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Thermodynamik - Prozessgröße mechanische Arbeit $W_{12}$

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Thermodynamik

Prozessgröße mechanische Arbeit $W_{12}$

Wir betrachten hier nur Erscheinungsformen mechanischer Arbeit, die zu Änderungen des inneren Systemzustandes (Druck, Volumen) führen. Unbeachtet bleibt die mechanische Arbeit, die zu leisten wäre, um das thermodynamische System als Ganzes im Raum zu verschieben.
Die an der Grenze eines geschlossenen Systems zu bilanzierende mechanische Arbeit nennen wir Volumenänderungsarbeit WV,12. Sie wird hergeleitet aus den Gesetzen der Mechanik für die Kraft F eines reibungsfrei, gasdicht in einem Zylinder eingepassten Kolben mit der Kolbenfläche A, der die infinitesimale Strecke dx zurücklegt.

$dW_V = F \cdot dx = -p \cdot A \cdot dx = -p \cdot dV $

Die Kolbenkraft F hält der gegenläufigen Kraft des auf die Kolbenfläche A wirkenden Gasdrucks p das Gleichgewicht.

Methode

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$W_{V,12} = - \int \limits_{1}^{2} p(V) \cdot dV$ oder massenspezifisch $w_{V,12} = - \int \limits_{1}^{2} p(v) \cdot dv $

$[W_{V,12}] = 1Nm$ $[w_{V,12}] = 1 \frac{Nm}{kg}$

Bei Integraldarstellungen in der Thermodynamik werden oft nicht die Integrationsgrenzen selbst, sondern nur die den Anfangs- und Endzustand charakterisierenden Indizes angegeben. Die „1“ steht  für Anfangszustand, die „2“ für Endzustand.

In der oben angegebenen Definitionsgleichung ist das Vorzeichen der reversiblen (sprich reibungsfreien) Volumenänderungsarbeit in Übereinstimmung mit der Vorzeichenfestlegung für die Bilanzierung bei zugeführter Arbeit (Kompression) positiv, da dv bei Volumenverringerung negativ wird. Umgekehrt führt freiwerdende Arbeit durch Expansion bei positivem dv auf einen negativen Wert der Volumenänderungs­arbeit.

Beispiel

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Quasistatische Volumenänderungsarbeit eines Kolbens im Zylinder

In einem mit Luft gefülltem Zylinder bewege sich ein gasdicht eingepasster Kolben reibungsfrei 22 cm in einer Zeit von 0,08 s in Richtung Zylinderdeckel. Dabei verringere sich das Luftvolumen von 10 Litern auf 2 Liter, wobei der Druck von 1 bar linear auf 5 bar steige.

  1. Findet hier eine quasistatische Zustandsänderung statt? Setzen Sie für die Geschwindigkeit des Schalls in der Luft 333 $m \over s $ an!
  2. Welche Volumenänderungsarbeit ergäbe sich rechnerisch, wenn man die Kolbenbewegung nach 5,5 cm kurz anhalten würde? Läge zu diesem Zeitpunkt ein Gleichgewichtszustand vor? Wie hoch wären Druck und Volumen bei dieser Kolbenstellung?
  3. Wie groß ist die Volumenänderungsarbeit für den vollen Kolbenhub von 22 cm? Wurde Volumenänderungsarbeit zu- oder abgeführt?
  4. Welche Nutzarbeit wurde für den vollen Kolbenhub an der Kolbenstange verrichtet? Der Umgebungsdruck entspreche exakt dem physikalischen Normdruck.

Gegeben:

$p_1 = 1 bar$$V_1 = 0,01 m^3$$V_2 = 0,002 m^3$$p_2 = 5 bar$
$\tau$= 0,08 s$l_1 = 0 m$$l_2 = 0,22 m$$l_x = 0,055 m$
$p_{amb} = 1,01325 bar$   

Hinweise für die Lösung:

Den linearen Anstieg des Drucks durch eine Gerade erfassen wir mit der so genannten Zweipunkte-gleichung: $p(V) = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(V - V_1)$ oder weil die Kolbenfläche A konstant ist: $p(l) = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{l_2 - l_1}(l - l_1)$

Zustandsverlauf

Somit ergibt sich für die Volumenänderungsarbeit:

$\begin{align} W_{V,12} & = - \int \limits_{1}^{2}(p_1 + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(V - V_1))dV
\\ & = - \biggl[p_1 \cdot V + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} \cdot \frac{1}{2}V^2 - \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} \cdot V_1 \cdot V \biggr]_{V_1}^{V_2}
\\ W_{V,12} & = - \biggl[p_1(V_2 - V_1) + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} \cdot \frac{1}{2} (V_2^2 -V_1^2) - \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} \cdot V_1 \cdot (V_2 - V_1) \biggr]
\\ W_{V,12} & = - \frac{1}{2}(p_1 + p_2) \cdot (V_2 - V_1) \end{align}$

