Jetzt betrachten wir die Fourier´sche Differentialgleichung bei eindimensionaler instationärer Wärmeleitung für einfache Grundgeometrien mit einer weiteren Einschränkung, nämlich dem Vorliegen symmetrischer Randbedingungen. Dadurch können wir uns bei der Lösung jeweils auf eine Symmetriehälfte beschränken. Wir gehen immer davon aus, dass ein homogener Festkörper über eine einheitliche Anfangstemperatur t0 verfüge und zum Zeitpunkt t = 0 einem Temperatursprung ausgesetzt werde.
Die Fourier´sche Differentialgleichung mit den dimensionsbehafteten Größen $\frac{\partial t}{\partial \tau} = a \cdot \Big( \frac{\partial^2 t}{\partial r^2} + \frac{n}{r} \cdot \frac{\partial t}{\partial r} \Big)$
| unendlich ausgedehnte ebene Wand | n = 0 und r ≡ x |
| unendlich langer Zylinder (Stirnwände adiabat) | n = 1 |
| Kugel | n = 2 |
lässt sich mit den Kennziffern dimensionslose Übertemperatur Q, dimensionslose Zeit Fo und dimensionslose Ortskoordinate x in eine Differentialgleichung mit dimensionslosen Größen überführen (Ähnlichkeits-darstellung). Für die Ortskoordinate x vereinbaren wir lediglich wegen der Beschränkung der Betrachtung auf nur eine Symmetriehälfte, dass für die Symmetrieachse immer gilt ξ = 0 und für die Außenränder ξ = +1 oder ξ = –1.
Methode
$\frac{\partial \Theta}{\partial Fo} = a \cdot \Big( \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \xi^2} + \frac{n}{\xi} \cdot \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} \Big)$
Die zugehörigen dimensionslosen Anfangsbedingungen lauten:
$t(r, \tau = 0) = t_0 \;\;\; \rightarrow \;\;\; \Theta (\xi , Fo = 0) = 1$
Die Randbedingung erster Art wird beschrieben durch
$t(x_W , \tau ) = t_W \;\;\; \rightarrow \;\;\; \Theta (\xi = 1, Fo) = 0$
oder durch den Grenzübergang α → ∞ (Bi → ∞), wodurch die Wandtemperatur tW gegen die Umgebungstemperatur tU strebt.
Die als Wärmestrom an der Körperoberfläche vorgegebene Randbedingung zweiter Art lautet in dimensionsloser Form $\dot q_W (x=x_W ,\tau ) = - \lambda \frac{\partial t}{\partial x} \Big\vert_{x=x_W} \;\;\; \rightarrow \;\;\; \dot q_W - \lambda \frac{(t_W - t_U)}{L^*} \cdot \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} \Big\vert_{\xi = 1} $
Eine spezielle Form ist bedeutsam für die symmetrische Beaufschlagung durch Randbedingungen, weil dann in der Körpermitte (r = 0, ξ = 0) kein Wärmestrom fließt, so dass man nur eine Symmetriehälfte betrachten muss und an der Symmetrieachse xS ansetzt
$\dot q_W (x = x_s , \tau) = 0 \;\;\; \rightarrow \;\;\; \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} \Big\vert_{\xi = 1} = 0$
Für die dimensionslose Formulierung der Randbedingungen dritter Art
$\alpha (t_U - t_W) = - \lambda \cdot \frac{\partial t (x, \tau)}{\partial x} \Big\vert_{x=x_W} \;\;\; \rightarrow \;\;\; Bi \cdot \Theta (\xi = 1Fo) = - \frac{\partial \Theta}{\partial \xi} \Big\vert_{\xi = 1}$
Wir wollen die als Lösung für die oben angegebene Differentialgleichung auftretenden Reihenentwicklungen hier nicht herleiten und verweisen dazu auf die entsprechende Literatur. Stattdessen führen wir für die drei Grundgeometrien (ebene Wand, Zylinder und Kugel) die speziellen Lösungen auf und beschreiben, wie man die dort auftauchenden Eigenwerte μk aus einer nichtlinearen Eigenwertgleichung gewinnt.
Methode
- unendlich ausgedehnte ebene Wand:
$\Theta (\xi , Fo,Bi) = \sum \limits_{k=i}^{\infty} \frac{2 \cdot sin (\mu_k)}{\mu_k + sin(\mu_k) \cdot cos(\mu_k)} \cdot cos(\mu_k \cdot \xi) \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$
Eigenwerte für Randbedingungen erster Art: $ cos(\mu_k) = 0 \Leftrightarrow \mu_k = (2k - 1) \cdot \frac{\pi}{2})$
Eigenwerte für Randbedingungen dritter Art: Lösen der transzendenten Gleichung $cos( \mu_k) = \frac{\mu_k}{Bi}$ - unendlich langer Zylinder
$\Theta (\xi , Fo,Bi) = \sum \limits_{k=i}^{\infty} \frac{2\cdot J_1 (\mu_k) }{\mu_k \cdot(J_0^2(\mu_k) + J_1^2(\mu_k))} \cdot J_0 (\mu_k \cdot \xi) \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$
Eigenwerte $\mu_k$ für Randbedingungen erster Art: Gleichung lösen $J_0(\mu_k) = 0$
Eigenwerte $\mu_k$ für Randbedingungen dritter Art: Gleichung lösen $J_0(\mu_k) = \frac{\mu_k}{Bi} \cdot J_1(\mu_k)$
J0 und J1 sind die Besselfunktionen (Zylinderfunktionen) nullter und erster Ordnung und stellen ihrerseits unendliche Reihen dar! Die Auswertung der Gleichungen für den Zylinder mit einem Taschenrechner ist zu aufwendig! - Kugel
$\Theta (\xi , Fo,Bi) = \sum \limits_{k=i}^{\infty} 2 \frac{sin(\mu_k) - \mu_k \cdot cos(\mu_k)}{\mu_k - sin(\mu_k) \cdot cos(\mu_k)} \cdot \frac{sin(\mu_k \cdot \xi)}{\mu_k \cdot \xi} \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$
Eigenwerte μk für Randbedingungen erster Art: Gleichung lösen $\frac{sin(\mu_k)}{sin(\mu_k) -\mu_k \cdot cos(\mu_k)} = 0 \Leftrightarrow \mu_k = k \cdot \pi$
Eigenwerte μk für Randbedingungen dritter Art: Gleichung lösen $\mu_k \cdot cos(\mu_k) = 1 - Bi$
Für alle drei Grundgeometrien bestehen die speziellen Lösungen aus unendlichen Reihen. Wegen des Terms $e^{- \mu^{2}_{k} \cdot Fo}$ konvergieren diese Reihen für sehr kleine Zeiten τ nur sehr langsam, das heißt man benötigt für eine hinreichend genaue Lösung sehr viele einzelne Reihenglieder. Hinzu kommen, insbesondere für die Randbedingung dritter Art, erhebliche Anstrengungen zur Ermittlung der benötigten Eigenwerte μk. Eine Auswertung „von Hand“ mit dem Taschenrechner ist dann oft zu aufwendig. Entsprechend programmierte Routinen in Verbindung mit einem PC sind für diese Fälle empfehlenswert. Für große Zeiten reicht manchmal ein einzelnes Reihenglied aus, so dass man da mit dem Taschenrechner auskommt. Welche Situation vorliegt, muss zuvor fallabhängig untersucht werden.
