Einfache Zustandsänderungen von Dampf

Beispiel: Abhängigkeit der Verdampfungsenthalpie vom Druck (isobare Zustandsänderung) 
Wie viel kWh Strom wären bei verlustloser Beheizung für die vollständige isobare Verdampfung von
einem Liter siedendem Wasser erforderlich bei
a) 100 kPa
b) 1 MPa

Welche Zeit wäre erforderlich, wenn die elektrische Heizung eine Leistung von 1,5 kW hätte?

Gegeben:
V = 1 dm³ a) p = 100 kPa = 1 bar b) p = 1 MPa = 10 bar c) p = 220 bar
P_el = 1,5 kW

Hinweise für die Lösung:
Flüssigkeiten werden oft als inkompressible Medien angesehen. Das bedeutet, sie lassen sich nicht zusammendrücken, so dass eine bestimmte Volumeneinheit auch bei hohem Druck konstant bleibt und unabhängig vom Druck stets dieselbe Masse aufweist. Dies ist aber nur näherungsweise erfüllt, wie wir gleich sehen werden.
Die Bestimmung einer Masse für ein unter Druck stehendes Volumenelement ist bei Aufgaben mit Dampf eine oft gefragte Nebenrechnung. Sie kennen die Formel m = ρ ⋅ V. Für Dampf ist anstelle der Dichte ρ das spezifische Volumen v anzusetzen. Damit gilt: $ m= \frac {V}{v} $

Wir hatten schon festgestellt, dass die Verdampfungsenthalpie r = r(p) eine Funktion des Druckes ist. Mit steigendem Druck sinkt die Verdampfungsenthalpie. Das erscheint zunächst widersprüchlich, denn mit höheren Drücken ist ja auch eine größere Volumenänderungsarbeit für die sich mit der Verdampfung ergebenden Volumenzunahme zu rechnen. Grundsätzlich könnten wir mit den Werten der Tabelle A2 die Verdampfungsenthalpie errechnen aus:

Wir beschränken uns der Einfachheit halber auf die Differenz zwischen der Enthalpie des trocken gesättigten Dampfes und der des siedenden Wassers. Gleichzeitig wollen wir im Auge behalten, dass die Verdampfungsenthalpie aus zwei Anteilen besteht. Die innere Verdampfungsenthalpie ϕ_V erhöht die innere Energie u des thermodynamischen Systems, die äußere Verdampfungsenthalpie ψ_V leistet die Volumenänderungsarbeit gegen den Umgebungsdruck.  

Lösung:
a) vollständige Verdampfung bei 1 bar
Stoffwerte aus Tabelle A2:

$ v^{'} = 0,00104315 m^{3}/kg $ $ v^{''} = 1,69402 m^{3}/kg $ $ h^{'} = 417,436 kJ/kg $ $ h^{''} = 2674,95 kJ/kg $

$ Q = m \cdot r = \frac {V}{v} \cdot (h^{''} - h^{'} ) = \frac {V}{v} \cdot ( \Phi_{V} + \Psi_{V} ) $

$ m = \frac {0,001m^{3}}{0,00104315 m^{3}/kg} = 0,958634903 kg $

$\begin{align}\Phi_{V} = ( h^{''} - h^{'} ) - p \cdot ( v^{''} - v^{'} )
\\ &= ( 2674,95 − 417,436 ) kJ/kg −100 kN/m^{2} \cdot (1,69402 − 0,00104315 ) m^{3}/kg \end{align}$

$\begin{align}\Phi_{V}(p) = r(p) - \Psi_{V} = 2257,514 kJ/kg −169,298 kJ/kg
\\ &= 2088,216 kJ/kg \end{align}$

$ r(p) = 2257,514 kJ/kg $

$ \Psi_{V}(p) = 169,298 kJ/kg $

Zeit bis zum vollständigen Verdampfen:
$ \begin{align}\tau = \frac{Q}{P_{el}} = \frac{m \cdot r}{P_{el}}
\\ &= \frac{0,958634903 kg \cdot 2257,514 kJ/kg}{1,5 kW}
\\ &= 1442,75 s \textbf {≈24 min.} \end{align}$

b) vollständige Verdampfung bei 10 bar (Lösung analog zu (a))

