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Thermodynamik - Technisch wichtige Dampfzustände bei isobarer Verdampfung/Kondensation

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Thermodynamik

Technisch wichtige Dampfzustände bei isobarer Verdampfung/Kondensation

Der Modellstoff ideales Gas eröffnete die Möglichkeit, Zustandsänderungen und die Prozessgrößen Wärme und Arbeit mit einfachen Formeln zu analysieren.

Der allgemeine Zusammenhang zwischen den thermischen Zustandsgrößen F(p,V,T) = 0 gilt für Flüssigkeiten und Dämpfe gleichfalls. Leider sind die zugehörigen Zustandsgleichungen so umfangreich und kompliziert aufgebaut, dass man sie nur mit Hilfe eines Computers auswerten kann. Wenn man bei der Bearbeitung entsprechender Aufgabenstellungen nur mit dem Taschenrechner arbeiten will oder muss, greift man auf so genannte Dampftafeln zurück, in denen die Zustandswerte für eine bestimmte Flüssigkeit oder einen bestimmten Dampf als Computer-Ergebnisausdruck der jeweiligen Zustandsgleichungen tabelliert sind. Für die Ermittlung der thermophysikalischen Eigenschaften von Wasser als Flüssigkeit oder als Dampf greift man zweckmäßig auf Wasserdampftafeln nach IAPWS IF 97 zurück. Bei Vorgabe von Druck p und/oder Temperatur t wird wahlweise das spezifische Volumen, die innere Energie, die Enthalpie oder die Entropie mit fast beliebig wählbarer Genauigkeit zur Verfügung gestellt. Die derzeit genaueste Abbildung der experimentell ermittelten Daten für die Zustandsgrößen p, v, h, u, s von flüssigem Wasser und Wasserdampf sind nach Zustandsgleichungen möglich, die 1995 unter der Bezeichnung IAPWS (International Association for the Properties of Water and Steam) Formulation 1995 for the Thermodynamic Properties of Ordinary Water Substance for General and Scientific Use international angenommen wurden. Daneben wird für den industriellen Gebrauch international ab 1998 die daran angepasste und vereinfachte IAPWS Industrial Formulation 1997 for the Thermodynamic Properties of Water and Steam (IAPWS IF 97) verwendet.

Die Zustandsgleichungen nach IAPWS-IF 97 sind innerhalb von $ 0 \, °C \,\leq \, t \, \leq \, 800 \, °C \, bei \, p \, \leq \, 1000 \, bar $ gültig.

 

Unten stehende Abbildung zeigt schematisch in zylindrischen Verdampfungsgefäßen mit reibungsfrei beweglichen Kolben als Symbol für einen konstant bleibenden Druck die bei einem isobaren Verdampfungsvorgang technisch wichtigen Dampfzustände in jeweils einem nummerierten Zylinder, die man sich unbedingt fest einprägen muss.

Dampfzustände isobare Verdampfung

Der Zustand 1 wird durch Flüssigkeit mit einer Temperatur unterhalb der zum entsprechenden Druck gehörenden Siedetemperatur charakterisiert. Führt man hier isobar Energie zu, steigt die Temperatur bis zu dem Zeitpunkt, zu dem die zum herrschenden Druck gehörige Siedetemperatur ts(p) erreicht ist. Zustand 2 zeichnet sich dadurch aus, dass der Dampfdruck ps(ts) dem Umgebungsdruck entspricht und die Flüssigkeit zu verdampfen beginnt. Während des Verdampfungsvorgangs steigt die Temperatur t nicht, denn es wird Energie zur Auflockerung von Bindungskräften der Teilchen untereinander und wegen der starken Volumenzunahme beim Übergang vom flüssigen in den gasförmigen Zustand auch für die erforderliche Volumenänderungsarbeit gegen den Umgebungsdruck benötigt. Die aufzubringende Verdampfungsenthalpie r hängt vom Druck p ab und setzt sich aus zwei Anteilen zusammen.

Methode

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$ r(p) = \Phi \, V(p) \, + \, \Psi \, V(p) $

$ \Phi V = innere \, Verdampfungsenthalpie \, in \, kJ/kg \, erhöht \, die \, innere \, Energie \, u $

$ \Psi V = äußere \, Verdampfungsenthalpie \, in \, kJ/kg \, für \, Arbeit \, gegen\, p_{amp} $

Alle Formelzeichen, die sich auf den Zustand im Zylinder 2 beziehen, werden nach einer international getroffenen Vereinbarung mit einem Beistrich (´) gekennzeichnet. Das Volumen des siedenden Wasser wird also durch ´, die spezifische Enthalpie durch h´ und so weiter gekennzeichnet.

Die weitere Wärmezufuhr führt dann zum schrittweisen Verdampfen unter Volumenzunahme, ohne dass sich die Temperatur ändert. Ein solcher Zustand heißt Nassdampf und ist als Zustand 3 im betreffenden Zylinder dargestellt. Nassdampf im Zylinder 3 ist im Unterschied zu allen anderen in der Abbildung dargestellten Zuständen ein Zweiphasengebiet als Gemisch aus im thermodynamischen Gleichgewicht stehender siedender Flüssigkeit und trocken gesättigtem Dampf (gasförmig). Das Nassdampfgebiet hat für technische Prozesse wie Verdampfung, Kondensation eine besondere Bedeutung. Abweichend vom Verhalten in den Einphasengebieten können dort die spezifischen Zustandsgrößen nicht aus Druck und Temperatur berechnet werden, weil zu jeder bei der Verdampfung konstant bleibender Temperatur genau ein bestimmter Dampfdruck gehört, der zwischen beginnendem Sieden und vollständig erfolgter Verdampfung ebenfalls immer konstant bleibt. Zur Bestimmung der Zustandsgrößen im Nassdampfgebiet benötigt man neben dem Druck p oder der Temperatur t den Dampfanteil x als weitere Zustandsgröße.

