ZU DEN KURSEN!

Thermodynamik - Prozessgröße Wärme $Q_{12}$

Kursangebot | Thermodynamik | Prozessgröße Wärme $Q_{12}$

Thermodynamik

Prozessgröße Wärme $Q_{12}$

Die Wärme Q  ([Q] = 1 kJ) ist eine Energie, die bei einem System mit nicht adiabater Grenze allein infolge von Temperaturunterschieden über die Systemgrenze tritt.

massenspezifisch: $q = \frac{Q}{m} \;\;\;\;\;\; [q] = 1\frac{kJ}{kg}$

stoffmengenspezifisch: $q_m = \frac{Q}{n} \;\;\;\;\;\; [q_m] = 1 \frac{kJ}{kmol} $ (index $m$ für molar!)

Bei offenen Systemen können mit Massenströmen $\dot{m}$ oder Stoffströmen $\dot{n}$ auch Wärmeströme $\dot{Q}$ über die Systemgrenze treten. (Das Formelzeichen $\tau$ steht für die Zeit.)

$\dot{m} = \frac{m}{\tau} \;\;\; [\dot{m}] = 1 \frac{kg}{s} \;\;\;\;\;\; \dot{Q} = \frac{Q}{\tau} \;\;\; [\dot{Q}]= 1kW$

Die für die Erwärmung eines Körpers von der Temperatur T1 auf T2 erforderliche Wärmemenge Q12 wächst mit der Masse m oder der Stoffmenge n und dem Betrag der Temperaturdifferenz ΔT = T2 – T1.

$Q_{12} \sim m \cdot \Delta T \;\;\;\;\;\; Q_{12} \sim n \cdot \Delta T$

Der zugehörige Proportionalitätsfaktor heißt spezifische Wärmekapazität c (auf die Masse m bezogen $[c] = 1 \frac{kJ}{(kg K)}$ oder spezifische molare Wärmekapazität cm (auf die Stoffmenge n bezogen $[c_m] = 1 \frac{kJ}{(kmol K)}$. Sie ist eine charakteristische Stoffeigenschaft und wie Messungen ergeben haben für Feststoffe sowie Flüssigkeiten von der Temperatur abhängig, für Gase zusätzlich noch vom Druck und der Art der Zustandsänderung.

Mit der Einführung des Proportionalitätsfaktors spezifische Wärmekapazität entsteht die Grundgleichung der klassischen Kalorik.

Methode

$ Q_{12} = m \cdot \int \limits_{1}^{2}{c(T)dT} \;\;\;\;\;\; Q_{12} = n \cdot \int \limits_{1}^{2}{ c_m (T)dT} \;\;\;\;\;\; [Q_{12}] = 1kJ$

Die rechnerische Auswertung dieser Gleichung kann sich, insbesondere wenn ein größerer Temperaturbereich überstrichen wird, wegen des dann meist nur aufwändig zu beschreibenden Zusammenhangs c = c(T) oder c = c(t)  beliebig verkomplizieren. Deshalb arbeitet man gern mit über den betreffenden Temperaturbereich gemittelten spezifischen Wärmekapazitäten.

Methode

$\begin{align} Q_{12} & = m \cdot \overline{c} \lvert_{t_2}^{t_1} \cdot (t_2 - t_1) \;\;\;\;\;\; & Q_{12} = n \cdot \overline{c}_m \lvert_{t_2}^{t_1} \cdot (t_2 - t_1)
\\ q_{12} & = \overline{c} \lvert_{t_2}^{t_1} \cdot (t_2 - t_1) \;\;\;\;\;\; & q_{m,12} = m \cdot \overline{c}_m \lvert_{t_2}^{t_1} \cdot (t_2 - t_1) \end{align} $

Hinweis

Die Temperaturdifferenz wird hier immer gebildet aus Endtemperatur minus Anfangstemperatur, unabhängig davon welche Indizes verwendet werden.

Hinweis

Unabhängig davon, ob man die Temperatur in °C oder in K verwendet, eine entsprechende Temperaturdifferenz ist immer in K anzugeben!

Beispiel

Definition der Maßeinheit kcal

Mit Grundgleichung der Kalorik wurde die früher übliche Maßeinheit kcal für die Wärmemenge definiert. Als so genannte 15 Grad Kilokalorie war diejenige Wärmemenge anzusehen, die zur Erwärmung von 1 kg Wasser von 14,5 °C auf 15,5 °C bei 760 Torr (1,01325bar) erforderlich ist. Der spezifischen Wärmekapazität von Wasser in dem genannten Temperaturbereich wurde dabei willkürlich der Wert 1 $\frac{kcal}{(kg \; grd)}$ zugeordnet. Temperaturdifferenzen gab man damals nicht in Kelvin, sondern in Grad (grd) an.

