Beispiel
Drosselung als irreversibler Vorgang
Bei strömenden Medien tritt durch Reibung zwischen den einzelnen Fluidteilchen und an den Begrenzungswänden ein Druckverlust in Flussrichtung auf (natürlicher irreversibler Prozess p2 < p1). Dieser Druckverlust ist bei höheren Geschwindigkeiten an Rohrverengungen besonders groß. Rohrverengungen (Blende, Klappe, Ventil) werden daher zur Druckabsenkung als Drosseln eingesetzt. Drosseln erweisen sich auch als hilfreich bei der Messung von Volumenströmen.
Für ein strömendes Fluid ist nach dem ersten Hauptsatz für offene Systeme anzusetzen:
$q_{12} + w_{t,12} = (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} (c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)$
Für die Drosselung sollen darüber hinaus folgende Annahmen gelten:
- kein Wärme- und Arbeitstransport über die Systemgrenze q12 = 0 und wt,12 = 0
- Strömungsgeschwindigkeit vor Drosselstelle ist etwa gleich der Geschwindigkeit nach der Drosselstelle (c1 ≈ c2)
- die Strömung erfolgt in einem waagerechten Rohr (z1 = z2)
Mit diesen Annahmen folgt für die Drosselung h1 = h2 oder dh = 0 und das heißt, bei der Drosselung bleibt die Zustandsgröße Enthalpie konstant, die Drosselung läuft isenthalp ab. Aus h1 = h2 folgt für ideales Gas außerdem T1 = T2, da Enthalpie in diesem Modell eine reine Temperaturfunktion ist.
Für offene Systeme hatten wir für die Berechnung der Entropie für ideales Gas gefunden:
$ds = \frac{dq}{T} = \frac{dh}{T} - \frac{\nu \cdot dp}{T} = c_p \frac{dT}{T} - \frac{R_i \cdot T}{p \cdot T} dp$
Mit dh = 0 folgt nun daraus:
$ds = - \frac{\nu}{T}dp = - \frac{R_i}{p}dp $
$\Delta s = s_2 - s_1 = - \int \limits_{1}^{2} R_i \frac{dp}{p} = - R_i ln \Bigl( \frac{p_2}{p_1}\Bigr) = R_i ln \Bigl( \frac{p_1}{p_2}\Bigr) $
Der Nachweis für Δs > 0 ist wegen p1 > p2 und daraus folgend $ln \Bigl( \frac{p_1}{p_2} \Bigr) \gt 0$ erbracht. Außerdem folgt für Δs = sq,12 + si,12 mit sq,12 = 0 der unmittelbare Nachweis, dass die Entropieproduktion ein positives Vorzeichen hat (si,12 > 0). Die Entropieproduktion $s_{i,12} = \int \limits_{1}^{2} \frac{dw_{diss}}{T}$ ist auch die Basis für die Berechnung der Dissipationsenergie für konstante Temperatur bei der Drosselung von idealem Gas:
$w_{diss,12} = T \cdot s_{i,12} \; $ mit $\; s_{i,12} = \Delta s = R_i \cdot ln \Bigl( \frac{p_1}{p_2} \Bigr)$
$P_{diss,12} = \dot m \cdot T \cdot R_i \cdot ln \Bigl( \frac{p_1}{p_2} \Bigr)$
Diese Erkenntnisse wollen wir jetzt auf eine Massenstrommessung mit einer Normblende von 20 mm Durchmesser in einer Sauerstoffleitung anwenden. Durch Messung des Druckunterschieds vor und hinter der Blende wird der durchgesetzte Massenstrom berechnet aus:
$\dot m = \alpha \cdot A_{Bl} \cdot \sqrt{2 \cdot \rho \cdot \Delta p}$
Die Durchflusszahl α ist als kalibrierte Gerätekonstante mit α = 0,9855 gegeben. Der statische Druck in der Leitung betrage 125 kPa, die Temperatur 17°C. Über der Blende falle eine Druckdifferenz von 11 mm Wassersäule ab. Die Dichte des Wassers betrage 1 $\frac{kg}{dm^3}$. Die Molekülmasse des Sauerstoffs kann mit 31,9988 $\frac{kg}{kmol}$ angesetzt werden.
