Darstellung von Zustandsänderungen für ideales Gas in Diagrammen

Die stoffbezogenen Beziehungen zwischen den thermischen Zustandsgrößen werden von Ingenieuren auf drei verschiedene Weisen untersucht. Eine erste Arbeitsmethode besteht in der rein rechnerischen Auswertung einer gegebenen Zustandsgleichung. Ein Beispiel dafür haben wir schon mit der Grundgleichung für ideales Gas kennengelernt. Für mathematisch komplizierter aufgebaute Zustandsgleichungen greift man auf Tafeln, in denen die Zustandsgrößen tabelliert sind, und/oder auf Zustandsdiagramme zurück.

Als Beispiel für die zweite Arbeitsweise werden wir im weiteren Verlauf unseres Kurses die Wasserdampftafeln nach IAPWS-IF-97 kennenlernen. Eine dritte Methode besteht in der Auswertung einer entsprechenden grafischen Darstellung in Zustandsdiagrammen, die sehr gern ergänzend zu den anderen beiden Arbeitsweisen herangezogen wird. Ergänzend deshalb, weil die bestehenden Zusammenhänge einerseits anschaulich und damit besser verständlich werden (ein Vorteil), aber andererseits die erreichbaren Genauigkeiten durch die Zeichnung oft eingeschränkt sind (ein Nachteil).

Die Beschäftigung mit den verschiedenen Zustandsdiagrammen liefert wichtige Einsichten für das Verstehen von thermodynamischen Prozessen. Es lohnt daher, hierauf näher einzugehen.

Die allgemeine Zustandsgleichung F(p,T,V) = 0 würde auf eine dreidimensionale und in ihrer Komplexität kaum anschauliche Darstellung führen. Übersichtlicher sind die Projektionen auf die (p,V)-, (p,T)- und (V,T)-Ebene. Das p,V-Diagramm bildet die Volumenänderungsarbeit W_V,12 und die technische Arbeit Wt,12 als Flächen ab und soll deshalb im Weiteren hier näher betrachtet werden. Das T,s-Diagramm liefert gemäß dQ = T · dS  für die Wärme Q₁₂ eine Fläche. Für die Analyse von Energieumwandlungsprozessen werden deshalb die betreffenden Zustandsänderungen in beiden Diagrammen parallel betrachtet.

In einem (p,V)-Diagramm sind die Isobaren (Linien konstanten Drucks) horizontale (waagerechte) Linien und die Isochoren (Linien konstanten Volumens) vertikale (senkrechte) Linien. Die Isothermen (Linien gleicher Temperatur) müssen der Forderung p·V = konstant genügen. Mathematisch entspricht dies einer Funktion p = C · V^–1 mit der Konstante C. Das Funktionsbild in einem kartesischen Koordinatensystem ist eine gleichseitige Hyperbel. Da negative Volumina für unsere Betrachtungen entfallen, beschränken wir uns für die Darstellung des Zustandsverhaltens von Gasen auf den ersten Quadranten. Isothermen können sich im p,V-Diagramm nicht schneiden und sie verlaufen niemals parallel. In Richtung des Koordinatenursprungs „beulen“ sie immer weiter aus, im Unendlichen nähern sie sich immer weiter an, ohne sich jedoch jemals zu schneiden.

Für die Isentropen gilt $p \cdot V^k $= konstant oder $p = C \cdot V^{–k}$, wobei C wiederum eine Konstante ist. Da k  > 1 verlaufen die Isentropen im p,V-Diagramm steiler als die Isothermen. Sie sind auch keine gleichseitigen Hyperbeln mehr.

Im T,s-Diagramm (auch Wärmediagramm genannt, weil in diesem Diagramm Wärmen als Flächen erscheinen) ist das Zeichnen der Isothermen als horizontale (waagerechte) Linien und das Zeichnen der Isentropen (Linien gleicher Entropie) als vertikale (senkrechte) Linien wieder trivial. Schwieriger ist hier das richtige Zeichnen der Isobaren (Linien gleichen Drucks) und der Isochoren (Linien gleichen Volumens). An dieser Stelle in unserem Kurs können wir noch nicht auf die Berechnungsformeln für die Entropie s eines idealen Gases zurückgreifen. Was Du zum Verlauf  von Isobaren und Isochoren im T,s-Diagramm wissen musst, soll an dieser Stelle zunächst nur informativ zur Kenntnis genommen werden, eine tiefere Begründung erfolgt später:

1. Isobaren und Isochoren stellen im T,s-Diagramm e-Funktionen im ersten Quadranten dar. Die Isochoren verfügen über einen höheren Anstieg als die Isobaren, das heißt: Die Isochoren verlaufen steiler als die Isobaren. Isobaren haben ebenso wie die Isochoren im T,s-Diagramm einen parallelen Verlauf.
2. Zustandsänderungen im T,s-Diagramm von links nach rechts erfolgen immer unter Wärmezufuhr, von rechts nach links immer unter Wärmeabfuhr.
3. Von zwei Isobaren im T,s-Diagramm ist die weiter links liegende die mit dem höheren Druck. Von zwei Isochoren im T,s-Diagramm ist die weiter links liegende die mit dem niedrigerem Volumen.