$Q = m \cdot c \cdot \Delta t$

$1 kcal = 1 kg \cdot 1 \frac{kcal}{kg \; grd} \cdot 1grd = 1 kg \cdot 4,1855 \frac{kJ}{kg K} \cdot (15,5°C - 14,5°C) = 4,1855 kJ $

Achtung! (15,5°C - 14,5°C) = 1K

Die Funktion, die für jede Temperatur t einem Stoff genau eine spezifische Wärmekapazität c zuordnet, nennt man seine wahre spezifische Wärmekapazität c = c(t). Entsprechende Werte liegen in der Fachliteratur in Form von Tabellen oder als Polynomgleichungen vor. Die über einen bestimmten Temperaturbereich gemittelten spezifischen Wärmekapazitäten erhält man aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.

$$ \overline{c} \lvert_{t_2}^{t_1} = \frac{\int \limits_{1}^{2} c(t) dt}{t_2 - t_1}$$

Ist die wahre spezifische Wärmekapazität eine lineare Funktion der Temperatur (bei kleinen Temperaturdifferenzen fast immer eine gute Näherung) folgt

$$ \overline{c} \lvert_{t_2}^{t_1} = \frac{c(t_2) + c(t_1)}{2}$$

spezifische Wärmekapazität

Liegt die wahre spezifische Wärmekapazität c = c(t) in Form einer Tabelle vor, kann das Integral vorteilhaft mit Hilfe einer numerischen Integration (Kepler´sche Fassregel oder Simpson´sche Regel) ausgewertet werden. Die Kepler´sche Fassregel integriert Polynome bis dritten Grades exakt und wird mathematisch wiedergegeben durch:

$$ \int \limits_{1}^{2} c(t)dt \approx \frac{t_2 - t_1}{6} \cdot (c(t_1) + 4 \cdot c(\frac{t_1 + t_2}{2}) + c(t_2))$$

Mit diesem Ansatz ist die mittlere spezifische Wärmekapazität zwischen der Temperatur t1 und t2  bestimmbar aus:

Methode

$$ \overline{c} \lvert_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{6} \cdot (c(t_1) + 4 \cdot c(\frac{t_1 + t_2}{2}) + c(t_2))$$

In dieser Bestimmungsgleichung fällt auf, welches hohe Gewicht der Wert der spezifischen Wärmekapazität in der Mitte des Temperaturintervalls für die Ermittlung der temperaturgemittelten  spezifischen Wärmekapazität insgesamt hat. In erster Näherung verwendet man daher mitunter die wahre spezifische Wärmekapazität in der Mitte des betreffenden Temperaturintervalls als die mittlere spezifische Wärmekapazität für den gesamten Temperaturbereich.

Stoffwertsammlungen enthalten auch mitunter Tabellen, in denen nicht die wahre spezifische Wärmekapazität, sondern die mittlere spezifische Wärmekapazität zwischen 0 °C und einer bestimmten Temperatur t dargestellt ist. Eine Erweiterung auf beliebige Temperaturbereiche gelingt dann relativ einfach mit dem Ansatz, dass eine zur Erzeugung des Temperatursprunges von t1 auf t2 erforderliche Wärme darstellbar sein muss als Differenz zwischen der Wärme für den Temperatursprung von 0 °C auf  t2 und der von 0 °C auf t1.

Methode

$$ q_{12} = q_{02} - q_{01} \;\;\; \;\;\; \overline{c} \lvert_{t_1}^{t_2} \cdot(t_2 - t_1) = \overline{c} \lvert_{0°C}^{t_2} \cdot(t_2 - 0°C) - \overline{c} \lvert_{0°C}^{t_1} \cdot (t_1 - 0°C) $$

Die Terme mit dem Faktor 0 °C verschwinden, so dass folgt:

$$ \overline{c} \lvert_{t_1}^{t_2} = \frac{\overline{c} \lvert_{0°C}^{t_2} \cdot t_2 - \overline{c} \lvert_{0°C}^{t_1} \cdot t_1}{(t_2 - t_1)}$$

Bei allen Stoffen ist die spezifische Wärmekapazität abhängig vom Stoff selber, von seinem Aggregatzustand (fest, flüssig und gasförmig) sowie von seiner Temperatur. Bei Flüssigkeiten und Gasen tritt noch ein gewisser Einfluss des Drucks hinzu. Aus dem Physikunterricht in der Schule wissen wir, dass speziell für Gase die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (cp) von der bei konstantem Volumen (cV) zu unterscheiden ist, also außerdem noch von der konkreten Prozessführung abhängt. Das werden wir später noch genauer analysieren.