Stoffwerte aus Tabelle A2:

$ v^{'} = 0,00112723 m^{3}/kg $ $ v^{''} = 0,194349 m^{3}/kg $ $ h^{'} = 762,683 kJ/kg $ $ h^{''} = 2777,12 kJ/kg $

$ m = \frac {0,001m^{3}}{0,00104315 m^{3}/kg} = 0,958634903 kg $

$\begin{align}\Phi_{V} = ( h^{''} - h^{'} ) - p \cdot ( v^{''} - v^{'} )
\\ &= ( 2777,12 − 762,683 ) kJ/kg −10^{3} kN/m^{2} \cdot (0,194349 - 0,00112723 ) m^{3}/kg \end{align}$

$\begin[align}\Phi_{V}(p) = r(p) - \Psi_{V} = 2014,437 kJ/kg −193,222 kJ/kg
\\ &= 1821,215 kJ/kg \end{align}$

$ r(p) = 2014,437 kJ/kg $

$ \Psi_{V}(p) = 193,222 kJ/kg $

Zeit bis zum vollständigen Verdampfen:

$ \begin{align}\tau = \frac{Q}{P_{el}} = \frac{m \cdot r}{P_{el}}
\\ &= \frac{0,887130399 kg \cdot 2014,437 kJ/kg}{1,5 kW}
\\ &= 1191,38 s \textbf {≈ 19,86 min.} \end{align}$

Beispiel:

Isentrope Kompression von flüssigem Wasser und überhitztem Dampf im Vergleich 10,8 t/h flüssigen Wassers mit einem Druck von 1 bar und 10 °C soll mit einer Pumpe isentrop auf 10 bar gebracht werden. Welche Pumpenleistung ist dafür erforderlich? Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der erforderlichen Verdichterleistung für die Kompression von 10,8 t/h überhitzten Dampfes mit einem Druck von 1 bar und einer Temperatur von 200 °C auf 5 bar!

Gegeben:

$ m =10,8 \frac {t}{h} = 10,8 \cdot \frac{1000 kg}{3600 s} = 3 \frac {kg}{s} $

$ p_{2} = 10 bar $

Wasserflüssigkeit 1 bar; 10 °C: Tab. A3:

$ v_{1} = 0,0010003 m³/kg $   $ h_{1} = 42,1174 kJ/kg $  $ s_{1} = 0,15108 kJ/(kg K) $

überhitzter Dampf 1 bar; 200 °C: Tab. A3:
$ v_{1} = 2,17249 m³/kg $   $ h_{1} = 2875,48 kJ/kg $   $ s_{1} = 7,83560 kJ/(kg K) $

Lösung:
a) Pumpenleistung

$ P= m \cdot w_{t,12,is} = m \cdot (h_{2} - h_{1})_{is} $

Isentrop bedeutet s₁ = s₂ = konstant = 0,15108 kJ/(kg K) bei 10 bar.
In Tabelle A3 liegt dieser Wert für 10 bar zwischen 0,15100 kJ/(kg K) und 0,29630 kJ/(kg K):
Die Enthalpie h₂ (5 bar; s = 0,15108 kJ/(kg K)) gewinnen wir durch lineare Interpolation:

$ h_{2} = 42,9948 kJ/kg + \frac {(0,15108 - 0,15100) kJ/(kg K)}{(0,29630 - 0,15100) kJ/(kg K)} (84,8585 - 42,9948) kJ/kg = 43,018 kJ/kg

$ P = m \cdot (h_{2} - h_{1})_{is} = 3 kg/s \cdot (43,018 - 42,1174) kJ/kg = 2,7018 kW $

Manchmal nutzt man bei solchen Zusammenhängen auch die Inkompressibilität von Wasser (spezifisches Volumen hängt nicht vom Druck ab) und argumentiert:

$ P = m \cdot w_{t,12} = m \cdot \int{1}^2 vdp = m \cdot v_{1} (p_{2} - p_{1}) $
$ P = 3kg/s \cdot 0,0010003 m^{3}/kg \cdot 9 \cdot 100 kN/m^{2} = 2,70081kW

Hier hat man anstelle der isentropen eine isochore Zustandsänderung verwendet im Vertrauen darauf, dass Wasser inkompressibel sei. Für kleine Drucksprünge führt das als Näherung noch zu akzeptablen Genauigkeiten.