Lösung:

  1. Art der Zustandsänderung
    Kolbengeschwindigkeit $v= \frac{l_2}{\tau}= \frac{0,22 m}{0,08 s} = 2,75 \frac{m}{s} $ << Schallgeschwindigkeit $333 \frac{m}{s}$
    Eine quasistatische Zustandsänderung überführt ein thermodynamisches System von einem    Gleichgewichtszustand 1 in einen neuen Gleichgewichtszustand 2 mit einer so niedrigen Geschwindigkeit, dass man den Prozess zu einem beliebigen Zeitpunkt anhalten könnte und dann einen Gleichgewichtszustand vorfinden würde. Kompression oder Expansion eines Gases in einem Zylinder kann solange als quasistatische Zustandsänderung angesehen werden wie die Kolbengeschwindigkeit wesentlich kleiner ist als die für den Druckausgleich im Gas maßgebliche Schallgeschwindigkeit.


  2. Berechnung der Volumenänderungsarbeit für lx = 0,055 m

    Bestimmung des erreichten Drucks: $p(l_x) = 1bar + \frac{(5-1)bar}{(0,22 - 0)m} \cdot 0,055m = 2bar$

    Bestimmung des zugehörigen Volumens aus der Zweipunktegleichung mit p(lx)

    $V(l=0,055m) = V_1 + \frac{p(l_x) - p_1}{p_2 - p_1}(V_2 - V_1) = 0,01 m^3 + \frac{1bar}{4bar} (0,002 - 0,01)m^3 = 0,008 m^3$

    $W_{V,1x} = - \int \limits_{1}^{x}( p_1 + \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}(V - V_1))dV$
    $W_{V,1x} = - \frac{1}{2}(p_1 + p_x) \cdot(V_x - V_1) = - \frac{1}{2} (1+2) \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot (8-10) \cdot 10^{-3}m^3 = +300 Nm$

  3. Volumenänderungsarbeit für den vollen Kolbenhub

    $W_{V,12} = - \frac{1}{2} (p_1 + p_2) \cdot (V_2 - V_1) = - \frac{1}{2}(1+5) \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot(2-10) \cdot 10^{-3} m^3 =+2.400 Nm$

    1. Antwortmöglichkeit: WV,12 > 0, also Arbeit wurde zugeführt
    2. Antwortmöglichkeit: Kompression erfordert Zuführung von Arbeit

  4. Berechnung der Nutzarbeit an der Kolbenstange

    $W_N = W_{V,12} + p_{amb} (V_2 - V_1) = 2,400Nm + 1,01325 \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot (2-10= m^3 = +1.589,4 Nm $


Die Volumenänderungsarbeit WV,12 wurde unter Vernachlässigung von Reibung hergeleitet. Sie spiegelt daher einen theoretischen (nämlich ausschließlich reversiblen) Prozessverlauf wieder. Praktisch tritt bei allen Prozessen Reibung auf, wodurch ein Teil der Energie entwertet wird. Mit dem Begriff Dissipation („Zerstreuung“ von Energie) erfassen wir nicht nur die Reibung, sondern auch andere Effekte, die zu einer Entwertung der Energie führen (diverse Licht-, magnetische und elektrische Effekte, Formänderungsarbeit und so weiter). Im Zusammenhang mit der Betrachtung der Bilanzgleichungen zum ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik werden wir dann erkennen, dass die Dissipationsenergie Wdiss,12  genau jenem Zuwachs innerer Energie (respektive Temperatur) eines geschlossenen Systems entspricht, der weder durch Verändern des Volumens (mechanische Arbeit) noch durch Wärmeübertragung bewirkt wird, sondern allein durch Entropieerzeugung in den real ablaufenden, dissipativen Prozessen.

Für die gesamte am geschlossenen System verrichtete Arbeit Wg,12 gilt damit:

Methode

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$W_{g,12} = W_{V,12} + W_{diss,12}$

Kompression und Expansion

In älterer Literatur findet man anstelle von dissipierter Arbeit Wdiss,12 oft die Bezeichnung Reibungswärme, weil diese Arbeit wie zugeführte Wärme wirkt.

