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Thermodynamik - Erreichbarkeit eines Gleichgewichts in einem Fließprozess

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Thermodynamik

Erreichbarkeit eines Gleichgewichts in einem Fließprozess

Beispiel

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Erreichbarkeit eines Gleichgewichtszustands in einem Fließprozess

Ein Maschinenbauunternehmen bietet an, eine sehr gut wärmeisolierte Düse zur Beschleunigung von Luft zu liefern, die in der Lage sei, ruhende Luft auf 550 $\frac{m}{s}$ zu beschleunigen, wobei der Ausgangsdruck von 4,21 bar auf physikalischen Normdruck fallen würde. Die Ausgangstemperatur der Luft betrage 85°C, ihre Gaskonstante sei mit 287 $\frac{J}{(kg \; K)}$ gegeben.

Kann dieser Zustand tatsächlich erreicht werden? Nehmen Sie zu dieser Aussage auf der Basis der Hauptsätze der Thermodynamik Stellung!

 Gegeben: 

$c_1 = 0$$c_2 = 550 \frac{m}{s} $$R_L = 287 \frac{J}{(kg \; K)} $
$t_1 = 85 °C $$p_1 = 4,21 bar $$p_2 = 1,01325bar $
(physikalischer Normdruck)

Hinweise zur Lösung:

  1. Luft kann hier als zweiatomiges, ideales Gas behandelt werden (Isentropenexponent κ = 1,4) womit für die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck folgt

    $c_{p,L} = \frac{\kappa}{\kappa - 1} R_L= \frac{1,4}{0,4} \cdot 287\frac{J}{kg \; K} = 1004,5\frac{J}{kg \; K} = konstant$

    Der Druck ist bei diesem Prozess nicht konstant, aber das betrachtete System offen. Die
    Energiebilanzgleichung enthält als Bilanzgröße die Enthalpie h, deren Wert nach den
    kalorischen Zustandsgleichungen für ideales Gas mit der spezifischen Wärmekapazität bei
    konstanten Druck berechnet wird

  2. Hier wird ein stationärer Fließprozess (wt,12 = 0) im adiabaten System (q12 = 0) beschrieben. Wir unterstellen eine horizontale Lage der Düse (z1 = z2), so dass der erste Hauptsatz für offene System mit einer Totalenthalpie in folgender Form aufgeschrieben werden kann
    $\begin{align} 0 & = (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} (c_2^2 - c_1^2)
    \\ \leftrightarrow \; 2(h_1 - h_2) & = c_2^2 - c_1^2 
    \\ \leftrightarrow \; 2\cdot c_{p,L} (t_1 - t_2) & = c_2^2 - c_1^2 \end{align}$

    Der hier analysierte Fließprozess unterscheidet sich von einer rein isentropen Zustandsänderung um den Betrag der Strömungsenergie. Daher wäre ein Ansatz
    $T_2 = T_1 \Bigl( \frac{p_2}{p_1} \Bigr)^{\frac{\kappa - 1}{\kappa}}$ an dieser Stelle falsch!

  3. Die Düse ist ein offenes, adiabates System. Die Bilanzgleichung  für die Entropie verwenden wir in massenstromspezifischer Form. Dann folgt mit sq,12 = 0  wegen der adiabaten Systemgrenze s2 – s1 = 0 + si,12 . Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ist erfüllt, wenn die massenstromspezifische Entropieproduktion si,12 ≥ 0 ist.

  4. Temperatur t2 am Düsenaustritt nach dem ersten Hauptsatz
    $t_2 = t_1 - \frac{c_2^2 - c_1^2 }{2 \cdot c_{p,L}} = 85°C - \frac{550^2 \Bigl(\frac{m}{s} \Bigr)^2}{2 \cdot 1004,5 \frac{J}{kg \; K}} = - 65,6°C$

    Bei Vorliegen von Temperaturdifferenzen können ohne weiteres Celsiustemperaturen verwendet werden, jedoch ist in den nachfolgenden Formeln für die Entropie auf thermodynamische Temperaturskala umzurechnen, so dass T1 = 358,15 K und T2 = 207,55 K.

  5. Ermittlung der Entropieproduktion nach dem zweiten Hauptsatz
    $\begin{align}s_{i,12} & = s_2 - s_1 = c_{p,L} \cdot ln \frac{T_2}{T_1} - R_L \cdot ln \frac{p_2}{p_1}
    \\ & = 1004,5 \frac{J}{kg \; K} \cdot ln \frac{207,55 K}{358,15K} - 287 \frac{J}{kg \; K} \cdot  ln \frac{1,01325bar}{4,21 bar}
    \\ & = -139,26 \frac{J}{kg \; K} \lt 0 \end{align}$

    Dieser Befund steht im Widerspruch zum zweiten Hauptsatz, die Entropieproduktion kann für einen realen, verlustbehafteten Prozess nur positive Werte annehmen! Die hier von dem Unternehmen angegebenen Zielparameter lassen sich nicht verwirklichen, mit welcher konstruktiven Ausführung der Düse auch immer.

Berechnung der Entropie von Dämpfen:

Hier ist man auf die Wasserdampftafeln (Tabelle A1 bis A3) angewiesen. Zwischenwerte müssen gegebenenfalls interpoliert werden. Meistens genügt eine lineare Interpolation!

