigl( 1 - \frac{T_{min}}{T_{max}} \Bigr) = \Bigl( 1 - \frac{291,15 K}{368,15 K} \Bigr) = 0,20915 \end{align} $
$P_{mech} = \eta_{th,C} \cdot \frac{Q_{zu}}{\tau} = 0,20915 \cdot \frac{3,6 \cdot 10^9 J}{3,6 \cdot 10^3 s} = 1 \cdot 10^6 W = 209,12kW $
Wenn Ihnen jemand an dieser Stelle ein Projekt für die vorgebliche Bereitstellung einer höheren Leistung vorschlägt, sollten Sie dies mit Hinweis auf den Carnotfaktor entschieden zurückweisen. - prozentualer Anteil der Wärme, die in mechanische Arbeit umgewandelt wird $W_{mech} = \eta_{th,C} \cdot Q_{zu} = 0,20915 \cdot 3,6 GJ = 0,75294 GJ $
Daraus ist die Wärme QAn zu ermitteln, die bei diesem Prozess nicht umgewandelt wird, aus $ Q_{An} = Q_{zu} - W_{mech} = 2,84706 GJ$
Anteil an der insgesamt eingesetzten Wärme $ \frac{Q_{An}}{Q_{zu}} = \frac{2,84706 GJ}{3,6 GJ} = 0,79085 $ das heißt:
Mehr als 79 % der im Prozess zur Verfügung gestellten Wärme verbleiben als technisch nicht verwertbar in der Umgebung. Für Ingenieure und Naturwissenschaftler ist hierbei keine Energie verloren gegangen, sondern an die Umgebung abgegeben worden. Diese Energie wird dann als Anergie bezeichnet (daher der Index „An“). Ökonomen, die diese an die Umgebung abgegebene Energie nicht mehr verkaufen können, sprechen von „Verlustenergie“. Für die Untersuchung einer Energieumwandlung nach dem Carnot-Prozess sind vor allem Wirkungsgrad und Kreisprozessarbeit bei gegebener minimaler und maximaler Temperatur und bei gegebenem minimalen und maximalen Druck von Interesse (manchmal verkürzt dargestellt durch das maximale Druckverhältnis p und das maximale Temperaturverhältnis τmax). Deshalb können dann oft folgende Größen als gegeben anzusehen sein:
T1 = T2 = Tmin sowie T3 = T4 = Tmax und p1 = pmin sowie p3 = pmax oder dimensionslos τmax und π:
Daraus resultieren zur Ermittlung der Zustandspunkte in den Eckpunkten des Carnot-Prozesses folgende prinzipielle Rechenabläufe:
Methode
| $p$ | $\nu$ | $T$ | Bemerkung | |
| 1 | $p_1 = p_{min}$ gegeben | $\nu_1 = \frac{R_i \cdot T_1}{p_1}$ | $T_1 = T_{min}$ gegeben | thermodynamische Temperatur! |
| 2 | $ p_2 = p_3 \cdot \Bigl( \frac{T_2}{T_3} \Bigr)^{\frac{\kappa}{\kappa - 1}}$ $p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{\nu_1}{\nu_2} $ | $\nu_2 = \nu_3 \cdot \Bigl( \frac{T_3}{T_4} \Bigr)^{\frac{1}{\kappa - 1}}$ $\nu_2 = \nu_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{p_1}{p_2}$ | $T_2 = T_{min}$ gegeben | isotherme Zustandsänderung Grundgleichung ideales Gasmuss gelten, wenn auch die spezifischen Volumina berechnet sind! |
| 3 | $p_3 = p_{max}$ gegeben | $\nu_3 = \frac{R_i \cdot T_3}{p_3}$ | $T_3 = T_{max}$ gegeben | aus zwei gegebenen Zu-standsvariablen kann die dritte durch die Grund-gleichung ideales Gas berechnet werden |
| 4 | $ p_4 = p_1 \cdot \Bigl( \frac{T_4}{T_1} \Bigr)^{\frac{\kappa}{\kappa - 1}}$ $p_4 = p_1 \cdot \frac{p_3}{p_2}$ | $\nu_4 = \nu_1 \cdot \Bigl( \frac{T_1}{T_4} \Bigr)^{\frac{1}{\kappa - 1}}$ $\nu_4 = \frac{R_i \cdot T_4}{p_4}$ | $T_4 = T_{max}$ gegeben | von 4 nach 1 findet eine isentrope Zustandsänderung statt |