Nach vollständiger Verdampfung wird mit weiterer isobarer Wärmezufuhr unter weiterer Volumenzunahme bei konstant bleibender Temperatur mit Zustand 4 wieder ein Einphasengebiet erreicht, dass man als trocken gesättigter Dampf oder Sattdampf bezeichnet. Formelzeichen werden mit zwei Beistrichen (´´) gekennzeichnet, also v´´ bedeutet spezifisches Volumen des trocken gesättigten Dampfes, m´´ die Masse des Sattdampfes.

Wird trocken gesättigtem Dampf weiter bei konstantem Druck Wärme zugeführt, beginnen im Zustand 5 (überhitzter Dampf oder Heißdampf) wieder Temperatur und Volumen zu wachsen. Der hier beschriebene Verdampfungsvorgang läuft für jeden Druck im Bereich zwischen Tripeldruck pTr und kritischen Druck pk der jeweiligen Flüssigkeit ab. Bei Drücken oberhalb des kritischen Druckes lässt sich eine Verdampfung mit einem Koexistenzgebiet von flüssiger und gasförmiger Phase (Zweiphasengebiet) aber nicht beobachten. Ein von Zustand 5 nach Zustand 1 verlaufender Vorgang heißt isobare Kondensation, die dabei freiwerdende Kondensationsenthalpie entspricht betragsmäßig der Verdampfungsenthalpie.

Zusammengefasst stehen für die Ermittlung von Zustandsgrößen für Wasser in Einphasengebieten mittels Wasserdampftafeln allgemein drei verschiedene Tabellen zur Verfügung, für die stellvertretend nachfolgende kurze Auszüge aufgeführt sind. Eine zentrale Rolle für den Umgang mit diesen Tafeln spielt die sogenannte Dampfdruckkurve. Gemeint ist damit der funktionale Zusammenhang zwischen Druck und Siedetemperatur ps = p(ts) beziehungsweise zwischen Temperatur und Siededruck ts = t(ps). Homogene Flüssigkeiten besitzen für jeden Siededruck eine eindeutig zugeordnete Temperatur und jeder Siedetemperatur ist eindeutig ein Siededruck zugeordnet. Die Dampfdruckkurve für Wasser ist in den jeweils ersten beiden Spalten der Tabellen A1 und A2 dargestellt. Wenn die Siedetemperatur ts mit einem dann festliegenden Siededruck ps gegeben ist, schauen wir in Tabelle A1. Ist dagegen der Siededruck ps mit einer dann festliegenden Siedetemperatur ts gegeben, entnehmen wir die Werte für spezifisches Volumen, Enthalpie und Entropie der Tabelle A2.

Die hier vorgestellten Erscheinungen für die Verdampfung und Kondensation, die uns durch eigene Anschauung wohl vertraut sind und die wir deshalb schnell für eigentlich allgemein gültig halten, finden tatsächlich für jeden reinen realen Stoff (das heißt völlig homogen aufgebauten Stoff) nur in einem ganz bestimmten Bereich von Druck und Temperatur statt, der zugleich für diesen Stoff charakteristisch ist.

Nach unten ist dieser Bereich begrenzt durch den so genannten Tripelpunkt Tr (pTrTTr), in dem feste, flüssige und gasförmige Phase eines Stoffes im thermodynamischen Gleichgewicht stehen und gleichzeitig zusammen auftreten.

Merke

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Zustandsdaten im Tripelpunkt für Wasser und einige Gase:

WasserpTr = 0,00611657 bartTr = +0,01 °C
StickstoffpTr = 0,12523 bartTr = –209,999 °C
SauerstoffpTr = 0,0014633 bartTr = –218,789 °C
KohlendioxidpTr = 5,18 bartTr = –56,6 °C

 

Nur bei genau exakt diesen Tripelparametern stehen alle drei Phasen (fest, flüssig und gasförmig) im thermodynamischen Gleichgewicht. Geringfügige Abweichungen haben zur Folge, dass der Gleichgewichtszustand verlassen wird und eine Phase zugunsten einer anderen Phase abnimmt (verschwindet). Diese Tatsache nutzt man für sehr genaue Temperaturmessungen bei der Kalibrierung von Thermoelementen. Ein spezieller Zylinder, in dem der Tripelpunkt für Wasser eingestellt ist, zeigt sehr zuverlässig die Temperatur +0,01 °C an. Diese Anzeige ist wesentlich genauer als die ersatzweise der Einfachheit wegen oft angewandte Methode, den Temperaturabgleich über schmelzendes Wasser vorzunehmen. Hier kann man in der Regel nicht von einem thermodynamischen Gleichgewichtszustand ausgehen und ob das Schmelzwasser dann tatsächlich 0 °C aufweist und nicht 0,4 °C ist schwer auszumachen. Manchmal wird die Existenz des angegebenen Tripelpunkts für Wasser mit dem Argument in Zweifel gezogen, dass man beim Übergang vom Winter zum Frühling durchaus Wetterlagen mit teilweise gefrorenen Pfützen und gleichzeitigem Nebel beobachten kann, ohne dass Druck und Temperatur den angegebenen Tripelwerten entsprächen. Die Beobachtungen zum Wettergeschehen können richtig sein, aber man kann beim Wettergeschehen nicht von einem thermodynamisch stabilen Gleichgewicht sprechen. Es liegt quasi immer ein Prozess vor, bei dem eine Phase zugunsten einer anderen Phase verliert. Schwerer wiegt aber eine andere nicht erfüllte Voraussetzung: Die vom Wetter beeinflusste Atmosphäre, die wir beobachten ist kein reiner, realer Stoff, sondern ein Stoffgemisch aus Luft und Wasser als Feuchtigkeit sowie diverser anderer Verschmutzungen.