Die praktisch auftretenden Unterschiede in den spezifischen Wärmekapazitäten für Feststoffe, Flüssigkeiten und Gase zeigt Tabelle 1.1. Auffallend ist, dass Flüssigkeiten höhere spezifische Wärmekapazitäten aufweisen als Feststoffe. Bei den Flüssigkeiten besitzt Wasser die höchsten Werte für die spezifische Wärmekapazität. Daher nutzt man Wasser häufig als Speichermedium für Wärme. In der Natur sorgt die große Wärmespeicherfähigkeit von Wasser für das milde Klima am Meer. Längere Aufheizvorgänge im Sommer bewirken nur schwach steigende Temperaturen, im Winter verhindert die langsame Abkühlung einen starken Temperaturrückgang.

Sofern sich der Aggregatzustand nicht ändert, steigt in der Regel die spezifische Wärmekapazität mit wachsender Temperatur. Lediglich bei der spezifischen Wärmekapazität von einatomigen Gasen ist keine Temperaturabhängigkeit festzustellen, denn diese Gase entsprechen sehr gut dem Modell ideales Gas.

Die Funktion c = c(T) kann bei Feststoffen abweichend vom monotonen Wachsen mit der Temperatur sprunghafte Änderungen der spezifischen Wärmekapazität aufweisen, wenn mit Erhöhung der Temperatur innere Umwandlungen der Kristallstruktur einhergehen, zum Beispiel bei dem Mineral Gips, wenn bei entsprechend hohen Temperaturen Wasser ausgetrieben wird.

 

Tabelle 1.1: Wahre spezifische Wärmekapazität in $\frac{kJ}{(kg K)}$ bei 1013,25 mbar und 25 °C für verschiedene Stoffe.
FeststoffeFlüssigkeitenGase
Aluminium (Al)0,896Methanol (CH3OH)2,506Wasserstoff (H2)14,290
Eisen (Fe)0,452Ethanol (C2H5OH)2,400Helium (He)5,193
Messing0,384Aceton (C3H6O)2,162Butan (C4H10)1,658
Kupfer (Cu)0,382Benzol (C6H6)1,056Argon (Ar)0,523
Silber (Ag)0,235Quecksiler (Hg)0,139Chlor (Cl)0,474

Entnimmt man spezifische Wärmekapazitäten Stoffwertsammlungen, muss darauf geachtet werden, ob die wahre spezifische Wärmekapazität c = c(t) oder die über einen bestimmten Temperaturbereich (meist zwischen 0 °C und einer Temperatur t) tabelliert ist. Bei Gasen wird außerdem in den meisten Fällen die spezifische Wärmekapazität für konstanten Druck als Stoffwert zur Verfügung gestellt. Benötigt man Werte für konstantes Volumen, sind diese mit der jeweils individuellen Gaskonstante über den Zusammenhang cV = cp – Ri zu ermitteln.

Tabelle 1.2: Wahre spezifische Wärmekapazität von Wasser bei einem Druck von 1 bar.
t in °Cc(t) in $\frac{kJ}{kg \; K}$t in °Cc(t) in $\frac{kJ}{kg \; K}$
04,219554,181
54,205604,183
104,195654,185
154,189704,188
204,185754,192
254,182804,196
304,180854,200
354,179904,203
404,179954,211
454,17999,614,216
504,180  
Tabelle 1.3: Mittlere spezifische Wärmekapazität für konstanten Druck zwischen 0 °C und einer Temperatur t bei 1 bar in $\frac{kJ}{(kg K)}$ von einigen Gasen.
tWasserstoff (H2) LuftKohlendioxid (CO2)
014,201,0040,8169
10014,341,0078,673
20014,421,0120,9118
30014,451,0190,9505
40014,481,0290,9846
50014,511,0391,0148
60014,541,0501,0471
70014,591,0611,0659
80014,641,0711,0875
90014,711,0821,1070
100014,781,0911,1248
110014,861,1011,1409
120014,941,1091,1554
130015,021,1171,1688

Je nach Situation sind für die Bestimmung der mittleren spezifischen Wärmekapazität im interessierenden Temperaturbereich die numerische Integration mit einer geeigneten Integrationsformel oder der kalorische Ansatz heranzuziehen.

Beispiel

Numerischer Ansatz für eine temperaturgemittelte spezifische Wärmekapazität

Welchen Wert besitzt die mittlere spezifische Wärmekapazität für Wasser zwischen 0 °C und dem Siedepunkt bei einem Druck von 1 bar (99,61 °C)?

