Der einstufige, offene Joule-Prozess wird durch folgende reversible Zustandsänderungen definiert:
1 → 2 isentrope Kompression (Verdichter)
2 → 3 isobare Wärmezufuhr (Brennkammer)
3 → 4 isentrope Expansion (Gasturbine)
4 → 1 isobare Wärmeabfuhr (Austausch mit der Umgebung)
Der Begriff„einstufig“ bezieht sich hier auch auf den Umstand, dass Verdichtung und Entspannung ohne eine Zwischenkühlung oder Zwischenerhitzung betrachtet werden. Der zyklische Ablauf der Zustandsänderungen erfolgt im Uhrzeigersinn (rechtslaufend).
Die im Prozess isobar zu- sowie abgeführte spezifische Wärme und daraus folgend die spezifische Kreisprozessarbeit bestimmst Du aus:
Methode
$ \begin{align} q_{zu} & = q_{23} = h_3 - h_2 = c_P \cdot (T_3 - T_2) \gt 0 \;\;\;\;\; & \Bigl[ q_{zu} \Bigr] = 1 \frac{kJ}{kg}
\\
\\ q_{ab} & = q_{41} = h_1 - h_4 = c_P \cdot (T_1 - T_4) \lt 0 \;\;\;\; & \Bigl[q_{ab} \Bigr] = 1 \frac{kJ}{kg}
\\ \lvert q_{ab} \rvert & = q_{14} = h_4 - h_1 = c_P \cdot (T_4 - T_1) \gt 0 &
\\
\\ w & = q_{zu} - \lvert q_{ab} \rvert = (h_3 - h_2) - (h_4 - h_1) \;\;\;\;\; & \Bigl[ w \Bigr]= 1 \frac{kJ}{kg}
\\ w & = c_P \cdot (T_3 - T_2) - (T_4 - T_1) = c_P \cdot (T_1 - T_2 + T_3 - T_4) &\end{align}$
Wichtige Prozessparameter für den Joule-Prozess sind das Druckverhältnis π aus dem Verhältnis der Drücke nach und vor der Verdichtung (maximaler zu minimalem Prozessdruck) sowie das maximale Temperaturverhältnis τmax aus dem Verhältnis von maximaler und minimaler Prozesstemperatur:
Methode
$\pi = \frac{p_{max}}{p_{min}} = \frac{p_2}{p_1} = \frac{p_3}{p_4} $
$\tau_{max} = \frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{T_3}{T_1} $
Für die beiden isentropen Zustandsänderungen im Joule-Prozess gilt:
$\frac{T_2}{T_1} = \Bigl( \frac{p_2}{p_1} \Bigr)^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} = \pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} = \Bigl( \frac{p_3}{p_4} \Bigr)^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} = \frac{T_3}{T_4}$
Aus dieser Beziehung lässt sich ableiten, in welchem Zusammenhang Temperaturen und Drücke im Joule-Prozess stehen.
Methode
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4} \; $ und $\; \frac{p_2}{p_1} = \frac{p_3}{p_4} $
Mit diesen beiden dimensionslosen Kennziffern π und tmax lässt sich die spezifische Kreisprozessarbeit w auch berechnen aus:
Methode
$w = \frac{\kappa}{\kappa - 1} R_i \cdot T_1 \cdot (1- \frac{1}{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}) \cdot (\tau_{max} - \pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}})$
Die spezifische Kreisprozessarbeit des Joule-Prozesses wächst also mit dem Verhältnis von minimaler zu maximaler Prozesstemperatur τmax und dem Verdichterdruckverhältnis ρ . Aber man kann maximales Temperaturverhältnis und maximales Druckverhältnis für den Prozess, dessen Ziel eine möglichst hohe spezifische Kreisprozessarbeit ist, nicht völlig unabhängig voneinander frei wählen. Für ein fest vorgegebenes maximales Temperaturverhältnis existiert genau ein optimales Druckverhältnis, mit dem eine maximale Ausbeute für die Kreisprozessarbeit erreicht wird.
Methode
$\large{\pi_{opt} = \tau_{max}^{\frac{\kappa}{2 \cdot (\kappa - 1)}}}$
In diesem Fall muss die Temperatur nach der Verdichtung der angesaugten Luft genau der Temperatur am Turbinenaustritt entsprechen, also T2,opt = T4. Du hast zwei Möglichkeiten aus minimaler und maximaler Prozesstemperatur die Temperatur T2,opt, bis zu der für die Gewinnung einer maximalen Kreisprozessarbeit verdichtet werden muss, zu errechnen:
Methode
$T_{2,opt} = T_1 \cdot (\pi_{opt})^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} = \sqrt{T_1 \cdot T_3}$
Die minimale Prozesstemperatur ist durch die Umgebungsbedingungen weitgehend festgelegt, die maximale Prozesstemperatur ergibt sich aus der gerade noch zulässigen Materialbelastung und sind in den meisten Fällen bekannte Größen in einem Gasturbinenprozess.