Die Abbildung zeigt, dass bei der Verdichtung für die Verringerung des Volumens vom Anfangszustand V1 auf den Endzustand V2 bei reversibler Prozessführung eine geringere Volumenänderungsarbeit WV,12 erforderlich ist als bei Berücksichtigung von Dissipation (Reibung), wo die grau unterlegte Fläche als zusätzlicher Aufwand anfällt. Die Reibungswärme führt dann auch bei adiabaten Systemwänden zu einem höheren Druck. Analog folgt für die Expansion: Bei der Ausdehnung von V1 auf V2 wird der grau unterlegte Bereich auf dem rechten p,V-Diagramm nicht als Volumenänderungsarbeit frei, sondern dissipiert infolge auftretender Reibung zu Wärme. Im adiabaten System ist dann der Druck wegen „innerer“ Wärmezufuhr größer.

Nutzarbeit an der Kolbenstange

Die Volumenänderungsarbeit wird durch den Kolben auf das thermodynamische System eingeschlossenes Gas übertragen. Dabei ändern sich zwangsläufig nicht nur das Volumen im Zylinderinneren, sondern gleichfalls das Volumen der unter konstantem Umgebungsdruck pamb stehenden Umgebung. Die Volumenänderungsarbeit zerfällt daher in einen Anteil der dem System zugeführten Nutzarbeit an der Kolbenstange WN,12 und frei werdender Verschiebearbeit der Umgebung WU,12.

Methode

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$W_{V,12} = W_{N,12} + W_{U,12}$  mit  $ W_{U,12} = - \int \limits_{1}^{2} p_{amb} \cdot dV= - p_{amb} \cdot \Delta V = - p_{amb} \cdot (V_2 - V_1)$

Bei der Expansion ist zusätzlich die Verschiebearbeit WU,12 aufzuwenden, um den Kolben gegen den Umgebungsdruck pamb zu verschieben (siehe Abbildung Nutzarbeit an der Kolbenstange). Wegen dV > 0 und ΔV > 0 verringert die frei werdende sich die Volumenänderungsarbeit WV,12 um die Verschiebearbeit WU,12. Die technisch tatsächlich nutzbare frei werdende Arbeit nennt man Nutzarbeit an der Kolbenstange.

Bei der Kompression „unterstützt“ der Umgebungsdruck die Kolbenbewegung, so dass  wegen dV < 0 (damit WV,12 > 0) und ΔV < 0 die Nutzarbeit dort geringer ist als die Volumenänderungsarbeit WV,12.

Die Nutzarbeit an der Kolbenstange berechnet also zu:

Methode

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$W_{N,12} = W_{V,12} - W_{U,12} = - \int \limits_{1}^{2} p \cdot dV + p_{amb} (V_2 - V_1)= -\int \limits_{1}^{2} (p - p_{amb})dV$

Weder bei der Expansion noch bei der Kompression kann die Verschiebearbeit WU,12 im Prozess technisch genutzt werden, denn aus der notwendigen Verschiebung eines Volumens gegen den Umgebungsdruck in die Umgebung des thermodynamischen Systems ist zunächst eine zusätzliche Kraft zu überwinden.

Die reversible Arbeit am offenen System heißt technische Arbeit Wt,12 und ist definiert:

Methode

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${W}_{t,12} = \int \limits_{1}^{2} V(p) \cdot dp$ oder massenspezifisch  $ {w}_{t,12} = \int \limits_{1}^{2} v(p) \cdot dp$

$[W_{t,12}] = 1Nm$ $[w_{t,12}] = 1 \frac{Nm}{kg}$

Da es sich um offene Systeme handelt, kann in den betroffenen Gleichungen oft anstelle des Volumens ein Volumenstrom (Massenstrom) stehen. Für die Leistung ergibt sich deshalb:

Methode

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$P_{12} = \dot{W}_{t,12} = \int \limits_{1}^{2} \dot{V} \cdot dp$

$P_{12} = \dot{m} \cdot w_{t,12} = \rho \cdot \dot{V} \cdot w_{t,12}$

Volumenänderungsarbeit

Beispiel

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Kompression von Wasser durch Pumpe

Die Speisewasserpumpe in einem Wasser-Dampf-Kreislauf muss stündlich 450 m3 Kondensat bei einem Druck von 0,12 bar auf den Frischdampfdruck von 15 MPa bringen. Welche Leistung in MW ist dafür erforderlich, wenn man für die Pumpe einen verlustfreien Betrieb unterstellt?