Kommentar im Zusammenhang mit dem vorangegangenen Beispiel:

Für die Verzehnfachung des Drucks bei dem Wasserstrom von 3 kg/s benötigen wir eine Pumpenleistung von etwa 2,7 kW. Für das Verdampfen sparen wir eine Wärmeleistung von:

$ Q = m \cdot (r(10 bar) − r (1bar)) = 3 kg/s \cdot (2257,514 − 2014,437 ) kJ/kg = 729,231kW $

Selbst wenn man jetzt davon ausgeht, dass zur Erzeugung des Stromes für die Pumpe auch Wärme benötigt wird, ist so ein gewaltiges Energiesparpotential zu mobilisieren. Bei einem Wirkungsgrad von 35 % im Kraftwerk benötigt man zur Vorhaltung einer elektrischen Leistung von 2,7 kW eine Wärmeleistung von 7,71 kW!

b) Verdichterleistung:

$ P = m \cdot (h_{2} - h_{1})_{is} $

Isentrop bedeutet s₁ = s₂ = konstant = 7,8356 kJ/(kg K) bei 10 bar
In Tabelle A3 liegt dieser Wert für 10 bar zwischen 7,764 kJ/(kg K) und 7,9007 kJ/(kg K):
Die Enthalpie h₂ (5 bar; s = 7,8356 kJ/(kg K)) gewinnen wir durch lineare Interpolation:

$ h_{2} = 3479,00 kJ/kg + \frac {(7,8356 - 7,764) kJ/(kg K)}{(7,9007 - 7,764) kJ/(kg K)} (3588,07 - 3479,00) kJ/kg = 353613 kJ/kg $

$ P = m \cdot (h_{2} - h_{1})_{is} = 3 kg/s \cdot (3536,13 - 2875,48) kJ/kg = 1981,95 kW $

Für die Verdichtung kompressibler Medien muss wesentlich mehr Energie aufgewendet werden.
Zusatzfrage: Welche Temperatur besitzt der überhitzte Dampf nach der isentropen Verdichtung?

Auch hier gilt: Isentrop bedeutet s₁ = s₂ = konstant = 7,8356 kJ/(kg K) bei 10 bar
Die lineare Interpolation in der Wasserdampftafel für 10 bar zwischen den Temperaturen 500 °C und
550 °C führt auf:

$ t_{2} = 500°C + \frac {(7,8356 - 7,764 ) kJ/(kg K)}{(7,9007 - 7,764 ) kJ/(kg K)} \cdot (550 °C - 500 °C) \approx 526,19 °C $

Mit dem Modell ideales Gas und einem Isentropenexponenten für Wasser von κ = 1,33 hätte man erhalten:

§ T_{2} = T_{1} \cdot (\frac{p_{2}}{p_{1}})^{\frac{\kappa -1}{\kappa}} = 473,15 K \cdot (\frac{10 bar}{1 bar})^{\frac{0,33}{1,33}} = 837,76 K $

$ t_{2} = 564,61 °C $

Das Modell ideales Gas versagt hier!!

Beispiel: Isochore Wärmezufuhr an Wasser im geschlossenen System

Ein fester Behälter, dessen Temperaturausdehnung vernachlässigt werden solle, sei vollständig mit 20 kg Wasser mit einer Temperatur von 20 °C und einem Druck von 1 bar ausgefüllt. Welche Wärme in kWh muss zugeführt werden, damit der Druck im Behälter auf 5 bar steigt und welche Temperatur hat der Behälterinhalt dann?

Gegeben:
$ m = 20 kg $  $ p_{1} = 1 bar $  $ t_{1} = 20 °C $  $ p_{2} = 5 bar $

Tabelle A3: v₁(1 bar, 20 °C) = 0,00100180 m³/kg  h₁(1 bar, 20 °C) = 84,0118 kJ/kg

Lösung:
Isochor bedeutet v₁ = v₂ = 0,0010018 m³/kg = konstant. Aufsuchen der Werte für 5 bar in Tabelle A3 zeigt, dass dieses spezifische Volumen bei 5 bar zwischen den Werten v = 0,00100161 m³/kg und v = 0,00100278 m³/kg liegt. Die Zustandswerte für die innere Energie sind nicht tabelliert, wir müssen diese also aus u = h – p⋅v gewinnen.

