Die Fourier´sche Differentialgleichung, die das Temperaturfeld für die instationäre Wärmeleitung beschreibt, haben wir schon kennengelernt.
$\frac{\partial t}{\partial \tau} = a \cdot \nabla^2t + \frac{\tilde{\dot q}}{\rho \cdot c_p}$ oder für eine räumliche Betrachtung in kartesischen Koordinaten $\frac{\partial t(x, y, z, \tau)}{\partial \tau} = a \cdot \Big( \frac{\partial^2 t}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 t}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 t}{\partial z^2)} + \frac{\tilde{\dot q (x, y, z, \tau)}}{\rho \cdot c_p} \Big)$ mit $ a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}$
Es bedeuten hierin:
| $t$ | Temperatur | $x, y, z$ | Ortskoordinaten im kartesischen Koordinatensystem |
| $\tau$ | Zeit | $\rho$ | Dichte |
| $a$ | Temperaturleitfähigkeit | $c_p$ | spezifische Wärmekapazität (bei konstantem Druck) |
| $\tilde{\dot q}$ | volumenspezifische Ergiebigkeit |
Für die Lösung der Differentialgleichung sind neben den Randbedingungen erster bis dritter Art, die wir schon im Abschnitt stationäre Wärmeleitung verwendet haben, zusätzlich noch Anfangsbedingungen anzugeben. Mathematisch formuliert lauten diese:
t(x, y, z, τ = 0) = t0(x, y, z) oder bei überall gleichen Anfangstempaturen t(x, y, z, τ = 0) = t0 = konstant
Für die Integration dieser partiellen, linearen, aber inhomogenen Differentialgleichung bei wirklichkeitsnahen Rand- und Anfangsbedingungen stehen analytisch geschlossene Lösungen nicht zur Verfügung, man muss auf numerische Verfahren wie die Finite-Elemente-Methode (FEM) oder das finite Differenzenverfahren (DV) zurückgreifen. Mit großem mathematischen Aufwand gelingen lediglich für die eindimensionale instationäre Wärmeleitung bei Abwesenheit innerer Wärmequellen oder –senken ( ) in einigen Fällen geschlossen analytische Lösungen. Aus denen können allerdings die Praktiker aussagekräftige Verallgemeinerungen herleiten. Allein schon deshalb ist eine Beschäftigung mit diesen analytischen Lösungsverfahren gerechtfertigt.
Darüber hinaus sind noch Näherungsverfahren gebräuchlich, die einen Übergang von der partiellen Differential-gleichung mit Ableitungen der Temperatur vom Ort x und der Zeit t, zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit nur einer Ableitung der Temperatur von einer einzigen unabhängigen Variable gestatten.
Mathematisch ist die Lösung von Aufgaben für die instationäre eindimensionale Wärmeleitung vorteilhaft zu handhaben, wenn man mit den nachfolgend genannten dimensionslosen Kennzahlen arbeitet.
Prüfungstipp
Schreibe Dir die Definitionen dieser Kennzahlen auf einer Karteikarte heraus. Bei der Erarbeitung der nachfolgenden Abschnitte wird sich als sehr hilfreich erweisen, diese Definitionen immer zur Hand zu haben!
- dimensionslose Übertemperatur Θ
$\Theta = \frac{t - t_U}{t_0 - t_U}$ - dimensionslose Ortskoordinate ξ mit einer charakteristischen Länge L*
$\xi = \frac{r}{L^*}$
Die charakteristische Länge L* ergibt sich abhängig von der Geometrie aus:- für die ebene unendlich ausgedehnte Platte $L^* = \frac{\delta}{2}$ (halbe Plattenstärke δ)
- für den Zylinder L* = R (halber Zylinderdurchmesser = Zylinderradius R)
- für die Kugel L* = R (halber Kugeldurchmesser = Kugelradius R)
- dimensionslose Zeit Fo (Fourier-Zahl)
$Fo = \frac{a \cdot \tau}{(L^*)^2}$
Die Temperaturleitfähigkeit a in der Fourier-Zahl ist eine Stoffeigenschaft des wärmeleitenden Körpers. Der Ausdruck a · τ hat die Dimension einer Länge zum Quadrat. Eine an der Körperoberfläche aufgeprägte Temperaturdifferenz pflanzt sich über eine gewisse Zeit über die so genannte thermische Diffusionslänge $l \sim \sqrt{a \cdot \tau}$ ins Körperinnere fort. Die thermische Diffusionslänge kennzeichnet also die Länge in einem Festkörper, die in der Zeit τ von einer Temperaturänderung erfasst wird. Die Fourier-Zahl Fo ist damit aufzufassen als $Fo \sim \Big( \frac{l}{L^*} \Big)^2 \sim \Big( \frac{\text{thermische Diffunsionslänge}}{\text{geometrische Länge}} \Big)^2$ - dimensionslose Randbedingung dritter Art Bi (Biot-Zahl)
$Bi = \frac{\alpha \cdot L^*}{\lambda}$
Die Biot-Zahl ist das Verhältnis des Wärmeleitwiderstandes im Körperinneren $\frac{L^*}{\lambda}$ zum Wärmeübergangswiderstand an der Körperoberfläche $\frac{1}{\alpha}$. Der Wärmeleitkoeffizient λ in der Biot-Zahl ist eine Stoffeigenschaft des wärmeleitenden Körpers.
$\alpha (t_U - t_W) = - \lambda \cdot \frac{\partial t(x, \tau)}{\partial x} \Big\vert_{x=x_W} \;\;\; \rightarrow \;\;\; Bi \cdot \Theta (\xi= 1,Fo) = - \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} \Big\vert_{\xi = 1}$