Nach oben ist der beschriebene Prozess der Verdampfung begrenzt durch den kritischen Punkt k, oberhalb dessen die flüssige Phase nicht mehr von der gasförmigen Phase unterschieden werden kann.

Die Zustandswerte des kritischen Punktes k für Wasser betragen:

Merke

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tk = 373,946 °Cpk = 220,64 barvk = 0,00310559 $\frac{m^3}{kg}$hk = 2087,55 $\frac{kJ}{kg}$sk = 4,412 $\frac{kJ}{(kg \; K)}$

Flüssiges Wasser unter einem Druck pk, also beispielsweise bei 230 bar, würde bei der Erhitzung von 20 °C auf 450 °C nicht irgendwann anfangen zu sieden, um eine gewisse Zeit in zwei Phasen bei konstant bleibender Temperatur zu verweilen, so dass erst nach vollständiger Verdampfung die Temperatur wieder ansteigt, sondern seine Temperatur und sein Volumen stetig vergrößern. Bei der Umkehrung des Weges gelangt man von der Gasphase direkt zur Flüssigkeit, ohne dass eine Kondensation wahrgenommen werden kann. Dieses Phänomen der Phasenkontinuität wurde 1869 erstmals von Thomas Andrews beschrieben.

Auch der kritische Punkt ist eine spezifische Stoffeigenschaft. Das heißt: Jeder Stoff besitzt einen anderen, für ihn typischen, kritischen Punkt. In diesem kritischen Punkt gleichen sich alle Eigenschaften flüssiger und gasförmiger Phase an. Das gilt auch für den optischen Brechungsindex, was dazu führt, dass man oberhalb des kritischen Punktes Flüssigkeit optisch nicht mehr von der gasförmigen Phase unterscheiden kann. Ein Gefühl für die gegenseitige Annäherung der Stoffeigenschaften für siedende Flüssigkeit und trocken gesättigtem Dampf kannst Du erhalten, wenn Du die Entwicklung von v´ und v´´ oder h´ und h´´ in Tabelle A1 für steigende Temperaturen beziehungsweise in Tabelle A2 für steigenden Druck verfolgst. Im kritischen Punkt (tk = 373,946 °C, pk = 220,64 bar) beträgt zum Beispiel das spezifische Volumen vk = v´ = v´´= 0,00310559 $\frac{m^3}{kg}$.

 

Tabelle A1 Sättigungsdruck ps, sowie spezifisches Volumen, Enthalpie und Entropie der siedenden
Flüssigkeit und des trocken gesättigten Dampfes als Funktion der Temperatur

ts

°C

ps

bar

v'

m3/kg

v''

m3/kg

h'

kJ/kg

h''

kJ/kg

s'

kJ/(kg K)

s''

kJ/(kg K)

 00,006112127 0,00100021 206,140 –0,04159  2500,89 –0,00015459,1558 
10  0,01228180,00100035 106,309 42,0211 2519,23 0,15109 8,8998 
20 0,0233921 0,00100184 57,7615 83,919 2537,47 0,29650 8,6661 
30 0,0424669 0,00100441 32,8816 125,745 2555,58 0,43679 8,4521 
35 0,0562862 0,00100604 25,2078 146,645 2564,58 0,50517 8,3518 
40 0,0738443 0,00100788 19,5170 167,541 2573,54 0,57243 8,2557 
45 0,0959439 0,00100991 15,2534 188,437 2582,45 0,638628,1634 
50 0,123513 0,00101214 12,0279 209,336 2591,31 0,70379 8,0749 
55 0,157614 0,00101454 9,56492 230,241 2600,110,76798 7,9899 
600,199458 0,00101711 7,66766 251,154 2608,85 0,83122 7,9082 
650,250411  0,001019856,19383 272,079 2617,51 0,89354 7,8296 
700,312006 0,00102276 5,03973 293,018 2626,10 0,95499 7,7540 
750,385954 0,00102582 4,12908  313,9742634,60 1,01560 7,7812 
800,474147 0,00102904 3,40527 334,949 2643,01 1,0754 7,6110 
850,578675 0,00103242 2,82593 355,946 2651,33 1,1344 7,5434 
900,701824 0,00103594  2,35915376,968 2659,53 1,1927 7,4781 
95 0,8460890,00103962 1,98065 398,019 2667,61 1,2502 7,4150 
1001,014180 0,00104346 1,67186 419,099 2675,57 1,3070 7,3541 
1101,43376 0,00105158 1,20939 461,363 2691,07 1,4187 7,2380 
1201,98665 0,00106033 0,891303 503,785 2705,93 1,5278 7,1291 
1302,70260 0,00106971 0,668084 546,388 2720,09 1,6346 7,0264 
1403,61501 0,00107976 0,508519 589,200 2733,44 1,7393 6,9293 
1504,76101 0,00109050 0,392502 632,252 2745,92 1,8420 6,8370 
1606,18139 0,00110199 0,306818 675,575 2757,43 1,9428 6,7491 
1707,92053 0,00111426 0,242616 719,206 2767,89 2,04196,6649 
18010,0263 0,00112739 0,193862  763,1882777,222,1395 6,5841 
19012,5502 0,00114144 0,156377 807,566 2785,31 2,2358 6,5060 
20015,5467 0,00115651 0,127222 852,393 2792,06 2,3308 6,4303 
21019,0739 0,00117271 0,104302 897,729 2797,35 2,4248 6,3565 
22023,1929 0,00119016 0,0861007 943,642 2801,05 2,5178 6,2842 
23027,9679 0,00120901 0,0715102 990,210 2803,01 2,6102 6,2131 
24033,4665 0,00122946 0,0597101 1037,52 2803,06 2,7019 6,1425 
25039,7594 0,00125174  0,05008661085,69 2801,01 2,7934 6,0722 
26046,9207 0,00127613 0,0421755 1134,83 2796,64 2,8847 6,0017 
27055,0284 0,00130301 0,0356224 1185,09 2789,69 2,9762 5,9304 
28064,1646 0,00133285 0,0301540 1236,67  2779,823,0681 5,8578 
29074,4164 0,00136629 0,0255568 1289,80 2766,63 3,1608 5,7832 
30085,8771 0,00140422 0,0216631 1344,77 2749,57 3,2547 5,7058 
30592,0919 0,00142524 0,0199370  1373,072739,38 3,3024 5,6656 
31098,6475 0,00144788 0,0183389 1402,00 2727,92 3,35065,6243 
315105,558 0,00147239 0,0168557 1431,63 2715,08 3,3994 5,5816 
320112,839 0,00149906 0,0154759 1462,05 2700,67 3,4491 5,5373 
325120,505 0,00152830 0,0141887 1493,37 2684,48 3,4997 5,4911 
330128,575 0,00156060 0,0129840 1525,74  2666,25 3,5516 5,4425 
335137,067 0,00159667 0,0118522 1559,34 2645,60 3,6048  5,3910
340146,002  0,001637510,0107838 1594,45 2622,07 3,6599 5,3359 
345155,401 0,00168460 0,0097698 1631,44 2595,01 3,7175 5,2763 
350165,292 0,00174007 0,0088009 1670,86 2563,59 3,7783 5,2109 
355175,701 0,00180780 0,0078660 1713,71 2526,45 3,8438 5,1377 
360186,664 0,00189451 0,0069449 1761,49 2480,993,9164 5,0527 
365198,222 0,00201561 0,0060044 1817,59 2422,00 4,0011 4,9482 
370210,434 0,00222209 0,0049462 1892,64  2333,504,1142 4,7996 
373218,132 0,00252643 0,0040212 1974,14 2227,55  4,23774,6299 