Gegeben:
Kondensationsdruck p1 = pK = 0,12 bar 
Frischdampfdruck p2 = pF =  15 MPa = 150 bar
Volumenstrom $ \dot{V}$ = 450 $\frac{m^3}{h}$

Lösung:

Die Pumpe wird als offenes stoffdurchlässiges System mit einem Austritt (Index 2) und einem Eintritt (Index 1) modelliert. Für das Arbeitsmittel Wasser kann unterstellt werden, dass es inkompressibel ist.  Der Volumenstrom hängt also nicht vom Druck ab und kann deshalb als konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden.

$P = \int \limits_{1}^{2} \dot{V}dp = \dot{V} \cdot \int \limits_{1}^{2} dp = \dot{V} \cdot (p_2 - p_1)$

Maßeinheiten: $1 \frac{m^3}{s} \cdot 1Pa = 1\frac{m^3}{s} \cdot 1\frac{N}{m^2} = 1\frac{Nm}{s} = 1 \frac{Ws}{s} = 1W $

$P = \frac{450 m^3}{3.600 s} \cdot (150 - 0,12) \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} = 1,8735 MW \approx 1,9 MW $

Die gesamte, unter Einschluss der Dissipation geleistete Arbeit am offenen System nennen wir innere Arbeit Wi,12, die sich aus der reversiblen technischen Arbeit Wt,12 und der dissipierten Arbeit Wdiss,12 (Reibungswärme) zusammensetzt. Der Begriff „innere Arbeit“ orientiert sich hier an dem im Maschinenbau für Strömungsmaschinen üblichen Bezeichnung „innerer Wirkungsgrad“.

Methode

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$W_{i,12} = W_{t,12} +W_{diss,12} $

Kann man den Reibungsanteil Wdiss,12 für den zu untersuchenden Vorgang vernachlässigen, ist das Problem meist durch einfache Modelle für reversible Prozesse zu beschreiben und zu lösen. Solche theoretischen Prozesse wären auch ohne bleibende Veränderungen in der Umgebung umkehrbar. Bezieht man die Energiedissipation in die Betrachtung ein, sind irreversible (nicht umkehrbare) Prozesse zu analysieren. Dies ist für die Modellbildung naturgemäß schwerer und praktisch manchmal nur näherungsweise zu lösen.

Darüber hinaus ist als mechanische Arbeit noch die Wellenarbeit WW interessant. Ragt eine rotierende Welle in ein System hinein, wird an der Schnittfläche zur Systemgrenze durch die zu einem Kräftepaar zusammengefassten Schubspannungen Wellenarbeit WW  als Energie an das fluide Arbeitsmittel übertragen. Die rotierende Welle kann dem System Arbeit zuführen (Rührer, Turboverdichter), im offenen System auch Arbeit über die Welle abgeben (Turbine, Druckluftwerkzeug). Dem Fluid eines geschlossenen Systems kann Wellenarbeit nur zugeführt werden (irreversibler Prozess), weil es nicht möglich ist, diese Energie so zu speichern, dass sie bei einer Prozessumkehr als Wellenarbeit wieder abgegeben werden könnte. Reibungsspannungen zwischen ruhenden und von der Welle angeregten Fluidteilchen bewirken, dass die Wellenarbeit vollständig dissipiert als innere Energie im Fluid gespeichert wird. Die in einem solchen System gespeicherte innere Energie kann nur als Volumenänderungsarbeit WV,12 und/oder bei nicht adiabaten Systemen als Wärme Q12 abgegeben werden. Es gibt aber auch Systeme, die Wellenarbeit wieder abrufbar speichern können (Aufziehen einer Feder im Uhrwerk). Die gespannte Feder erhöht die innere Energie des Systems.

Die Bilanzierung der Wellenarbeit WW erfolgt immer genau an der Stelle, an der die Systemgrenze die Welle schneidet. Zu ihrer Berechnung werden über die Wellenleistung PW als Produkt aus Drehmoment Md und Winkelgeschwindigkeit ω (beziehungsweise über die aus der Mechanik bekannte Beziehung ω = 2π·nD mit der Drehzahl nD) nur Größen verwendet, die an der Systemgrenze eindeutig bestimmbar sind.

Methode

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$W_{W,12} = \int \limits_{1}^{2} P_W (\tau) \cdot d \tau = \int \limits_{1}^{2} M_d (\tau) \cdot \omega (\tau) \cdot d \tau = 2 \pi \int \limits_{1}^{2} M_d (\tau) \cdot n_D (\tau) \cdot d \tau $

Bei offenen Systemen geht zumeist nur die Wellenleistung PW  in die Bilanz ein, die nach obigen Formeln zu berechnen ist aus:

Methode

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$P_{W,12} = M_d \cdot \omega = 2 \pi \cdot M_d \cdot n_D $