Hinweise für die Lösung:
Als Quelle für die Stoffwerte steht uns hier die wahre spezifische Wärmekapazität von Wasser in Tabelle 1.2 zur Verfügung. Der Einfachheit halber runden wir die exakte Temperatur für den Siedepunkt von Wasser von 99,61 °C auf  100 °C auf. Tatsächlich siedet Wasser bei einem Druck von 1,01325 bar bei 100 °C. Für die Bestimmung der mittleren spezifischen Wärmekapazität verwenden wir eine numerische Integration.

Für die Ermittlung eines Mittelwertes greifen wir auf eine numerische Integration zurück, im einfachsten Fall auf die Keppler´sche Fassregel (integriert Polynome bis 3. Grades exakt):

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x)dx = \frac{b-a}{6} \cdot (f(a) + 4 \cdot f(\frac{a+b}{2}) + f(b))$$

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ist außerdem: $ \int \limits_{a}^{b} f(x)dx = \overline{f}(x) \lvert_{a}^{b} \cdot (b-a)$

Angewandt auf die Temperaturmittlung der spezifischen Wärmekapazität folgt daraus:

$$ \overline{c} \lvert_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{6}(c(t_1) + 4 \cdot c(\frac{t_1 + t_2}{2}) + c(t_2))$$

Gegeben:
Stoffwerte für Wasser aus Tabelle 1-2:
$ \begin{align} c(0°C) & = 4,219 \frac{kJ}{(kg K)}
\\ c(50°C) & = 4,180 \frac{kJ}{(kg K)}
\\ c(100°C) & = 4,216 \frac{kJ}{(kg K)} \end{align} $

Lösung:

$ \begin{align} \overline{c} \lvert_{t_1}^{t_2} & = \frac{1}{6}(c(t_1) + 4 \cdot c(\frac{t_1 + t_2}{2}) + c(t_2))
\\ \overline{c} \lvert_{0°C}^{100°C} & = \frac{1}{6}(c(0°C) + 4 \cdot c(50°C) + c(100°C))
\\ & = \frac{1}{6}(4,219 + 4 \cdot 4,18 + 4,216) \frac{kJ}{(kg K)}
\\ & = 4,1925 \frac{kJ}{(kg K)} \end{align} $

Das hier gewonnene Ergebnis kann in der Genauigkeit noch gesteigert werden, wenn man bei der numerischen Integration durch Teilung des Temperaturintervalls die Zahl der Stützstellen vergrößert.

$$ \int \limits_{0°C}^{100°C} c(t)dt = \int \limits_{0°C}^{50°C} c(t)dt +\int \limits_{50°C}^{100°C} c(t)dt $$

und daraus

$ \begin{align} \overline{c} \lvert_{0°C}^{100°C} & = \frac{\frac{50K}{6}(c(0°C) + 4 \cdot c(25°C) + c(50°C)) +\frac{50K}{6}(c(50°C) + 4 \cdot c(75°C) + c(100°C))}{100K}
\\ \overline{c} \lvert_{0°C}^{100°C} & = \frac{\frac{50K}{6}(4,219+ 4 \cdot 4,182 + 4,18) \frac{kJ}{kg \; K} +\frac{50K}{6}(4,18 + 4 \cdot 4,192 + 4,216)\frac{kJ}{kg \; K}}{100K}
\\ & = 4,1909 \frac{kJ}{kg \; K}
\end{align} $

Beispiel

Mittlere spezifische Wärmekapazität über kalorischen Ansatz

Welchen Wert besitzt die mittlere spezifische Wärmekapazität für Luft zwischen 200 °C und 600 °C?

Hinweise für die Lösung:
Als Quelle für die Stoffwerte verfügen wir über Tabelle 1-3, wo die mittlere spezifische Wärmekapazität zwischen 0 °C und einer bestimmten Temperatur t aufgeführt ist. Wir müssen deshalb den kalorischen Ansatz verwenden.