In allen Tabellen können Zwischenwerte linear mit einem einfachen Ansatz interpoliert werden, was
nachfolgend am Beispiel für die Enthalpie der siedenden Flüssigkeit demonstriert wird:

$ \frac{h^{'} (t=t_{x}) - h^{'} (t=t_{1})}{h^{'} (t=t_{2}) - h^{'} (t=t_{1})} = \frac{t_{x}-t_{1}}{t_{2}-t_{1}} \rightarrow h^{'}(t=t_{x}) = h^{'}(t=t_{1}) + \frac{t_{x}-t_{1}}{t_{2}-t_{1}} \cdot (h^{'} (t=t_{2})) - h^{'}(t=t_{1}) $

Tabelle A2 Sietetemperatur ts, sowie spezifisches Volumen, Enthalpie und Entropie der siedenden Flüssigkeit und des trocken gesättigten Dampfes als Funktion des Sättigungsdruckes

ps

bar

ts

°C

v'

m3/kg

v''

m3/kg

h'

kJ/kg

h''

kJ/kg

s'

kJ/(kg K)

s''

kJ/(kg K)

 0,01 6,96963  0,00100014 129,183 29,2982 2513,680,10591  8,9749
 0,10 45,8075 0,00101026 14,6706 191,812 2583,89 0,64922 8,1489 
 1,00 99,6059 0,00104315 1,69402 417,436 2674,95 1,3026 7,3588 
1,01325 99,97430,00104344 1,67330 418,991 2675,53 1,3067 7,3544 
3,00 133,525  0,00107318 0,605785561,455 2724,89  1,6718 6,9916
4,00 143,613 0,00108356 0,462392 604,723 2738,06 1,7766 6,8954 
5,00 151,836 0,00109256 0,374804 640,185 2748,11 1,8606 6,8206 
6,00 158,832 0,00110061 0,315575 670,501 2756,14 1,9311 6,7592 
7,00 164,953 0,00110797 0,272764 697,143 2762,75 1,9921 6,7070 
8,00170,4140,00111479 0,240328 721,018 2768,30 2,0460 6,6615 
9,00175,3580,00122118 0,214874 742,725 2773,04 2,0944 6,6212 
10,00179,8860,00112723 0,194349 762,683 2777,12 2,1384 6,5850 
11,00184,070 0,001132990,177436 781,198 2780,67 2,1789 6,5520 
12,00187,9650,00113850 0,177436 798,499 2783,77 2,2163 6,5217 
13,00191,6130,00114380 0,151175 814,764 2786,49 2,2512 6,4936 
14,00195,0470,00114892 0,140768 830,132 2788,89 2,2839 6,4675 
15,00198,2950,00115387 0,131702 844,717 2791,01 2,3147 6,4431 
16,00201,3780,00115868 0,123732 858,610 2792,88 2,3438 6,4200 
17,00204,3150,00116336 0,116668 871,888 2794,53 2,3715 6,3983 
18,00207,1200,00116792 0,110362 884,614 2795,99 2,3978 6,3776 
19,00209,8060,00117238 0,104698 896,844 2797,26 2,4229 6,3579 
20,00212,3850,00117675 0,0995805 908,622 2798,38 2,4470 6,3392 
25,00223,9560,00119744 0,0799474 961,983 2802,04 2,5544 6,2560 
30,00233,8580,00121670 0,0666641 1008,37 2803,26 2,6456 6,1858 
35,00242,5620,00123498 0,0570582 1049,78 2802,74 2,7254 6,1245 
40,00250,3580,00125257 0,0497766 1087,43 2800,90 2,7967 6,0697 
45,00257,4390,00126966 0,0440593 1122,14 2798,00 2,8613 6,0198 
50,00263,9430,00128641 0,0394463 1154,50 2794,23 2,9207 5,9737 
55,00269,967 0,001302910,0356422 1184,92 2789,72 2,9759 5,9307 
60,00275,5860,00131927 0,0324487 1213,73 2784,56 3,0274 5,8901 
65,00280,8590,00133557 0,0297276 1241,17  2778,833,0760 5,8515 
70,00285,8300,00135186 0,0273796 1267,44 2772,57 3,1220 5,8146 
75,00290,5370,00136820 0,0253313 1292,70 2765,82 3,1658 5,7792 
80,00295,009 0,001384660,0235275 1317,08 2758,61 3,2077 5,7448 
85,00299,2720,00140129 0,0219258 1340,70 2750,96 3,2478 5,7115 
90,00303,3470,00141812 0,0204929 1363,65 2742,88 3,2866 5,6790 
95,00307,2510,00143522 0,0192026 1386,02 2734,38 3,3240 5,6472 
100,00310,9990,00145262 0,0180336 1407,87 2725,47 3,3603 5,6159 
