Spezielle Zustandsänderungen mit idealem Gas

Berechnung der Dichte von Helium

Die Dichte von Helium sei bei 0 °C und einem Druck von 1,01325 bar mit 0,17859 kg/m³ gegeben. Welche Dichte besitzt Helium bei gleichem Druck und 50 °C?

Gegeben:
$\begin{align} p_1 & = p_2 = 1,01325 bar
\\ t_1 & = 0 °C
\\ t_2 & = 50 °C
\\ r_1 & = 0,17859 \frac{kg}{m^3} \end{align}$

Hinweise für die Lösung:
Hier handelt es sich um eine isobare Zustandsänderung. Es können die Gleichungen von Gay-Lussac für konstanten Druck angewendet werden. Die Temperaturen in den Formeln von Gay-Lussac dürfen korrespondierend der Grundgleichung für ideales Gas nur als absolute thermodynamische Temperaturen verwendet werden.

Lösung:
$T_1 = 273,15K; \;\;T_2 = 323,15 K$

$\rho_2 = \rho_1 \cdot \frac{T_1}{T_2} = 0,17859 \frac{kg}{m^3} \cdot \frac{273,15K}{323,15 K} = 0,15096 \frac{kg}{m^3} $

Isochore Druckerhöhung in einer Gasflasche

Eine Sauerstoffflasche stehe unter einen Druck von 25 bar und der in ihr enthaltene Sauerstoff weise eine Temperatur von 20 °C auf. Durch intensive Sonneneinstrahlung erhöhe sich die Temperatur auf 23 °C. Welcher Druck herrscht dann in der Flasche? Die Ausdehnung der Flasche durch die Temperaturerhöhung kann vernachlässigt werden.

Gegeben:
T₁ = 293,15 K (20 °C)
T₂ = 296,15 K (23 °C)
p₁ = 25 bar

Hinweise für die Lösung:
Wir betrachten hier einen isochoren Vorgang, weil das Volumen durch die starren Wände der Gasflasche konstant gehalten wird. Die gegebenen Celsiustemperaturen sind wieder in die absoluten thermodynamischen Temperaturen umzurechnen.

Lösung:
$ p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 25bar \cdot \frac{296,15K}{293,15K} = 25,256bar$

Isotherme Gasentnahme aus einer Gasflasche

Eine Gasflasche mit dem Rauminhalt von 10 Litern enthalte Sauerstoff unter einem Druck von 40 bar. Wie viel Sauerstoff kann der Flasche entnommen werden, wenn der Umgebungsdruck 1 bar beträgt?

Gegeben:
V₁ = 10 dm³
p₁ = 40 bar
p₂ = 1 bar

Hinweise für die Lösung:
Zumeist wird unterstellt, dass der Sauerstoff in der Flasche die gleiche Temperatur aufweise, wie die Umgebung und sich die Temperatur durch den Entnahmevorgang nicht ändere. Dies ist jedoch nur unter weiteren (realitätsfernen) Einschränkungen möglich. Wenn Sie einen Fahrradreifen sportlich schnell aufpumpen und danach das Ventil berühren, stellen Sie fest, dass es sich spürbar erwärmt hat. Umgekehrt, wenn Sie das Ventil öffnen und die Luft aus dem Reifen entweicht, kühlt sich das Ventil merkbar ab. Weder beim Aufpumpen noch beim Herauslassen der Luft aus dem Reifen bleibt die Temperatur konstant. Insofern ist eine wichtige Voraussetzung für die Anwendung dieses Gesetzes praktisch gar nicht gegeben. Wir können uns nur aus der Affäre ziehen, in dem wir zusätzlich fordern, die Sauerstoffentnahme aus der Flasche solle „unendlich langsam“ erfolgen. Dies würde praktisch bedeuten, man entnimmt 1 cm³ Sauerstoff, schließe danach das Ventil und warte anschließend auf den Temperaturausgleich mit der Umgebung. Dies müsste man dann solange wiederholen, bis der Druck in der Flasche auf 1 bar abgesunken ist. Nachfolgend unterstellen wir, diese zusätzliche Voraussetzung sei erfüllt!