Gegeben:
Stoffwerte aus Tabelle 1-3:
$ \begin{align} \overline{c} \lvert_{0°C}^{200°C} & = 1,012 \frac{kJ}{(kg \; K)}
\\ \overline{c} \lvert_{0°C}^{600°C} & = 1,050 \frac{kJ}{(kg \; K)}
\end{align} $

Lösung:

$ \begin{align} \overline{c} \lvert_{t_1}^{t_2} & = \frac{\overline{c} \lvert_{0°C}^{t_2} \cdot t_2 - \overline{c} \lvert_{0°C}^{t_1} \cdot t_1}{(t_2 - t_1)}
\\ \overline{c} \lvert_{200°C}^{600°C} & = \frac{\overline{c} \lvert_{0°C}^{600°C} \cdot 600°C - \overline{c} \lvert_{0°C}^{200°C} \cdot 200°C}{(600°C - 200°C)}
\\ \overline{c} \lvert_{200°C}^{600°C} & = \frac{1,050 \frac{kJ}{(kg \; K)} \cdot 600°C - 1,012 \frac{kJ}{(kg \; K)} \cdot 200°C}{(600°C - 200°C)}
\\ & = 1,069 \frac{kJ}{(kg \; K)}
\end{align} $

Hier fällt zunächst auf, dass der ermittelte Wert größer ist als die beiden Ausgangswerte. Das ist kein Fehler, sondern folgt zwangsläufig aus der Tatsache, dass die wahre spezifische Wärmekapazität von Luft eine mit der Temperatur stetig wachsende Funktion ist.

Der Anfänger stutzt manchmal hier beim Kürzen der Maßeinheit für die Temperatur: im Nenner stehen 400 K, im Zähler Grad Celsius. Machen Sie sich dabei klar, dass auch im Zähler genau genommen Temperaturdifferenzen zu 0 °C stehen. Die scheinbaren Unklarheiten entstehen nur durch das Weglassen der Terme, die mit 0 °C zu multiplizieren sind!

Mit der Grundgleichung der Kalorik können wir die früher auch im wissenschaftlichen Sprachgebrauch völlig synonym verwendeten Begriffe Temperatur und Wärme auseinanderhalten. Die Temperatur ist eine Zustandsgröße, Wärme eine Prozessgröße. Temperaturdifferenzen lösen bei nicht adiabate Systemgrenzen den Prozess Wärmetransport aus.

Die Wärmeübertragung in Wärmeübertragern basiert genau auf diesen Zusammenhängen und ist mit diesem Wissen einer ersten Analyse zugänglich.

Beispiel

Einfache Berechnung eines Wärmeübertragers

Es besteht der Bedarf an 70 °C heißen Wassers, das durch Erwärmung von Brunnenwasser mit einer Temperatur von 10 °C gewonnen werden soll. Zur Gewinnung des erwärmten Wassers steht ein Abhitzekessel, der einer Gasturbine nachgeschaltet ist, zur Verfügung. In den Abhitzekessel trete 191,4 $\frac{kg}{s}$ Turbinenabgas (zum absolut überwiegenden Teil heiße Luft) mit einer Temperatur von 600 °C ein und verlasse den Abhitzekessel mit 300 °C, um dann über einen Kamin abgeleitet zu werden.

  1. Ermitteln Sie die temperaturgemittelten spezifischen Wärmekapazitäten von Heiz- und Kühlmedium!
  2. Welcher Massenstrom Wasser mit 70 °C in $t \over h$ kann so geliefert werden?

Gegeben:
$ \begin{align} t^{´}_{1} & = 600°C ; \;\; t^{n}_{1} = 300°C
\\ t^{´}_{2} & = 10°C ; \;\;t^{n}_{2} = 70°C
\\ \dot{m}_{1} & = 191,4 \frac{kg}{s} \end{align} $

Hinweise für die Lösung:
Bei einem Abhitzekessel betrachten wir einen Wärmeübertrager, bei dem ein Heizmedium mit einer festen Wand von einem Kühlmedium getrennt ist (Temperaturänderung durch Vermischung ist ausgeschlossen). Einen solchen Wärmeübertrager nennt man auch Rekuperator. Unterstellen wir für den Rekuperator ein offenes System mit adiabaten Systemwänden außen, wird in seinem Inneren ein Wärmestrom vom Heizmedium (Teilsystem 1) abgegeben und ein betragsmäßig gleicher Wärmestrom vom Kühlmedium (Teilsystem 2) aufgenommen. Für eine vereinfachte Berechnung werden nur die wechselseitigen Wirkungen dieser beiden Teilsysteme untersucht, die Wirkungen auf die Umgebung zumeist vernachlässigt. Für die Berechnung von Wärmeübertragern hat sich eine spezielle Indizierung der relevanten Größen durchgesetzt. Alle das Heizmedium betreffende Größen erhalten den Index „1“, alle Größen mit Bezug auf das Kühlmedium den Index „2“. Die Temperaturen der Stoffströme am Eintritt in den Wärmeübertrager sind in einem oberen Index mit einem Beistrich (´), die am Austritt mit zwei Beistrichen (´´) gekennzeichnet. So bedeutet dann zum Beispiel die Austrittstemperatur des Heizmediums aus dem Wärmeübertrager.