- Welcher Sauerstoffmassenstrom in $\frac{kg}{h}$ fließt durch die Leitung?
- Welche Leistung in mW geht durch die Messung „verloren“?
Gegeben:
| $d_{Bl} = 20mm$ | $\alpha = 0,9855 $ | $\rho_W = 1000 \frac{kg}{m^3} $ |
| $h = 0,011 m $ | $T = 290,15 K $ | $p = 125.000 Pa $ |
| $M_i = 31,9988 \frac{kg}{kmol} $ |
Lösung:
- Bestimmung durchgesetzter Sauerstoffmassenstrom
1. Schritt: Gaskonstante Sauerstoff bestimmen:- Gaskonstante Sauerstoff mit Molekülmasse aus Stoffwerttabelle
$R_{O_2} = \frac{R_m}{M_{O_2}} = \frac{8,3144621 \frac{kJ}{kmol \; K}}{31,9988 \frac{kg}{kmol}} = 0,2598367 \frac{kJ}{kg \; K}$ - Dichte des Sauerstoffs unter Betriebsbedingungen
$\rho_{O_2} = \frac{p}{R_{O_2} \cdot T} = \frac{125.000 \frac{N}{m^2}}{259,8367 \frac{Nm}{kg \; K} \cdot 290,15 K}= 1,658\frac{kg}{m^3}$ - Im U-Rohr Manometer gemessener Druckabfall in der Blende (Manometerflüssigkeit: Wasser)
$\Delta p = \rho_{H_2O} \cdot g \cdot h = 1.000 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,80665 \frac{m}{s^2} \cdot 0,011m = 107,87315 Pa$ - Bestimmung des Massenstroms für O2 nach gegebener Formel
$\begin{align} \dot m & = \alpha \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2_{Bl} \cdot \sqrt{2 \cdot \rho_{O_2} \cdot \Delta p}
\\ \dot m & = 0,9855 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 0,02^2 m^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 1,658 \frac{kg}{m^3} \cdot 107,87315 \frac{kg \; m}{s^2 \; m^3}}
\\ \dot m & = 0,005855587 \frac{kg}{s} \cdot \frac{3600s}{h} = 21,08 \frac{kg}{h} \end{align}$
- Gaskonstante Sauerstoff mit Molekülmasse aus Stoffwerttabelle
- durch Messung hervorgerufene Dissipation
$\begin{align} P_{diss,12} & = \dot m \cdot R \cdot T \cdot ln \frac{p_1}{P_2}
\\ P_{diss,12} & = 0,005855587 \frac{kg}{s} \cdot 259,8367 \frac{J}{kg \; K} \cdot 290,15K \cdot ln \frac{125.000,00 Pa}{124.892,13 Pa}
\\ P_{diss,12} & = 381,13 mW \end{align}$
In der Aufgabenstellung wird nach Energieverlusten gefragt, tatsächlich kann aber Energie gar nicht verloren gehen. Physikalisch gibt es natürlich keine Energieverluste. Aber ein Energiewirtschaftler, der Energieumwandlungsprozesse in Gang setzt, um Euch in geeigneter Form Energie als Fähigkeit zur Verrichtung von Arbeit zu verkaufen, kann die dabei auftretende Reibungsenergie nicht ansetzen, denn diese dissipiert bei den entsprechenden Prozessen in Wärme und wird an die Umgebung abgegeben. Sie verschwindet im „Wärmesumpf der Umgebung“ und ist daher aus kaufmännischer Sicht ein Verlust.
Nicht immer ist es so einfach wie in den Beispielen zu Kapitel 5.1 allein aus der alltäglichen Erfahrung heraus entscheiden zu können, in welche Richtung ein Prozess läuft und ob ein neuer Gleichgewichtszustand mit den angestrebten Zielparametern erreicht werden kann. Dies illustriert das nächste Beispiel.