Lösung:

Unter dem Druck von 1 bar nimmt der Sauerstoff folgendes Volumen ein:

$ V_2 = \frac{p_1}{p_2} \cdot V_1 = \frac{40bar}{1bar} \cdot 10dm^3 = 400dm^3$

Manche halten das schon für die Lösung, ohne zu bedenken, dass die Flasche am Ende des Entnahmevorgangs noch mit Sauerstoff unter einem Druck von 1 bar gefüllt ist. Entnommen werden kann der Flasche nur das Volumen V₂ abzüglich des Eigenvolumens V₁.

$ V_{Entnahme} = V_2 - V_1 = 400dm^3 - 10dm^3 = 390dm^3 $

Nutzarbeit an der Kolbenstange

1 dm³ Luft mit einer gegebenen Gaskonstante von 287 $\frac{J}{(kg \; K)}$ werde von Umgebungsdruck 1040 mbar und 30 °C in einem Zylinder mit gasdicht eingepasstem Kolben reibungsfrei mit extrem hoher Geschwindigkeit auf 4,45 MPa verdichtet.

1. Welche Temperatur in °C erreicht die verdichtete Luft?
2. Welchen Wert erreicht das Verdichtungsverhältnis $\epsilon = \frac{V_{max}}{V_{min}}$?
3. Welche Nutzarbeit in Nm muss an der Kolbenstange verrichtet werden?

Gegeben:
V₁ = V_max = 1000 cm³
p₁ = p_amb = 1,04 bar
p₂ = 44,5 bar
T₁ = 303,15 K
R_L = 287 $\frac{J}{(kg \; K)}$

Hinweise für die Lösung:

1. Die Zustandsgleichungen erfordern eine Überführung der Celsiustemperaturen in thermodynamische Temperaturen.
2. Es handelt sich um eine isentrope Zustandsänderung (reibungsfrei, sehr hohe Geschwindigkeit).
3. Luft besteht zum absolut überwiegenden Teil aus den zweiatomigen Gasen Stickstoff und Sauerstoff. Für den Isentropenexponenten kann angesetzt werden: 
   κ = 1,4.

Lösung:

1. gesuchte Verdichtungsendtemperatur
   $T_2 = T_1 \cdot \Bigg( \frac{p_2}{p_1} \Bigg)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}} = 303,15K \cdot \Bigg( \frac{44,5bar}{1,04bar} \Bigg)^{\frac{0,4}{1,4}} = 886,65 K \;\;\; t_2 = 613,15°C$
   
   
2. Verdichtungsverhältnis
   $ V_2 = V_{min} = V_1 \cdot \Bigg( \frac{p_1}{p_2} \Bigg)^{\frac{1}{\kappa}} = 1000cm^3 \cdot \Bigg( \frac{1,04bar}{44,5bar} \Bigg)^{\frac{1}{1,4}} = 68,354cm^3$
   
   $\epsilon = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1000cm^3}{68,354cm^3} = 14,63$
   
   
3. Nutzarbeit an der Kolbenstange bei isentroper Kompression
   $W_{N,12} = - \int \limits_{1}^{2} p(V) \cdot dV + p_{amp}(V_2 - V_1)$
   
   $p \cdot V^{\kappa} = p_1 \cdot V_1^{\kappa} \;\;\; p(V)= p_1 \cdot \frac{V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}}$
   
   $\begin{align} - \int \limits_{1}^{2} p(V) \cdot dV & = -p_1 \cdot V_1^{\kappa} \int \limits_{1}^{2}V^{- \kappa}dV
   \\ & = - \frac{1}{1 \kappa} \cdot p_1 \cdot V_1^{\kappa} \cdot (V_2^{1 - \kappa} - V_1^{1 - \kappa})
   \\ & = + \frac{1}{\kappa -1} \cdot p_1 \cdot V_1^{\kappa} \cdot V_1^{1 - \kappa} \cdot \Bigg( \frac{V_2^{1- \kappa}}{V_1^{1- \kappa}} -1 \Bigg)
   \\
   \\- \int \limits_{1}^{2} p(V) \cdot dV & = \frac{1}{\kappa -1} \cdot p_1 \cdot V_1 \cdot \Bigg( \frac{V_1^{\kappa -1}}{V_2^{\kappa -1}} -1 \Bigg)
   \end{align}$
   