105,00314,6060,00147038 0,0169687 1429,27 2716,14 3,3956 5,5850 
110,00318,0810,00148855 0,0159939 1429,27 2706,39 3,4300 5,5545 
115,00321,4360,00150718 0,0150972 1470,95 2696,21 3,4636 5,5243 
120,00324,6780,00152633 0,0142689 1491,33 2685,58 3,4965 5,4941 
125,00327,8160,00154607 0,0135006 1511,46 2674,49 3,5288 5,4640 
130,00330,8570,00156649 0,0127851 1531,40 2662,89 3,5606 5,4339 
135,00333.806 0,001587660,0121163 1551,19 2650,77 3,5920 5,4036 
140,00336,6690,00160971 0,0114889 1551,19 2638,09 3,6230 5,3730 
145,00339,4520,00163276 0,0108981 1590,51 2624,81 3,6538 5,3422 
150,00342,1580,00165696 0,0103401 1610,15 2610,86 3,6844 5,3108 
155,00344,7920,00168249 0,0098114 1629,85 2596,22 3,7150 5,2789 
160,00347,3570,00170954 0,00930813 1649,67 2580,80 3,7457 5,2463 
165,00349,8560,00173833 0,00882826 1669,68 2564,57 3,7765 5,2129 
170,00352,2930,00176934 0,00836934 1690,04 2547,41 3,8077 5,1785 
175,00354,6710,00180286 0,00792681 1710,76 2529,11 3,8393 5,1428 
180,00356,9920,00183949 0,00749867 1732,02 2509,53 3,8717  5,1055 
185,00359,2580,00188000 0,00708178 1753,99 2488,41 3,9050 5,0663 
190,00361,4710,00192545 0,00667261 1776,89 2465,41 3,9396 5,0246 
195,00363,6630,00197747 0,00626677 1801,08 2440,00 3,9762 4,9795 
200,00365,7460,00203865 0,00585828 1827,10 2411,39 4,0154 4,9299 
205,00367,8110,00211358 0,00543778 1855,90 2378,16 4,0588 4,8736 
210,00369,8270,00221186 0,00498768 1889,40 2337,54 4,1093 4,8062 
215,00371,7950,00236016 0,00446300 1932,81 2282,18 4,1749 4,7166 
220,00373,7070,00275039 0,00357662 2021,92 2164,18 4,3109 4,5308 

 

Tabelle A3 Spezifisches Volumen, Enthalpie und Entropie als Funktion ausgewählter Werte für Druck und
Temperatur in den Einphasengebieten Flüssigkeit und überhitzter Dampf
t    p = 1 barp = 5 bar   
°C 

v   m3/kg

 

h   kJ/kg

s   kJ/(kg K)

 v   m3/kgh   kJ/kgs   kJ/(kg K)
        
0,001000160,05966 - 0,0001478  0,000999953 0,46700 - 0,000121 
0,00100006 8,49179 0,030610  0,000999856 8,89527 0,030622 
0,00100003 16,9119 0,061101  0,000999827 17,3117 0,061100 
0,00100006 25,3219 0,09136  0,000999862 25,7183 0,091324 
0,00100015 33,7233 0,12133  0,000999957 34,1164 0,12130 
10 0,00100030 42,1174 0,15108  0,001000011 42,50750,15104 
        
200,00100180 84,0118 0,29648  0,00100161 84,3882  0,29640
250,00100296 104,928 0,36723  0,00100278 105,298 0,36713 
300,00100437 125,833 0,43676  0,00100419 105,298 0,43664 
350,00100600 146,730 0,43676  0,00100582 147,089 0,50500 
400,00100784 167,623 0,57239  0,00100766 167,978 0,57224 
450,00100987 188,516 0,63859  0,00100970 188,866 0,63842 
500,00101210 209,412 0,70375  0,00101192 209,757 0,70357 
550,00101450 230,313 0,76794  0,00101432 230,653 0,76774 
600,00101708 251,222 0,83117  0,00101690 251,558 0,83096 
650,00101982 272,141 0,89350  0,00101964 272,473 0,89327 
700,00102273 293,074 0,95495  0,00102254 293,401 0,95471 
750,00102579 314,023 1,0156  0,00102561 314,346 1,0153 
800,00102902 334,991 1,0754  0,00102883 335,309 1,0751 
850,00103239 355,979 1,1344  0,00103220 356,293 1,1341 
900,00103593 376,992 1,1926  0,00103573 377,301 1,1923 
950,00103962 398,030 1,2502  0,00103942 398,335 1,2499 
   