Die abgegebene Wärme des Teilsystems 1 ist nach den eingeführten Vorzeichenvereinbarungen negativ zu bilanzieren und die entsprechend vom Kühlmedium aufgenommene Wärme positiv, also

$ - \dot{Q}_{ab} = \dot{Q}_{auf} $ oder $ - \dot{m}_{1} \cdot \overline{c}_{1} \cdot (t^{´´}_{1} - t^{´}_{1}) = \dot{m}_{2} \cdot \overline{c}_{2} \cdot (t^{´´}_{2} - t^{´}_{2})$

Praktiker verwenden manchmal nicht die formale thermodynamische Schreibweise dieser Bilanzgleichung, sondern betrachten durch Vertauschung von Endzustand und Anfangszustand beim Heizmedium nur die Beträge der Wärmeströme, also wegen $ t^{´}_{1} \gt t^{´´}_{1}$

$ \lvert \dot{Q}_{ab} \rvert = \dot{Q}_{auf} $ oder $ \dot{m}_{1} \cdot \overline{c}_{1} \cdot (t^{´}_{1} - t^{´´}_{1}) = \dot{m}_{2} \cdot \overline{c}_{2} \cdot (t^{´´}_{2} - t^{´}_{2}) $

Lösung:

  1. temperaturgemittelte spezifische Wärmekapazitäten

    heiße Abluft: Es liegen nur mittlere spezifische Wärmekapazitäten in Tabelle 1.3 vor, also kalorischer Ansatz:
    $\begin{align} \overline{c}_{1} \lvert_{300°C}^{600°C} & = \frac{\overline{c} \lvert_{0°C}^{600°C} \cdot 600°C - \overline{c} \lvert_{0°C}^{300°C} \cdot 300°C}{600°C - 300°C} \\ & = \frac{1,050 \frac{kJ}{(kg \; K)} \cdot 600°C - 1,019 \frac{kJ}{(kg \; K)} \cdot 300°C}{300K} \\ & = 1,081 \frac{kJ}{(kg \; K)} \end{align} $

    Wasser: Es liegen nur die wahren spezifischen Wärmekapazitäten aus Tabelle 1.2 vor, also numerische Integration mit Keppler´scher Fassregel:
    $ \begin{align} \overline{c}_{2} \lvert_{10°C}^{70°C} & = \frac {1}{6} \cdot (c(10°C) + 4 \cdot c(40°C) + c(70°C))
    \\ & = \frac {1}{6} \cdot (4,195 + 4 \cdot 4,179 + 4,183) \frac{kJ}{(kg \; K)}
    \\ & =  4,183 \frac{kJ}{(kg \; K)} \end{align} $

  2. Massenstrom des erwärmten Wassers aus der Bilanzgleichung
    $\begin{align} \dot{m}_2 & = \dot{m}_1 \cdot \frac{\overline{c}_1 \cdot (t^{´}_{1} - t^{´´}_{1})}{\overline{c}_2 \cdot (t^{`´}_{2} - t^{´}_{2})}
    \\ \dot{m}_2 & = 191,4 \frac{kg}{s} \cdot \frac{1,081 \frac{kJ}{(kg \; K)} \cdot 300K}{4,183 \frac{kJ}{(kg \; K)} \cdot 60K}
    \\ & = 247,3146067 \frac{kg}{s} \cdot \frac{1t}{100kg} \cdot \frac{3600s}{1h}
    \\ &  \approx 890,33 \frac{t}{h}\end{align} $

Außerdem ist man mit der Grundgleichung der Kalorik in der Lage, bestimmte Ausgleichsprozesse zu analysieren.

Beispiel

Bestimmung einer Ausgleichstemperatur

Ein Aluminiumbehälter, dessen Leermasse 2,5 kg betrage und der eine konstante Temperatur von 18°C aufweise, enthalte 8,5 Liter Wasser gleicher Temperatur und befinde sich zunächst mit seiner Umgebung im thermodynamischen Gleichgewicht. In diesen Behälter werden dann gleichzeitig 6,1 Liter Wasser mit 10°C und 5,2 Liter Wasser mit 21 °C gefüllt. Die spezifische Wärmkapazität des Aluminiums sei mit 888 $\frac{J}{(kg \; K)}$ gegeben.