$ t_{2} = 20°C + \frac {(0,00100180 - 0,00100161) m^{3} /kg}{(0,00100278 - 0,00100161) m^{3} /kg} \cdot (25°C - 20°C) = 20,81 °C $

$ h_{2} = 84,3882 \frac {kJ}{kg} +\frac {(0,00100180 - 0,00100161) m^{3} /kg}{(0,00100278 - 0,00100161) m^{3} /kg} \cdot (105,298 - 84,3882)\frac{kJ}{kg} = 87,7838 \frac{kJ}{kg} $

$ u_{2} = h_{2} - p_{2} \cdot v_{2} = 87,7838 \frac {kJ}{kg} - 500 \frac {kN}{m^{2}}\cdot 0,0010018 \frac {m^{3}}{kg} = 87,2829 \frac {kJ}{kg} $

$ u_{1} = h_{1} - p_{1} \cdot v_{1} = 84,0118 \frac {kJ}{kg} - 100 \frac {kN}{m^{2}}\cdot 0,0010018 \frac {m^{3}}{kg} = 83,9116 \frac {kJ}{kg} $

$ Q = m \cdot (u_{2} - u _{1}) = 20kg \cdot (87,2829 - 83,9116) kJ/kg = 67,426 kJ = 0,019 kWh $

Beispiel: Isochore Druckerhöhung von Nassdampf mit überkritischem spezifischen Volumen

Ein fester Behälter, dessen Temperaturausdehnung vernachlässigt werden solle, sei vollständig mit 2 kg Nassdampf mit einem Dampfanteil von 20 % und einem Druck von 1 bar ausgefüllt. Welche Wärme in kWh muss zugeführt werden, damit der Druck im Behälter auf 5 bar steigt und welche Temperatur hat der Behälterinhalt dann?

Gegeben:
m = 2 kg  p₁ = 1 bar  p₂ = 5 bar   x₁ = 0,2

Stoffwerte aus der Tabelle A2 für p = 1 bar:

v'₁ = 0,00104315 m³/kg  h'₁ = 417,436 kJ/kg  u'₁ = h'₁ - p'₁ ⋅ v'₁ = 417,332 kJ/kg

v''₁ = 1,69402 m³/kg  h''₁ = 2674,95 kJ/kg  u''₁ = h''₁ - p''₁ ⋅ v''₁ = 2505,55 kJ/kg

$\begin{align}v_{x,1} = v'_{1} + x_{1} (v''_{1} - v'_{1} )
\\ &= 0,00104315 \frac {m^{3}}{kg} + 0,2 \cdot (1,69402 - 0,00104315) \frac {m^{3}}{kg}
\\ &= 0,33963852 \frac {m^{3}}{kg} > v_{k} \end{align}$

Wir halten hier schon mal im Hinblick auf das nächste Beispiel fest, dass das spezifische Volumen des Behälterinneren größer ist als das spezifische Volumen im kritischen Punkt mit v_k = 0,00310559 m³/kg.

Stoffwerte aus der Tabelle A2 für p = 5 bar:

v'₁ = 0,00109256 m³/kg  h'₁ = 640,185 kJ/kg  u'₁ = h'₁ - p'₁ ⋅ v'₁ = 639,639 kJ/kg

v''₁ = 0,374804 m³/kg  h''₁ = 2748,11 kJ/kg  u''₁ = h''₁ - p''₁ ⋅ v''₁ = 2560,71 kJ/kg

 $ Q = m \cdot (u_{2} - u _{1}) = U_{2} - U_{1} $

Bei U2 ergibt sich der Dampfanteil x₂ aus der Bedingung v(p₁)=v(p₂) :

 $ x_{2} = \frac{v'_{1}-v'_{2}}{v''_{2}-v'{2}} + x_{1} \cdot \frac{v''_{1}-v'_{1}}{v''_{2}-v'{2}} $

$ x_{2} = \frac{(0,00104315-0,00109256) m^{3}/kg}{(0,374804-0,00109256) m^{3}/kg} + 0,2 \cdot \frac{(0,69402-0,00104315) m^{3}/kg}{(0,374804-0,00109256) m^{3}/kg} = 0,905902 $

Es ist plausibel, dass der Dampf bei isochorer Wärmezufuhr trockener wird, da entsprechend viel siedende Flüssigkeit verdampft. Dies ist jedoch nur bei überkritischen spezifischen Volumina der Fall, wie das nächste Rechenbeispiel gleich zeigen wird.