Im Gegensatz zum Carnot-Prozess erfolgen beim Joule-Prozess die Zu- und Abfuhr von Wärme nicht mehr ausschließlich bei maximaler und minimaler Arbeitsmitteltemperatur, sondern jeweils über einen bestimmten Temperaturbereich, der durch die isobaren Zustandsänderungen 2 → 3 sowie 4 → 1 überstrichen wird. Das Wirkungsgradverhalten des Joule-Prozesses ist demgemäß beschrieben durch einen Ansatz mit thermodynamischen Mitteltemperaturen $\overline{T}$ für Wärmezu- und Wärmeabfuhr.
Methode
$\eta_{th} = 1 - \frac{\overline{T}_{ab}}{\overline{T}_{zu}} \; $ mit
$\overline{T}_{zu} = \overline{T}_{23} = \frac{h_3 - h_2}{s_3 - s_2} = \frac{c_P \cdot (T_3 - T_2)}{c_P \cdot ln \frac{T_3}{T_2}} = \frac{(T_3 - T_2)}{ln \frac{T_3}{T_2}} \; $ und
$\overline{T}_{ab} = \overline{T}_{14} = \frac{h_4 - h_1}{s_4 - s_1} = \frac{c_P \cdot (T_4 - T_1)}{c_P \cdot ln \frac{T_4}{T_1}} = \frac{(T_4 - T_1)}{ln \frac{T_4}{T_1}}$
Die mittlere Temperatur für die Wärmezufuhr $\overline{T}_{zu}$ ist stets kleiner als die maximale Prozesstemperatur T3 und die mittlere Temperatur für die Wärmeabfuhr $\overline{T}_{ab}$ ist immer größer als die minimale Prozesstemperatur T1. Für gleiche minimale und maximale Prozesstemperaturen ist also der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses ηth,J stets kleiner als der des Carnot-Prozesses ηth,C. Der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses ergibt sich aus
Methode
$\eta_{th,J} = 1 - \frac{\lvert q_{ab} \rvert}{q_{zu}} = 1 - \frac{T_1}{T_2} = 1 - \frac{1}{\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}}$
Expertentipp
Beachte, dass in dieser Formel die Temperatur T1 zwar die minimale Prozesstemperatur ist, T2 aber nicht die maximale Temperatur wie für den Carnot-Prozess, sondern die Temperatur zum Ende der Verdichtung des Arbeitsmittels! Auch hieran siehst Du, dass der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses deutlich niedriger ausfällt als der eines vergleichbaren Carnot-Prozesses.
Für den einfachen reversiblen Joule-Prozess hängt der thermische Wirkungsgrad allein von Druckverhältnis π ab. Je höher das Druckverhältnis, desto höher fällt der Wirkungsgrad aus. Die Wirkungsgradgewinne werden jedoch zu höheren Druckverhältnissen hin kleiner, so dass der Steigerung der Druckverhältnisse wirtschaftliche Grenzen gesetzt sind.
Für die Prozessanalyse ist es oft sinnvoll, sich die thermischen Zustandsvariablen Druck p, spezifisches Volumen ν und Temperatur T in einer Tabelle zusammenzustellen. Dabei gehst Du zweckmäßig so vor:
| p | ν | T | Bemerkung | |
| 1 | $p_1 = p_{min}$ gegeben | $\nu_1 = \frac{R_i \cdot T_1}{p_1}$ | $T_1 = t_{min}$ gegeben | thermodynamische Temperatur! |
| 2 | $p_2 = p_1 \cdot \pi$ $p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{\nu_1}{\nu_2}$ | $\nu_2 = \nu_1 \cdot \pi^{-\frac{1}{\kappa}} = \nu_1 \Bigl( \frac{T_1}{T_2} \Bigr)^{\frac{1}{\kappa - 1}} $ $\nu_2 = \nu_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{p_1}{p_2}$ | $T_2 = T_1 \cdot \pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} $ $T_2 = T_1 \cdot \Bigl( \frac{\nu_1}{\nu_2} \Bigr)^{\kappa - 1}$ | 1 → 2:isentrope Zustandsänderung, π gegeben $\pi = \frac{p_{2}}{p_{1}} = \frac{p_{3}}{p_{4}} = \frac{p_{max}}{p_{min}}$ Grundgleichung ideales Gas setzt voraus, dass jeweils zwei Zustandsvariablen bekannt sind! |
| 3 | $p_3 = p_2$ $p_3 = \frac{R_i \cdot T_3}{\nu_3}$ | $\nu_3 = \nu_2 \cdot \frac{T_3}{T_2}$ $\nu_3 = \frac{R_i \cdot T-3}{p_3}$ $\nu_3 = \nu_2 \Bigl( 1 + \frac{\kappa - 1}{\kappa} \cdot \frac{q_{zu}}{R_L \cdot T_2} \Bigr)$ | $T_3 = T_{max}$ gegeben $T_3 = \tau_{max} \cdot T_1$ $T_3 = \frac{p_3 \cdot \nu_3}{R_i}$ $T_3 = T_2 + \frac{\kappa - 1}{\kappa} \cdot \frac{q_{zu}}{R_i}$ | 2 → 3: isobare Zustandsänderung $t_{max} = \frac{T3}{T1}$ gegeben qzu gegeben |
| 4 | $p_4 = p_1$ $p_4 = p_3 \cdot \frac{p_1}{p_2}$ | $\nu_4 = \nu_1 \cdot \Bigl( \frac{T_1}{T_4} \Bigr)^\frac{1}{\kappa - 1}$ $\nu_4 = \frac{R_i \cdot T_4}{p_4}$ $\nu_4 = \nu_3 \cdot \frac{\nu_1}{\nu_2}$ | $T_4 = T_3 \cdot \Bigl( \frac{1}{\pi} \Bigr)^\frac{\kappa - 1}{\kappa}$ $T_4 = T_3 \cdot frac{T_1}{T_2}$ | 3 → 4: isentrope Zustandsänderung $\frac{p_2}{p_1} = \Bigl( \frac{\nu_1}{\nu_2} \Bigr)^{\kappa} = \Bigl( \frac{T_2}{T_1} \Bigr)^\frac{\kappa - 1}{\kappa}$ |
Der Joule-Prozess ist eine radikale Idealisierung des praktischen Gasturbinenprozesses. Die auf dieser Basis errechneten thermischen Wirkungsgrade liegen deutlich höher als die im Betrieb tatsächlich messbaren. Für eine bessere Abbildung der Realität definiert man zusätzliche Wirkungsgrade, die durch Berücksichtigung von Irreversibilitäten oder Arbeitsmittelverlusten den Joule-Prozess entsprechend modifizieren.
