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Thermodynamik - Variation der Prozessparameter beim Joule-Prozess

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Thermodynamik

Variation der Prozessparameter beim Joule-Prozess

Beispiel

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Variation der Prozessparameter beim Joule-Prozess

Eine Gasturbinenanlage arbeite nach dem Joule-Prozess zwischen der minimalen Temperatur von 15 °C (Ansaugtemperatur) und einer maximalen Temperatur von 1250 °C unmittelbar nach Verlassen der Brennkammer. Als Arbeitsmittel diene das perfekte Gas trockene Luft mit einer Gaskonstante von 287,12 $\frac{J}{(kg \; K)}$ und einem Isentropenexponenten von 1,40.

  1. Berechnen Sie die Temperatur nach der Verdichtung und die Turbinenaustrittstemperatur, den thermischen Wirkungsgrad, zu- und abgeführte spezifische Wärmen sowie die spezifische Kreisprozessarbeit, wenn das Druckverhältnis mit 12 gegeben ist!
  2. Berechnen Sie für die gegebenen Temperaturen das Druckverhältnis, das einen maximalen Wert für die spezifische Kreisprozessarbeit ermöglicht! Geben Sie für auch für diesen Fall alle in (a) gesuchten Parameter an!
  3. Berechnen Sie die Temperatur nach der Verdichtung und die Turbinenaustrittstemperatur, den thermischen Wirkungsgrad, zu- und abgeführte spezifische Wärmen sowie die spezifische Kreisprozessarbeit, wenn das Druckverhältnis mit 25 gegeben ist!
  4. Welcher thermische Wirkungsgrad und welche spezifische Kreisprozessarbeit ergeben sich, wenn bei einem Druckverhältnis von 25 für die Verdichtung ein isentroper Wirkungsgrad von 87 % und für die Entspannung von 92 % berücksichtigt wird?

Gegeben:

T1 = Tmin = 288,15 K  (15 °C)
T3 = Tmax = 1523,15 K  (1250 °C)

RL = 287,12 $\frac{J}{kg \; K}$
κ = 1,40

a. π = 12
c. π = 25

hV,is = 0,88
hT,is = 0,92

Hinweise zur Lösung:

Perfektes Gas ist ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität. Spezifische Wärmekapazität und Isentropenexponent hängen hier nicht von der Temperatur ab. Daraus folgt die temperaturunabhängige spezifische Wärmekapazität für konstanten Druck:

$c_p = \frac{\kappa}{\kappa - 1} \cdot R_L = \frac{1,4}{0,4} \cdot 287,12 \frac{J}{kg \; K} = 1004,92 \frac{J}{kg \; K} $

Das maximale Temperaturverhältnis beträgt hier $\tau_{max} = \frac{T_3}{T_1} = \frac{1523,15 K}{288,15 K} = 5,285962172 ≈ 5,285960 $.

Expertentipp

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Beachte, dass das maximale Temperaturverhältnis immer mit den thermodynamischen Temperaturen in Kelvin zu bilden ist!
Nach kinetischer Gastheorie beträgt der Isentropenexponent für zweiatomiges Gas κ = $\frac{7}{5}$. Deshalb gilt hier für den häufig verwendeten Exponenten $\frac{(\kappa – 1)}{\kappa} = \frac{2}{7}$.

Lösung:

  1. π = 12  (Druckverhältnis unter dem optimalen Druckverhältnis für die Kreisprozessarbeit)
    • Temperatur nach der Verdichtung:
      $T_2 = T_1 \cdot \pi^{\frac{(\kappa – 1)}{\kappa}} = 288,15K \cdot 12^{\frac{2}{7}} = 288,15K \cdot 2,03393701 = 586,08K$

    • Turbinenaustrittstemperatur:
      $T_4 = \frac{T_3}{\pi^{\frac{(\kappa – 1)}{\kappa}}} = \frac{1523,15K}{2,03393701} = 748,87K$ oder 

      $T_4 = \frac{T_3 \cdot T_1}{T_2} = \frac{1523,15K \cdot 288,15K}{586,08K} = 748,87K$

    • thermischer Prozesswirkungsgrad:
      $\eta_{th,J} = 1- \frac{1}{\large{\pi^{\frac{(\kappa – 1)}{\kappa}}}} = 1 - \frac{1}{12^{\frac{2}{7}}} = 0,50834 \;\;\; $ oder

      $\eta_{th,J} = 1- \frac{T_1}{T_2} = 1- \frac{288,15K}{586,08K} = 0,50834$

    • zu- und abgeführte Wärmen, spezifische Kreisprozessarbeit:

      $q_{zu} = h_3 - h_2 = c_p \cdot (T_3 - T_2) = 1,00492 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (1523,15K - 586,08K) = 941,68 \frac{kJ}{kg}$
      $q_{ab} = h_1 - h_4 = c_p \cdot (T_1 - T_4) = 1,00492 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (288,15K - 748,87K) = -462,99 \frac{kJ}{kg}$
      $w = q_{zu} + q_{ab} = \Bigl( 941,68 + (-462,99) \Bigr) \frac{kJ}{kg} = 478,69 \frac{kJ}{kg}$

      Zur Kontrolle für die Rechnung ermitteln wir den thermischen Wirkungsgrad noch einmal aus der Definitionsgleichung:

      $\eta_{th,J} = \frac{w}{q_{zu}} = \frac{941,68 \frac{kJ}{kg}}{478,69 \frac{kJ}{kg}} = 0,50834$