$ U_{2} = 2kg \cdot [639,639+0,905902 \cdot (2560,71-639,639)] kJ/kg = 4759,88 kJ $

$ U_{1} = 2kg \cdot [417,332+0,2 \cdot (2505,55-417,332)]kJ/kg = 1669,95 kJ $

$ Q = U_{2} - U_{1}= (4759,88-1669,95) kJ = 3089,93 kJ \cdot \frac {1}{3.600 s} = 0,8583 kWh $

Die Temperatur des Nassdampfes entspricht der Siedetemperatur t_s (5 bar) = 151,836°C

Beispiel: Isochore Druckerhöhung bei unterkritischen spezifischen Volumina

Ein fester Behälter, dessen Temperaturausdehnung vernachlässigt werden solle, sei vollständig mit 2 kg Nassdampf mit einem Dampfanteil von 20 % und einem Druck von 220 bar ausgefüllt. Welche Wärme in kWh muss zugeführt werden, damit der Druck im Behälter auf 225 bar steigt und welche Temperatur hat der Behälterinhalt dann?

Gegeben:
m = 2 kg        x1 = 0,2           p1 = 220 bar             p2 = 225 bar

Stoffwerte aus der Tabelle A2 für p = 215 bar:

v'₁= 0,00236016 m³/kg

v''₁= 0,0044630 m³/kg

h'₁= 1932,81 kJ/kg

h''₁= 2282,18 kJ/kg

u'₁= h'₁ - p'₁ ⋅ v'₁ = 1882,07 kJ/kg

u''₁= h''₁ - p''₁ ⋅ v''₁ = 2186,22 kJ/kg

$ v_{x} = v'_{1} + x_{1} \cdot (v''_{1} - v'{1}) = 0,00236016 \frac{m^{3}}{kg} + 0,2 \cdot (0,00446300-0,00236016) \frac{m^{3}}{kg} = 0,002780728 \frac{m^{3}}{kg} < v_{k} $

Stoffwerte aus der Tabelle A2 für p = 220 bar:

v'₁= 0,00275039 m³/kg

v''₁= 0,00357663 m³/kg

h'₁= 2021,92 kJ/kg

h''₁= 2164,18 kJ/kg

u'₁= h'₁ - p'₁ ⋅ v'₁ = 1961,41 kJ/kg

u''₁= h''₁ - p''₁ ⋅ v''₁ = 2085,49 kJ/kg 

Lösung:

$ U_{1} = m \cdot (u'_{1} + x_{1} \cdot (u''_{1} - u'_{1})) = 2kg \cdot (1882,07+0,2 \cdot (2186,22-1882,07)) kJ/kg = 3885,8 kJ $

$ x_{2} = \frac{v'_{1} - v'_{2}}{v''_{2} - v'_{1}} + x_{1} \cdot \frac{v''_{1} - v'_{1}}{v''_{2} - v'_{2}} $

$ x_{2} = \frac{(0,00236016-0,00275039) m^{3}/kg}{(0,00357662-0,00275039) m^{3}/kg} + 0,2 \cdot \frac{(0,00446300-0,00236016) m^{3}/kg}{(0,00357662-0,00275039) m^{3}/kg} = 0,036718588 $

$ U_{2} = m \cdot (u'_{2} + x_{2} \cdot (u''_{2} - u'_{2})) = 2kg \cdot (1961,41+0,036718588 \cdot (2085,49-1961,41)) kJ/kg = 3931,93 kJ $

$ Q{10} = U_{2} - U_{1} = (3931,93-3885,8) kJ = 0,0128 kWh $

Die Temperatur des Nassdampfes entspricht der Siedetemperatur t_s (220 bar) = 373,707 °C