Die wirkliche Verdichtung und wirkliche Expansion in einer Gasturbinenanlage erfolgen nicht isentrop, sondern polytrop mit Entropiezunahme. Die daraus resultierenden Endtemperaturen liegen demnach jeweils höher als bei rein reversibler Prozessführung. Außerdem sind innere Verluste, wie zum Beispiel Radreibungsverluste zwischen Laufrad und Fluid, Spaltverluste durch Rückströmung von einem Teil des geförderten Fluids sowie hydraulische Verluste durch Reibung und Strömungsablösung zu berücksichtigen.
Die oben genannten Abweichungen vom Idealprozess können im T,s-Diagramm nur summarisch dargestellt werden. Auf den Isobaren pmax und pmin sind jeweils die am Verdichtungs- und Expansionsende durch eine entsprechende Messung feststellbaren Temperaturen eingezeichnet. Mit diesen Temperaturen werden Gütegraden für die Verdichtung und Entspannung definiert, die man auch innere oder isentrope Wirkungsgrade nennt. Den tatsächlichen Zustandsverlauf von Verdichtung und Entspannung kennt man meist nicht. Für die Definition der Gütegrade reicht es aber aus, wenn man durch Messungen Anfangs- und Endzustand bestimmt. Den (angenommenen) Zustandsverlauf haben wir deshalb nur als gestrichelte Linie eingezeichnet.
Methode
- Verdichtung $\eta_{V,is}$
$\eta_{V,is} = \large{\frac{\Delta h_{V,is}}{\Delta h_{V,real}}}$
$\eta_{V,is} = \large{\frac{c_p \cdot \Delta T_{is}}{c_p \cdot \Delta T_{real}}} = \large{\frac{(T_{2,is} - T_1)}{(T_{2, real} - T_1)}}$ - Entspannung $\eta_{T,is}$
$\eta_{T,is} = \large{\frac{\Delta h_{Tis}}{\Delta h_{T,real}}}$
$\eta_{T,is} = \large{\frac{c_p \cdot \Delta T_{real}}{c_p \cdot \Delta T_{is}}} = \large{\frac{(T_{2, real} - T_1)}{(T_{2,is} - T_1)}}$
Für diese Berechnungsformeln müssen die real erreichten Endtemperaturen bei Verdichtung und Entspannung gemessen werden. Die Temperaturen bei den entsprechenden isentropen Zustandsänderungen kannst Du berechnen mit:
$T_{2,is} = T_1 \Bigl( \frac{p_{max}}{p_{min}} \Bigr)^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} = T_1 \cdot \pi ^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} \;\;\;\;\; T_{4,is} = T_3 \Bigl( \frac{p_{max}}{p_{min}} \Bigr)^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} = T_3 \cdot \frac{1}{\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}}$
Bei gegebenen Gütegraden (Herstellerangaben) können die realen Temperaturen bestimmt werden aus:
Methode
- Verdichtung
$\eta_{V,is} = \large{ \frac{T_1 \cdot (\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} - 1)}{T_{2, real} - T_1}} \;\;\;\;\;$ $ T_{2, real} = T_1 + \large{\frac{T_1}{\eta_{V,is}}} \cdot (\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} - 1)$ - Entspannung
$\eta_{T,is} = \large{\frac{T_3 - T_{4,real}}{T_3 \cdot \Bigl( 1 - \frac{1}{\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}} \Bigr)}} \;\;\;\; $ $T_{4, real} = T_3 - \eta_{T,is} \cdot T_3 \cdot \Bigl( 1 - \frac{1}{\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}}\Bigr)$