  2. Parameter bei optimalem Druckverhältnis
    $T_{2,opt} = \sqrt{T_1 \cdot T_3} = \sqrt{288,15K \cdot 1523,15K} = 662,49K$
    $\pi_{opt} = \frac{p_2}{p_1} = \Bigl( \frac{T_{2,opt}}{T_1} \Bigr)^{\frac{\kappa}{(\kappa - 1)}} = \Bigl( \frac{662,49 K}{288,15K} \Bigr)^{\frac{2}{7}} = 18,427 \;\;\;$ oder aus
    $\pi_{opt} = \frac{\kappa}{\tau^{2 \cdot (\kappa - 1)}_{max}} = 5,285962172^{\frac{7}{4}} = 18,427$

    Für die maximale Kreisprozessarbeit gilt T2 = T4 = 662,49 K. Eine Kontrollrechnung
    liefert $T_4 = \frac{T_1 \cdot T_3}{T_2} = \frac{288,15K \cdot 1523,15K}{586,08K} = 662,49 K$

    • thermischer Prozesswirkungsgrad:
      $\eta_{th,J} = 1- \frac{1}{\large{\pi^{\frac{(\kappa – 1)}{\kappa}}}} = 1 - \frac{1}{18,427^{\frac{2}{7}}} = 0,56505 $ oder $\eta_{th,J} = 1- \frac{T_1}{T_2} = 1- \frac{288,15K}{662,49 K} = 0,56505 $

    • zu- und abgeführte Wärmen, spezifische Kreisprozessarbeit:
      $q_{zu} = h_3 - h_2 = c_p \cdot (T_3 - T_2) = 1004,92 \frac{J}{kg \; K} \cdot (1523,15K - 662,49K) = 864,89 \frac{kJ}{kg} $
      $q_{ab} = h_1 - h_4 = c_p \cdot (T_1 - T_4) = 1004,92 \frac{J}{kg \; K} \cdot (288,15K - 748,87K) = - 376,18 \frac{kJ}{kg}$
      $w = q_{zu} + q_{ab} = \Bigl( 864,89 + (- 376,18) \Bigr) \frac{kJ}{kg} = 488,71 \frac{kJ}{kg}$

  3. π = 25 (Druckverhältnis über dem optimalen Druckverhältnis für Kreisprozessarbeit)
    • Temperatur nach der Verdichtung:
      $T_2 = T_1 \cdot \pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}= 288,15K \cdot 25^{\frac{2}{7}} = 288,15K \cdot 2,508484553 = 722,82K $

    • Turbinenaustrittstemperatur:
      $T_4 = \frac{T_3}{\large{\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}}} = \frac{1523,15K }{25^{\frac{2}{7}}} = \frac{1523,15K }{2,508484553} = 607,20K \;\;\;$ oder

    • thermischer Prozesswirkungsgrad:
      $\eta_{th,J} = 1- \frac{1}{\large{\pi^{\frac{(\kappa – 1)}{\kappa}}}} = 1 - \frac{1}{25^{\frac{2}{7}}} = 0,60135 \; $ oder
      $\eta_{th,J} = 1- \frac{T_1}{T_2} = 1- \frac{288,15K}{722,82K } = 0,60135 $

    • zu- und abgeführte Wärmen, spezifische Kreisprozessarbeit:
      $q_{zu} = h_3 - h_2 = c_p \cdot (T_3 - T_2) = 1,00492 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (1523,15K - 722,82K ) = 804,27\frac{kJ}{kg}$
      $q_{ab} = h_1 - h_4 = c_p \cdot (T_1 - T_4) = 1,00492 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (288,15K - 607,20K ) = -320,62\frac{kJ}{kg}$
      $w = q_{zu} + q_{ab} = \Bigl( 804,27 + (-320,62) \Bigr) \frac{kJ}{kg} = 483,65 \frac{kJ}{kg}$

      Die bis hierhin erzielten Ergebnisse bestätigen, dass der thermische Wirkungsgrad mit steigendem Druckverhältnis p stetig zunimmt, die spezifische Kreisprozessarbeit jedoch ein Optimum bei πopt»18,427 aufweist. Druckverhältnisse unter- oder oberhalb dieses Wertes führen auf eine geringere Ausbeute bei der Kreisprozessarbeit.

  4. Berücksichtigung der isentropen Gütegrade ηV,is = 0,88 und ηT,is = 0,92
    $T_{2,real} = T_1 + \frac{T_1}{\eta_{V,is}} \cdot \Bigl( \pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}} - 1 \Bigr) = 288,15K + \frac{288,15K}{0,88} \cdot \Bigl( 25^{\frac{2}{7}} - 1 \Bigr) = 782,09K$

    $T_{4,real} = T_3 - \eta_{T,is} \cdot T_3 \cdot \Bigl( 1 - \frac{1}{\pi^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}} \Bigr) = 1523,15K  - 0,92 \cdot 1523,15K \cdot \Bigl( 1 - \frac{1}{25^{\frac{2}{7}}} \Bigr) = 680,48K $

    $q_{zu} = \frac{\kappa}{\kappa - 1} \cdot R_L \cdot (T_3 - T_{2,real}) = \frac{7}{2} \cdot 0,28712 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (1523,15K - 782,09K) = 744,71 \frac{kJ}{kg}$

    $ \lvert q_{ab} \rvert = \frac{\kappa}{\kappa - 1} \cdot R_L \cdot (T_{4,real} - T_1) = \frac{7}{2} \cdot 0,28712 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot (680,48K - 288,15K) = 394,26 \frac{kJ}{kg}$

    $w = q_{zu} - \lvert q_{ab} \rvert =  (744,71 - 394,26 )\frac{kJ}{kg} = 350,45 \frac{kJ}{kg}$