Duales Simplexverfahren

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie das duale Simplexverfahren angewendet wird. Das duale Simplexverfahren wird dann herangezogen, wenn das Optimierungsproblem nicht in kanonischer Form gegeben ist bzw. sich schwer in diese Form überführen lässt.

Liegt das lineare Optimierungsmodell in kanonischer Form vor, so existiert bereits zu Beginn des Simplexverfahrens eine zulässige Basislösung und es kann das primale Simplexverfahren angewandt werden. In diesem Abschnitt soll nun aber das lineare Optimierungsmodell nicht in kanonischer Form vorliegen. Das bedeutet also, dass keine zulässige Basislösung vorliegt. Ist dies der Fall, so muss das duale Simplexverfahren oder die Big-M-Methode (siehe spätere Abschnitte) angewandt werden.

Es wird im folgenden anhand eines Beispiels gezeigt, wie bei dem dualen Simplexverfahren vorgegangen wird.

Gegeben sei das folgende Optimierungsproblem

$f(x_1, x_2) = 2x_1 + x_2$  $ \rightarrow$   max!

u.d.N.

$x_1 + x_2 \ge 8$

$3x_1 + x_2 \ge 12$

$x_1 + x_2 \le 10$

$x_1, x_2 \ge 0$

Das Optimierungsmodell liegt noch nicht in Standardform vor (größer-gleich-Nebenbedingungen vorhanden). Es muss also zunächst in diese transformiert werden. Eine größer-gleich-Nebenbedingung wird ein eine kleiner-gleich-Nebenbedingung transformiert, indem diese mit $-1$ multipliziert wird:

$f(x_1, x_2) = 2x_1 + x_2$  $ \rightarrow$   max!

u.d.N.

$-x_1 - x_2 \le -8$

$-3x_1 - x_2 \le -12$

$x_1 + x_2 \le 10$

$x_1, x_2 \ge 0$

Das Optimierungsmodell liegt nun in Standardform vor (Maximierungsproblem, kleiner-gleich-Bedingungen, Nichtnegativitätsbedingung). Allerdings sind hier die Werte der rechten Seite nicht alle positiv, weshalb keine zulässige 1. Basislösung existiert. Es muss demnach das duale Simplexverfahren angewandt werden. Das Optimierungsproblem wird zunächst in die Normalform überführt (Einfügen von Schlupfvarbiablen um Gleichheitsbedingungen zu erhalten):

$f(x_1, x_2) = 2x_1 + x_2$  $ \rightarrow$   max!

u.d.N.

$-x_1 - x_2 + x_3                    = -8$

$-3x_1 - x_2        + x_4           = -12$

$x_1 + x_2                           + x_5    = 10$

$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \ge 0$

Danach werden die Werte in das Simplextableau eingetragen:

Das obige Anfangstableau erhält die unzulässige Basislösung $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = -8$, $x_4 = -12$ und $x_5 = 10$ mit dem Zielfunktionswert $f(x_1, x_2) = z = 0$. Diese Lösung ist deshalb unzulässig, da die Nichtnegativitätsbedingung für die Variablen $x_3$ und $x_4$ nicht gegeben ist.