1001,69596 2675,77 7,3610  0,00104325  419,3991,3067 
1101,74482 2696,32 7,4154  0,00105139 461,623 1,4184 
1201,79324 2716,61 7,4676  0,00106016 503,996 1,5275 
1301,84132  2736,72 7,5181  0,00106957 546,543 1,6344 
1401,88913 2756,70 7,5671  0,00107967 589,290 1,7391 
1501,93673 2776,59 7,6147  0,00109049 632,266 1,8419 
2002,17249 2875,48 7,8356  0,425034 2855,90 7,0611 
2502,40619 2974,54 8,0346  0,474429 2961,13 7,2726 
3002,63887 3074,54 8,2171  0,522603 3064,60 7,4614 
3502,87097 3175,82 8,3865  0,570138 3168,06 7,6345 
4003,10272 3278,54 8,5451  0,617294 3272,29 7,7954 
4503,33424 3278,54 8,6945  0,664205 3377,67 7,9464 
5003,56558 3488,71 8,8361  0,710947 3377,67 8,0891 
5503,79681 3596,28 8,9709  0,757566 3592,64 8,2247 
6004,02795 3705,57 9,0998  0,804095 3702,46 8,3543 
6504,25902 3816,60 9,2234  0,850556 3813,91 8,4784 
7004,49004 3929,38 9,3424  0,850556 3927,05 8,5977 
7504,72101 4043,92 9,4571  0,850556 4041,87 8,7128 
8004,95196 4043,92 9,5681  0,989667 4158,40 8,8240 

 

Tabelle A3 Spezifisches Volumen, Enthalpie und Entropie als Funktion ausgewählter Werte für Druck und
Temperatur in den Einphasengebieten Flüssigkeit und überhitzter Dampf (Fortsetzung)
t    p = 10 barp = 30 bar   
°C 

v   m3/kg

 

h   kJ/kg

s   kJ/(kg K)

 v   m3/kgh   kJ/kgs   kJ/(kg K)
        
0,0009996990,97582- 0,00008842 0,0009986883,007220,00003247
0,0009996069,399270,030637 0,00099860911,41170,030689
0,00099958117,81120,061099 0,00099859719,80570,061086
0,00099961826,21350,091307 0,00099864728,19110,091233
0,00099971634,60760,12127 0,00099875536,56910,12114
10 0,00099987042,99480,15100 0,00099891944,94100,15081
        
20 0,0010013984,85850,29630  0,00100047  86,73740,29588 
250,00100255 105,7610,36700  0,00100165 107,611 0,36648 
300,00100396 126,653 0,43649  0,00100307 128,475 0,43588 
350,00100560 147,538 0,50482  0,00100471 149,334 0,50413
400,00100744 168,421 0,57204  0,00100655 170,191 0,57127 
450,00100947 189,303 0,63820  0,00100859 191,050 0,63735 
500,00101170 210,188 0,70334  0,00101081 211,912 0,70241 
550,00101410 231,079 0,76749  0,00101321 232,780 0,76649 
600,00101667 251,977 0,83070  0,00101577 253,656 0,82963 
650,00101941 272,887 0,89299  0,00101851 274,544 0,89187 
700,00102231 293,810 0,95441  0,00102140 295,445 0,95322 
750,00102537 314,749 1,0150  0,00102445 316,3631,0137 
800,00102859 335,707 1,0748  0,00102765 337,299 1,0734 
850,00103196 356,686 1,1338  0,00103101 358,256 1,1324 
900,00103549 377,688 1,1920  0,00103451 379,236 1,1905 
950,00103917 398,717 1,2495  0,00103817 400,242 1,2480 
   
100 0,00104300419,774 1,3063 0,00104198 421,277 1,3048 
1100,00105112 461,987 1,4179  0,00105006 463,443 1,4163 
1200,00105988 504,348 1,5271  0,00105876 505,755 1,5253 
1300,00106928 546,882 1,6339  0,00106810 548,237 1,6320 
1400,00107936 589,614 1,7386  0,00107810 590,913 1,7365 
1500,00109015 632,575 1,8414  0,00108881 633,813 1,8391 
2000,206004 2828,27 6,6955  0,00115505 852,978 2,3285 
2500,232739 2943,22 6,9266  0,0706225 2856,55 6,2893 
3000,257979 3051,70 7,1247  0,0811753 2994,35 6,5412 
3500,282492 3158,16 7,3028  0,0905550 3116,06 6,7449 
4000,306595 3264,39 7,4668  0,0993766 3231,57 6,9233 
4500,330440 3371,19 7,6198  0,107884 3344,66 7,0853 
5000,354110 3479,00 7,7640  0,116193 3457,04 7,2356 
5500,377656 3588,07 7,9007  0,124367 3569,59 7,3767 
6000,401111 3698,56 8,0309  0,132445 3682,81 7,5102 
6500,424497 3810,55 8,1557  0,140451 3796,99 7,6373 
7000,447829 3924,12 8,2755  0,148403 3912,34 7,7590 
7500,471121 4039,31 8,3909  0,156312 4028,99 7,8759 
8000,494380 4156,14 8,5024  0,164189 4147,03 7,9885 

 In Tabelle A3 sind die beiden Einphasengebiete Flüssigkeit und überhitzter Dampf durch einen Strich in einer bestimmten Zeile voneinander getrennt. Oberhalb des Striches finden sich die Werte für flüssiges Wasser, unterhalb die Zustandswerte des überhitzten Dampfes. Exakt überschritten wird der eingezeichnete Strich bei der dem jeweiligen Druck zugeordneten Siedetemperatur.

Die Formelzeichen für die Zustandsgrößen im Nassdampfgebiet kennzeichnen wir hier mit dem Index x. Dies ist in manchen Thermodynamiklehrbüchern eine übliche, aber keineswegs international festgelegte Indizierung. Im Zweiphasengebiet Nassdampf bleiben Druck und Temperatur stets konstant. Die Zustandsgrößen spezifisches Volumen vx, spezifische Enthalpie hx oder spezifische Entropie sx können also nicht wie in den Einphasengebieten aus Druck und Temperatur berechnet werden. Man benötigt noch eine dritte Zustandsgröße für die Berechnung des Gleichgewichtszustands. Eine solche Größe ist der Dampfanteil x, der die Masse des trocken gesättigten Dampfes ins Verhältnis zur Gesamtmasse aus siedender Flüssigkeit und trocken gesättigten Dampfes setzt, und wie folgt definiert ist:

Methode

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Dampfanteil $ x = \frac{m''}{m' + m''} $                        Flüssigkeitsanteil $ 1-x = \frac{m''}{m' + m''} $

 

Diese Definitionsgleichung legt für den Dampfanteil x einen Wertebereich zwischen null und eins fest.