   $\begin{align} W_{N,12} & = \frac{p_1 \cdot V_1}{\kappa -1} \cdot \Bigg( \Bigg( \frac{V_1}{V_2} \Bigg)^{\kappa -1}-1 \Bigg) + p_{amb}(V_2 - V_1)
   \\ W_{N,12} & = \frac{1,04 \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot 0,001 m^3}{0,4} \cdot \Bigg( \Bigg( \frac{1000cm^3}{68,354cm^3} \Bigg)^{0,4}-1 \Bigg)
   \\ & + 1,04 \cdot 10^5 \frac{N}{m^2} \cdot (68,354 - 1000) \cdot 10^{-6}m^3
   \\ W_{N,12} & = 400,445 Nm - 96,891 Nm = 403,554Nm \end{align}$

Verlauf einer polytropen Kompression

Nähere Informationen über die Art der Zustandsänderung bei der Verdichtung von Luft mit idealem Gasverhalten in einem Zylinder sollen über die Berechnung des Polytropenexponenten gewonnen werden. Der Ausgangszustand sei immer gleich und mit einem Druck von 0,1 MPa und einem Volumen von 0,01 m³ gegeben. Berechnen Sie jeweils den Polytropenexponenten für den Fall, dass

1. im Endzustand ein Druck von 5 bar und ein Volumen von 2 dm³ erreicht werden,
2. im Endzustand ein Druck von 500 kPa und ein Volumen von 2,7 Liter erreicht werden und
3. folgender Verdichtungsverlauf gegeben ist

   V in dm3	10	5,0	4,0	2,5	2,0
   p in bar	1,0	2,0	2,5	4,0	5,0

Gegeben:
Ausgangszustand:        V₁ = 0,01 m³ = 10 dm³              p₁ = 0,1 MPa = 1 bar
Endzustand:      

1. V₂ = 2 dm³                               p₂ = 5 bar
2. V₂ = 2,7 Liter = 2,7 dm³            p₂ = 500 kPa = 5 bar
3. 
   

   V in dm3	10	5,0	4,0	2,5	2,0
   p in bar	1,0	2,0	2,5	4,0	5,0

Hinweise für die Lösung:
Für die Auflösung nach dem Exponenten in einer Formel müssen wir die Logarithmengesetze bemühen. Dabei ist es völlig gleichgültig, welche Basis man wählt. In unserem Beispiel sind jeweils Druck und Volumen im Ausgangszustand und im Endzustand gegeben. Für die Auflösung nach dem Polytropenexponenten in der Gleichung
$ \frac{p_1}{p_2}= \Bigg( \frac{V_2}{V_1} \Bigg)^n \rightarrow lg \frac{p_1}{p_2} = n \cdot lg \frac{V_2}{V_1} \;\;\;\;\; n = \frac{ lg \frac{p_1}{p_2}} {lg \frac{V_2}{V_1}}$ oder $n= \frac{lg \{ p_1 \} - lg \{ p_2 \} }{lg \{ V_2 \} - lg \{V_1 \}}$
ist man nicht zwangsweise an den logarithmus naturalis (ln) gebunden, der dekadische (lg) führt gleichsam zum Ziel. Wichtig ist hier allerdings zu berücksichtigen, dass ein Logarithmus nur für eine Zahl und nicht für eine physikalische Größe bestehend aus Zahl und Maßeinheit definiert ist. Man hat also darauf zu achten, den Logarithmus immer von einer dimensionslosen Größe zu bilden. Achten Sie darauf, dass Zähler und Nenner des Quotienten in gleicher Maßeinheit eingesetzt werden! Ansonsten entstehen ärgerliche Fehler durch Abspaltungen von Zehnerpotenzen durch Maßeinheiten!

Lösung:

1. 
   $ n = \frac{ln \frac{p_1}{p_2}}{ln\frac{V_2}{V_1}} = \frac{ln \frac{1bar}{5bar}}{ln\frac{2dm^3}{10dm^3}} =1$
   
   Das hier erzielte Ergebnis legt nahe, dass es sich um eine isotherme Zustandsänderung handeln könnte. Tatsächlich folgt aus den Daten für Anfangs- und Endzustand:  $ p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 = kostant $ wie für die isotherme Zustandsänderung. Ein sicherer Schluss kann aber erst gezogen werden, wenn Zwischenzustände dies belegen. Denken Sie bitte an die Beispielaufgabe zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit. Dort haben wir die Verdichtung in einem Zylinder untersucht mit gleichen Anfangs- und Endzustand bei einem linearen Anstieg des Druckes mit abnehmendem Volumen. Ein solcher Zustandsverlauf ist mitnichten ein isothermer!!
   