  1. Welche Temperatur stellt sich unmittelbar nach guter Durchmischung im Behälter ein, wenn man für die spezifische Wärmekapazität von Wasser immer den konstanten Wert von 4,19 $\frac{kJ}{(kg \; K)} $ und für die Dichte unabhängig von der Temperatur immer den Wert von 1000 $\frac{kg}{m^3} $ verwendet?
  2. Welchen Einfluss auf das Ergebnis nimmt die Berücksichtigung eines elektrisch betriebenen Rührers mit einer Leistungsaufnahme 180 W, der genau 20 s in Betrieb ist? Es ist davon auszugehen, dass die Wellenarbeit des Rührers vollständig in Wärme dissipiert!

Gegeben:

$m_{Al} = 2,5 kg $$ c_{Al} = 0,888 \frac{kJ}{(kg \; K)} $$ t_{Al} = 18 °C$
$ \rho_W = 1000 \frac{kg}{m^3}$$ c_W = 4,190 \frac{kJ}{kg \; K} $ 
$ V_1 = 6,1 dm^3$$ V_2= 8,5 dm^3 $$ V_3= 5,2 dm^3 $
$ t_1 = 10 °C$$ t_2 = 18 °C $$ t_3 = 21 °C$
$P_R = 180 W$$ \tau= 20 s$ 

Hinweise für die Lösung:
Man geht hier zweckmäßig von einem geschlossenen System mit adiabaten Systemwänden aus. Stofftransport über die Systemgrenze haben wir dann in Übereinstimmung mit der beschriebenen Realität ausgeschlossen. Die Wellenarbeit des Rührers kann bei Bedarf an der Systemgrenze bilanziert werden. Nach den Ausgangsdaten ist zu erwarten, dass sich eine Mischungstemperatur unterhalb von 18°C einstellt. Geht man von einer Umgebungstemperatur von 18°C aus, könnte also noch ein Wärmeeintrag aus der Umgebung eine Rolle spielen. Eine Vernachlässigung dieses Einflusses durch die Annahme adiabater Systemwände erscheint aber statthaft, da nach der Temperatur unmittelbar nach der Durchmischung gefragt ist und ein Temperaturausgleich mit der Umgebung erfahrungsgemäß einen längeren Zeitraum in Anspruch nehmen wird.

Analysieren wollen wir aber den Einfluss auf die Ausgleichstemperatur durch die Verschiebung der Systemgrenze und werden deshalb zwei Fälle betrachten:

  1. Es wird allein das Wasser als Systeminneres betrachtet, das Gefäß stellt dann schon Umgebung dar.
  2. Die Systemgrenze wird um das Aluminiumgefäß gezogen, so dass dieses am Temperaturausgleichsprozess teilnimmt.

Lösung:

  1. Berechnung der Ausgleichstemperatur $\overline{t}$

    Fall a)
    Liegen in einem abgeschlossenen System anfangs unterschiedliche Temperaturen t1, t2, … tk vor, kommt es spontan zum Temperaturausgleich, in dessen Folge sich eine einheitliche Ausgleichstemperatur $\overline{t}$ einstellt. Zu deren Berechnung teilt man das abgeschlossene System in k Teilsysteme und bilanziert die jeweils über die Grenzen der Teilsysteme tretenden Wärmen. Mit der Grundgleichung der Kalorik und einer zunächst willkürlich gewählten Referenztemperatur t0 entsteht für die drei Teilsysteme in unserem Beispiel die Bilanzgleichung:

    $\begin{align} & (m_1 \cdot c_W + m_2 \cdot c_W + m_3 \cdot c_W) \cdot (\overline{t}_M - t_0)
    \\ = & m_1 \cdot c_W \cdot (t_1 - t_0) + m_2 \cdot c_W \cdot (t_2 - t_0) + m_3 \cdot c_W \cdot (t_3 - t_0) \end {align} $

    Vorteilhaft wählt man die Referenztemperatur t0 = 0 °C, weil die mit 0 °C zu multiplizierenden Terme nicht weiter berücksichtigt werden müssen, so dass sich bei Auflösung der Gleichung nach der Ausgleichstemperatur ergibt:

    $\overline{t}_M = \frac{m_1 \cdot c_W \cdot t_1 + m_2 \cdot c_W \cdot t_2 + m_3 \cdot c_W \cdot t_3}{(m_1 + m_2 + m_3) \cdot c_W}$

    Wegen $\rho$ = konstant und $c_W$ = konstant können wir weiter vereinfachen zu
    $\begin{align} \overline{t}_M & = \frac{V_1 \cdot t-1 + V_2 \cdot t_2 + V_3 \cdot t_3}{(V_1 + V_2 + V_3)} \\ \overline{t}_M & = \frac{6,1 dm^3 \cdot 10°C +8,5 dm^3 \cdot  18°C + 5,2 dm^3 \cdot 21°C}{(6,1 + 8,5 + 5,2) dm^3} \\ & = 16,323°C \end {align} $
    Wenn nur Flüssigkeiten oder nur Gase am Ausgleichsprozess beteiligt sind, nennt man die Ausgleichstemperatur auch Mischungstemperatur. Wir haben deshalb hier den Index „M“ verwendet. 