  • x = 0              Zustand siedende Flüssigkeit (Einphasengebiet)
  • 0 < x < 1        Zustand Nassdampf (Zweiphasengebiet)
  • x = 1              Zustand trocken gesättigter Dampf (Einphasengebiet)

Bei bekanntem Dampfanteil x sind nun die Zustandsgrößen für das Zweiphasengebiet über die aus den in den Wasserdampftafeln gewinnbaren Zustandsgrößen für siedende Flüssigkeit und trocken gesättigten Dampf mit dem nachfolgenden Ansatz, den wir hier beispielhaft für das Volumen anführen, zu berechnen. 

Methode

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$ v_{x}=(m^{'} + m^{''}) \cdot v_{x} = m^{'} \cdot v^{'} + m^{''} \cdot v^{''} $ $ \rightarrow v_{x} = (1 - x) \cdot v^{'} + x \cdot v^{''} $ $ \rightarrow v_{x} = v^{'} + x \cdot (v^{''} - v^{'}) $

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Hier klicken zum AusklappenDieser Ansatz kann gleichermaßen für die spezifischen Zustandsgrößen innere Energie ux, Enthalpie hund Entropie sx gemacht werden. Die Struktur der Berechnungsformel bleibt immer gleich.                                    $ u_{x} = u^{'} + x \cdot (u^{''} - u^{'}) $  $ h_{x} = h^{'} + x \cdot (h^{''} - h^{''}) $  $ s_{x} = s^{'} + x \cdot (s^{'} - s^{'}) $

Forschungsinstitute und große Entwicklungsabteilungen verwenden zur Bestimmung der Zustandswerte für Wasserdampf eine Software im PC, der die von IAPWS entwickelten Zustandsgleichungen zu Grunde liegen. Ansonsten greift man auf in Buchform herausgegebene Wasserdampftafeln zurück, die auf etwa 300 Seiten drei Typen von Tabellen enthalten, wie sie in einem sehr kleinen Auszug mit den Tabellen A1 bis A3 vorgestellt wurden.

Um darin für gegebene Werte von Druck und Temperatur die richtigen Zustandswerte zu finden, muss zuerst herausgefunden werden, in welcher Zustandsform das Wasser jeweils vorliegt. Dazu analysiert man die so genannte Dampfdruckkurve ps(ts). Mathematisch ist das eine eineindeutige Funktion, die in einem Phasendiagramm (p,T-Diagramm) das Gebiet mit der Phase flüssig vom Gebiet mit der Phase gasförmig trennt und anzeigt, bei welchem Druck p eine Flüssigkeit bei Vorliegen einer ganz bestimmten (Siede)temperatur zu sieden beginnt. Wegen der Eineindeutigkeit wird auch jeder Siedetemperatur ts genau ein Siededruck ps zugeordnet. In den ersten beiden Spalten der Tabelle A1 ist die Funktion ts(ps) abgebildet, in den ersten beiden Spalten von Tabelle A2 die Funktion ps(ts).

Bei der Suche nach dem Zustand für einen gegebenen Druck p und eine gegebene Temperatur t können folgende Fälle auftreten:

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  •  t < ts(p) oder ps(t):
    Einphasengebiet Flüssigkeit in Tabelle A3 Werte oberhalb der Trennlinie Flüssigkeit-überhitzter Dampf

  • ts(p) oder p > ps(t):
    Einphasengebiet überhitzter Dampf in Tabelle A3 Werte unterhalb der Trennlinie Flüssigkeit-überhitzter Dampf

  • ts(p) oder ps(t):
    Diese Situation allein gestattet keine eindeutige Zuordnung ob Einphasengebiet siedende Flüssigkeit oder trocken gesättigter Dampf oder Zweiphasengebiet Nassdampf. Wenn Dampfanteil x zusätzlich gegeben, dann
    = 0 siedende Flüssigkeit: Tabelle A1 und A2
    = 1  trocken gesättigter Dampf Tabelle A1 und A2
    0 < < 1 Nassdampf, z. B. $ v_{x} = v^{'} + x \cdot (v^{''} - v^{'}) $

Der Zustandsbereich Nassdampf im thermodynamischen Gleichgewicht tritt in der Technik in zwei verschiedenen Formen auf. Einmal in einer Form, wie es Zylinder 3 in der Abbildung mit den bei der Verdampfung auftretenden Dampfzuständen nahelegt. Oberhalb eines geschlossenen Gebietes mit der Phase siedenden Wassers befindet sich ein geschlossenes Gebiet mit trocken gesättigtem Dampf. Trocken gesättigter Dampf ist durchsichtig wie Luft. Sie sehen deutlich die Grenze zwischen diesen beiden Phasen, weil beim Übergang des Lichts vom optisch dünneren ins optisch dichtere Medium das Licht zum Einfallslot hin gebrochen wird. Eine andere Erscheinungsform des Nassdampfes ist der „weiße Nebel“. Hier haben wir es mit einem Gemisch aus trocken gesättigtem Dampf und kleinsten Tröpfchen kondensierten Wassers zu tun. Diese kleinsten Tröpfchen reflektieren einfallendes Licht diffus, so dass die weiße Farbe entsteht, etwa vergleichbar mit der Reflektion des Lichtes an den winzigen Fettkügelchen, die für die weiße Farbe der Milch sorgen. Beginnen aus dem trocken gesättigten Dampf erste kleinste Wassertropfen auszukondensieren, wird man an Tautropfen erinnert. Man spricht davon, dass die Taulinie überschritten wird. Das Wort „Tauen“ bedeutet, es tritt erstmalig Flüssigkeit auf. Wenn Eis taut, sieht man Schmelzwasser und wenn Dampf kondensiert, nimmt man Tautropfen wahr.