   
2. 
   $ n = \frac{ln \frac{p_1}{p_2}}{ln\frac{V_2}{V_1}} = \frac{ln \frac{1bar}{5bar}}{ln \frac{2,7dm^3}{10dm^3}} = \frac {ln 0,2}{ln 0,27} = \frac{-1,609437912}{- 1,30933332} = 1,229$
   oder mit dem dekadischen Logarithmus
   $ n = \frac{ln \frac{p_1}{p_2}}{lg \frac{V_2}{V_1}} = \frac{ln \frac{1bar}{5bar}}{lg\frac{2,7dm^3}{10dm^3}} = \frac{lg 0,2}{lg 0,27} = \frac{-0,698970004}{- 0,568636235} = 1,229 $
   Bei Luft ist wegen der zweiatomigen Hauptbestandteile Stickstoff und Sauerstoff von einem Isentropenexponenten κ = 1,4 auszugehen. Der Polytropenexponent n liegt also zwischen den beiden Grenzfällen isotherm n = 1 und isentrop n = 1,4. Ohne weitere Informationen (etwa zur Wärmedurchlässigkeit der Systemgrenzen, dem Auftreten von Reibung usw.) können wir aber die dieser polytropen Zustandsänderung zu Grunde liegenden Sachverhalte nicht weiter eingrenzen.
   
   
3. Hier sind nicht nur Anfangs- und Endzustand zu betrachten, sondern ein ganzer Zustandsverlauf. Unterstellt die gegebenen Zustandskoordinaten sind Messpunkte, kann man für den Zustandsverlauf eine Ausgleichsfunktion suchen.
   
   p·Vⁿ = konstant ist äquivalent zu der mathematischen Funktion p = C · V^–n mit der Konstante C. Durch Logarithmieren kann mit lnp = lnC – n · lnV die Ausgleichsrechnung für eine lineare Funktion über den Ansatz y = a₀ + a₁ · x mit folgenden Entsprechungen verwendet werden:
   $ lnp \rightarrow y \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; lnC \rightarrow a_0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; lnV \rightarrow x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; –n \rightarrow a_1 $
   Die Ausgleichsgerade y = a₀ + a₁ · x aus k Messpunkten wird für einen linearen Zusammenhang wie folgt berechnet:
   
   $$ a_1 = \frac{k \cdot \sum \limits_{i=1}^{k}x_i \cdot y_i -\Bigg( \sum \limits_{i=1}^{k} x_i \Bigg) \cdot \Bigg( \sum \limits_{i=1}^{k} y_i \Bigg)}{k \cdot \sum \limits_{i=1}^{k} x_{i}^{2} - \Bigg( k \cdot \sum \limits_{i=1}^{k} x_i \Bigg)^2}$$ und $$a_0 = \frac{1}{k} \cdot \Bigg( \sum \limits_{i=1}^{k} y_i - a_1 \cdot \sum \limits_{i=1}^{k}x_i\Bigg) $$
   
   Für die Belange in diesem Beispiel können wir uns auf die Berechnung des Regressionskoeffizienten a₁ beschränken. Die für die Formelauswertung benötigten Terme fassen in einer Übersicht zusammen:
   
   
   

   i	{V}	{p}	x = ln(V)	x2	y = ln(p)	x · y
   1	10	1,0	2,302585093	5,301898111	0	0
   2	5	2,0	1,609437912	2,590290393	0,693147180	1,11557735
   3	4	2,5	1,386294361	1,921812055	0,916290731	1,270248673
   4	2,5	4,0	0,916290731	0,839588703	1,386294361	1,270248673
   5	2,0	5,0	0,693147180	0,480453013	1,609437912	1,11557735
   ∑			6,907755277	11,13404228	4,605170184	4,771652046

   
   $\begin{align} a_1 & = \frac{5 \cdot 4,771652046 - 6,907755277 \cdot 4,605170184}{5 \cdot 11,13404228 - 47,71708297}
   \\ & = -0,9999999999997 ≈ 1 \rightarrow n=1 \end{align}$
   
   Hier handelt es sich tatsächlich um eine isotherme Zustandsänderung. Die Zahlenwerte für das Produkt p · V ergeben für jeden Messpunkt auch den konstanten Wert 10.