Beispiel

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Isentrope Dampfentspannung in einer Gegendruck-Dampfturbine

Eine Industrie-Dampfturbine mit angenommenen adiabaten Turbinenwänden  beziehe 3000 \frac{m^3}{min.}. Frischdampf von 30 bar und 350 °C und entspanne diesen Dampf isentrop auf einen Gegendruck von 5 bar. Die kinetische und potentielle Energie des Arbeitsdampfes können hier vernachlässigt werden.

  1. Welche Leistung steht an der Turbinenwelle zur Verfügung?
  2. Welche Temperatur weist der Abdampf auf?

Gegeben:

pF = 30 bar
tF = 350 °C
pGD = 5 bar

Hinweise zur Lösung:

  1. Die Dampfturbine stellt ein offenes, stationär durchströmtes System dar. Nach Aufgabenstellung können kinetische und potentielle Energien des Dampfes vernachlässigt werden.
  2. Zunächst ist festzustellen, welcher Dampfzustand dem Frischdampf und welcher dem Abdampf zuzuordnen ist.
  3. Die Leistung der Turbine ergibt sich aus $P = \dot m \cdot w_{t,12} = h_2 - h_1$. Da sie frei wird, muss P < 0 sein.
  4. Der Massenstrom muss über den Volumenstrom mit Hilfe des spezifischen Frischdampfvolumens bestimmt werden.
  5. Die Stoffwerte müssen allesamt aus den Wasserdampftafeln ermittelt werden.

Lösung:

  1. Bestimmung der Turbinenleistung
    1. Schritt: Dampfzustände für Frischdampf und Abdampf
      Frischdampf:
      Tabelle A2: ts(30 bar) = 233,858 °C < 350 °C → überhitzter Dampf (Tab. A3)
      Tabelle A3: pF = 30bar;  tF = 350 °C:
      ν1 = 0,090555 $\frac{m^3}{kg}$
      h1 = 3116,06 $\frac{kJ}{kg}$
      s1 = 6,7449 $\frac{kJ}{kg \; K}$

      Abdampf: isentrope Zustandsänderung bedeutet: $s_1 = s_2 = 6,7449 \frac{kJ}{kg \; K}$ = konstant
      Es gilt $s'(5bar) \lt s_2 \lt s''(5bar) $ → es handelt sich um Nassdampf, der Dampfanteil x muss noch bestimmt werden!
      $\begin{align} s'(5bar) = 1,8606 \frac{kJ}{kg \; K} \;\;\;\;\;\; & s''(5bar) = 6,8206 \frac{kJ}{kg \; K}
      \\ h'(5bar) = 640,185 \frac{kJ}{kg} & h''(5bar) = 2748,11 \frac{kJ}{kg} \end{align}$

      Zustandspunkt 2 liegt im Nassdampfgebiet, damit $s_2 = s'(5bar) + x_2 \cdot (s'' - s')_{5bar}$. Aufgelöst nach x2: $x_2 = \frac {s_2 - s'(5bar)}{(s'' - s')_{5bar}} = \frac{(6,7449 - 1,8606)\frac{kJ}{kg \; K}}{(6,8206 - 1,8606)\frac{kJ}{8kg \; K}} = 0,98473$

      Mit diesem Dampfanteil kann nun die Nassdampfenthalpie h2 bestimmt werden.
      $\begin{align} h_2 & = h'(5bar) + x_2 \cdot (h'' - h')_{5bar}
      \\ & = 640,185 \frac{kJ}{kg} + 0,98473 \cdot (2748,11 - 640185) \frac{kJ}{kg}
      \\ & = 2715,92\frac{kJ}{kg}\end{align}$

    2. Schritt: Bestimmung der spezifischen technischen Arbeit wt,12
      $w_{t,12} = h_2 - h_1 = (2715,92 - 3116,06) \frac{kJ}{kg} = -400,14 \frac{kJ}{kg}$

    3. Schritt: Bestimmung des Massenstroms
      $\dot m = \frac{\dot V}{\nu_1} = \frac{500 \frac{m^3}{s}}{0,090555 \frac{m^3}{kg}} = 552,15 \frac{kg}{s}$

    4. Schritt: Turbinenleistung
      $P = \dot m \cdot w_{t,12} = \dot m \cdot (h_2 - h_1) = 552,15 \frac{kg}{s} \cdot (-440,14)\frac{kJ}{kg} = \underline{-243,02 MW}$

  2. Temperatur des Turbinenabdampfes

    Der Turbinenabdampf ist Nassdampf bei 5 bar. Seine Temperatur entspricht folglich der Siedetemperatur bei 5 bar.
    $t_2 = t_S(5bar) = \underline{151,836°C}$
    Die Siedetemperaturen nach Wasserdampftafel sind mit Gleichungen berechnet, die die Dampfdruckkurve annähern und hier mit 6 signifikanten Ziffern ausgewiesen. Messen könnte man solche Temperaturen mit einer solchen Genauigkeit nicht. Im Kraftwerksbetrieb könntest Du froh sein, wenn Du an dieser Stelle 152 °C durch Messung ermitteln könntest.
    Bei Gegendruck-Dampfturbinen wird absichtlich nicht bis zum niedrigsten möglichen Druck entspannt, damit der Abdampf noch eine genügend hohe Temperatur aufweist, die ihn für andere industrielle Zwecke interessant macht, hier zum Beispiel für Trocknungszwecke oder für ein Dampfheizkraftwerk zur Fernwärmeversorgung. Solche Anwendungen firmieren unter der Bezeichnung Kraft-Wärme-Kopplung und sind besonders energieeffizient, weil sie für eine gute Brennstoffausnutzung sorgen.