Bitte übe das Auffinden der Zustandswerte in den hier angegebenen Auszügen einer Wasserdampftafel! Sollten die Zustandswerte nicht in den Tabellen gegeben sein, werden wir diese als gegebene Größen in den Beispielen aufführen.

Beispiel

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Berechnung von Dampfparametern mit IAPWS-IF 97 und nach „idealem Gas“

Welche Fehler entstehen, wenn man anstelle der Zustandsgleichungen für Dampf die Grundgleichung für ideales Gas verwendet? Vergleichen Sie die spezifischen Volumina für Wasserdampf in folgenden Fällen:

a) Nassdampf von 1 MPa und 25 % siedenden Wassers bei Siedetemperatur

b) trocken gesättigten Dampf von 1 MPa

c) Dampf von 0,1 MPa und 750 °C

Gegeben sei das Molekulargewicht von Wasser mit 18,01538 kg/kmol.

Gegeben:

a) p = 1 MPa = 10 bar und ts = 179,886 °C (Tab. A2); Ts = 453,036 K mit x = 0,75

b) p = 1 MPa = 10 bar und ts = 179,886 °C (Tab. A2); Ts = 453,036 K: Wert nach Tabelle A2:
v´´ = 0,194349 m³/kg

c) p = 1 bar und T = 1023,15 K: Tafelwert nach Tabelle A3: v = 4,72101 m³/kg

MH2O = 18,01538 kg/kmol

Hinweise für die Lösung:

Wenn man die spezifischen Dampfvolumina mit der Grundgleichung für ideales Gas berechnen wollte, benötigt man eine Gaskonstante für Wasserdampf, die man mit Hilfe des Molekulargewichtes von Wasser gewinnt aus:

$ R_{H_{2}O} = \frac {R_{m}}{M_{H_{2}O}} = \frac {8,3144621 \, kJ/(kmol K)}{18,01538 \, kg/kmol} = 0,461520217 \, kJ/(kg K) $

$ v = \frac {R_{H_{2}O} \cdot T}{p} $

Man beachte die Formulierung für a) 25 % siedenden Wassers ist eine Aussage zum
Flüssigkeitsanteil, der resultierende Dampfanteil beträgt x = 0,75!

 

Die hier dargestellten Auszüge aus den Wasserdampftafeln gehen von Drücken in bar und
Temperaturen in Grad Celsius aus. In die Grundgleichung für ideales Gas sind zwingend die
Werte für die thermodynamische Temperatur in Kelvin einzusetzen!

Lösung:

a) Nassdampf bei 10 bar mit $ = 0,75 $

Tabelle A2 für $ p = 10 \, bar: $ $ v^{'} = 0,00112723 \, m^{3}/kg $ und $ v^{''} = 0,194349\, m^{3}/kg \, (IAPWS-IF 97) $

$\begin{align}v_{x}&= v^{'} + x \cdot (v^{''} - v^{'})
\\ & = 0,00112723 \, m^{3}/kg + 0,75 \cdot (0,194349 - 0,00112723) \, m^{3}/kg
\\ & = 0,146043557 \, m^{3}/kg \end{align}$

 

$\begin{align}v = \frac {R_{H_{2}O} \cdot T}{p}
\\ & = \frac {461,520217 J/(kg \, K) \cdot 453,036 K}{1.000.000 \, N/m^{3}}
\\ & = 0,209085 \frac {m^{3}}{kg} \end{align}$

 

Relativer Fehler: $ \frac {\Delta v}{v_{x}} = \frac {(0,209085 - 0,146043557) m^{3}/kg}{0,146043557 m^{3}/kg} = 0,43166 \, \textbf{>43%}$

b) trocken gesättigter Dampf bei 10 bar

Tabelle A2 für $ p = 10 \, bar: v^{''} = 0,194349 \, m^{3}/kg \, (IAPWS-IF 97) $ 

$\begin{align}v^{''} = \frac {R_{H_{2}O} \cdot T}{p}
\\ & = \frac {461,520217 J/(kg \, K) \cdot 453,036 K}{1.000.000 \, N/m^{3}}
\\ & = 0,209085 \frac {m^{3}}{kg} \end{align}$

Realtiver Fehler: $\frac {\Delta v}{v^{''}} = \frac {(0,209085 - 0,194349) m^{3}/kg}{0,194349 m^{3}/kg} = 0,075822 \, \textbf {≈7,6%}$

c) überhitzter Dampf 1 bar; 750 °C

Tabelle A3: $ v (1 \, bar; 750 °C) = 4,72101 m^{3}/kg $

$v = \frac {461,520217 J/(kg \, K) \cdot 1023,15 K}{100.000 \, N/m^{3}}= 4,72204 \frac {m^{3}}{kg}$

Realtiver Fehler: $ \frac {\Delta v}{v} = \frac {(4,72204 - 4,72101) m^{3}/kg}{4,72101 m^{3}/kg} = 0,000218 \, \textbf{<0,022%} $

 

Schlussfolgerung: Je niedriger die Drücke und desto weiter man sich mit den Temperaturen vom Verflüssigungspunkt entfernt kann man für Abschätzungen auf die Grundgleichung für ideales Gas zurückgreifen. Für die Gebiete Flüssigkeit und Nassdampf ist die Grundgleichung für ideales Gas völlig ungeeignet.