    Fall b)
    Die nach der Ausgleichstemperatur aufgelöste Bilanzgleichung ergibt nun

    $\overline{t}_{kM} = \frac{\rho_W (V_1 \cdot c_W \cdot t_1 + V_2 \cdot c_W \cdot t_2 + V_3 \cdot c_W \cdot t_3) + m_{Al} \cdot c_{Al} \cdot t_{Al}}{\rho_W(V_1 + V_2 + V_3) \cdot c_W + m_{Al} \cdot c_{Al}} $

    Übersichtlicher wird die Bilanz, wenn man die in a) berechnete Mischungstemperatur nutzt:
    $\begin{align}[ & \rho_W \cdot (V_1 + V_2 + V_3) \cdot c_W + m_{Al} \cdot c_{Al}] \cdot (\overline{t}_{kM} - t_0) \\ = & \rho_W \cdot (V_1 + V_2 + V_3) \cdot c_W \cdot (\overline{t}_M - t_0) + m_{Al} \cdot c_{Al} \cdot (t_{Al} - t_0)\end {align}$

    $\begin{align} \overline{t}_{kM} & = \frac{\rho_W \cdot (V_1 + V_2 + V_3) \cdot c_W \cdot \overline{t}_M + m_{Al} \cdot c_{Al} \cdot t_{Al}}{\rho_W \cdot (V_1 + V_2 + V_3) \cdot c_W + m_{Al} \cdot c_{Al}} 
    \\ \overline{t}_{kM} & = \frac{1000 \frac{kg}{m^3} \cdot 19,8 \cdot 10^{-3}m^3 \cdot 4,19\frac{kJ}{kg \; K} \cdot 16,323°C + 2,5 kg \cdot 0,888 \frac{kJ}{kg \; K} \cdot 18°C}{1000 \frac{kg}{m^3} \cdot 19,8 \cdot 10^{-3}m^3 \cdot 4,19\frac{kJ}{kg \; K} + 2,5 kg \cdot 0,888 \frac{kJ}{kg \; K}} 
    \\ \overline{t}_{kM} & = \frac{1354,188726 kJ + 39,96 kJ}{82,962\frac{kJ}{K} + 2,22\frac{kJ}{K}} 
    \\ & = 16,366°C \end {align} $

    Wegen der Beteiligung des Aluminiumgefäßes (feste Phase) spricht man nicht mehr von Mischungstemperatur für die Ausgleichstemperatur, sondern von kalorischer Mitteltemperatur. Wir haben deshalb hier den Index „kM“ verwendet.Die Einbeziehung des Aluminiumgefäßes hat das Ergebnis nicht signifikant verändert. Das liegt an der kleinen spezifischen Wärmekapazität und an der geringen Masse des Aluminiums im Verhältnis zur eingefüllten Wassermasse. In ähnlichen Fällen kann man den Einfluss des Gefäßes auf die Mischungstemperatur vernachlässigen. Dünnwandige Metallgefäße wie in unserem Beispiel nehmen in der Regel unverzüglich die Temperatur der eingefüllten Flüssigkeit an.

  2. Einfluss eines Rührwerks
    Nach Aufgabenstellung soll die elektrische Arbeit vollständig in Wärme dissipieren. Das bedeutet:
    $Q = W_{el} = P_{el} \cdot \tau = 180W \cdot 20s = 3600Ws = 3,6 kJ $

    $\begin{align} Q & =[\rho_W (V_1 + V_2 + V_3) \cdot c_W + m_{Al} \cdot c_{Al}] \cdot (\overline{t}_{kM,R} - ) \cdot \overline{t}_{kM})
    \\ \overline{t}_{kM,R} & = \overline{t}_{kM} + \frac{Q}{\rho_W (V_1 + V_2 + V_3) \cdot c_W + m_{Al} \cdot c_{Al}}
    \\ & = 16,366°C + \frac{3,6kJ}{85,182 \frac{kJ}{K}}
    \\ & = 16,366°C + 0,042K
    \\ & = 16,408°C \end{align}$

    Der Einfluss des Gefäßes und des Rührers zusammen beträgt gerade einmal ein Zehntel Grad Celsius!