Beispiel
Eier mit einer zu Beginn die einheitliche Anfangstemperatur von 20 °C werden in einem Eierkocher zum Zeit-punkt t = 0 mit kondensierenden Dampf beaufschlagt. Der Wärmeübergang zwischen kondensierenden Dampf und Ei sei so hoch, dass an der äußeren Eierschale von einer konstanten Temperatur von 100 °C auszugehen ist (Randbedingung erster Art!). Man betrachte das Ei unabhängig von der Form als Kugel mit 50 mm Durchmesser und unabhängig von Eierschale, Eiweiß und Eigelb als homogenen Körper mit folgenden Stoffeigenschaften: Dichte 1050 $\frac{kg}{(m^3)}$, Wärmeleitfähigkeit 0,5 $\frac{W}{(m \, K)}$ und spezifische Wärmekapazität 3,2 $\frac{kJ}{(kg \, K)}$.
Welche Temperaturen werden im Inneren des Eies nach 5 und nach 7 Minuten erreicht?
Gegeben:
| ρ = | 1050 $\frac{kg}{(m^3)}$ | λ = | 0,5 $\frac{W}{(m \, K)}$ | cp = | 3200$\frac{J}{(kg \, K)}$ | r = | 0,025 m |
| t0 = | 20 °C | tW = tU = | 100 °C | τ1 = | 300 s | τ2 = | 420 s |
| ξ = | 0 (dimensionslose Ortkoordinate in Kugelmitte) | ||||||
Lösung:
$a = \frac{\lambda}{\rho \cdot c_p} = \frac{0,5 $\frac{W}{(m \, K)}$}{1050 $\frac{kg}{(m^3)}$ \cdot 3200$\frac{J}{(kg \, K)}$} = 0,14881 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}$
$Fo(\tau_1) = \frac{a \cdot \tau_1}{r^2} = \frac{0,14881 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s} \cdot 300 s}{(0,025 m)^2} = 0,0714288$
$Fo(\tau_2) = \frac{0,14881 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s} \cdot 420 s}{(0,025 m)^2} = 0,1$
$\Theta(Fo, \xi ) = \sum \limits^{\infty}_{k=1} 2 \frac{sin(\mu_k) - \mu_k \cdot cos(\mu_k)}{\mu_k - sin(\mu_k) \cdot cos(\mu_k)} \cdot \frac{sin(\mu_k \cdot \xi) \cdot \mu_k}{\mu_k \cdot \xi} \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$ mit den Eigenwerten μk = k · π also μ1 = π, μ2 = 2π, μ3 = 3π, μ4 = 4π usw.
Der Ausdruck $f_2(\mu_k , \xi) = \frac{sin(\mu_k \cdot \xi)}{\mu_k \cdot \xi}$ wird für ξ = 0 wegen der Form $\frac{0}{0}$ unbestimmt. Nach der Regel von Bernoulli und l`Hospital folgt dann $\lim \limits_{\xi \to 0} \frac{sin(\mu_k \cdot \xi)}{\mu_k \cdot \xi} = \lim \limits_{\xi \to 0} \frac{cos(\mu_k \cdot \xi) \cdot \mu_k}{\mu_k} = 1$. Unter Beachtung der Nullstellen für die Sinusfunktion entsteht eine etwas vereinfachte Form der speziellen Lösung:
$\Theta(Fo, \xi = 0) = \sum \limits^{\infty}_{k=1} 2 \frac{-\mu_k \cdot cos(\mu_k)}{\mu_k} \cdot 1 \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo} = \sum \limits^{\infty}_{k=1} -2 cos(\mu_k) \cdot e^{-\mu_k^2 \cdot Fo}$ mit $\Theta = \frac{t - t_U}{t_0 - t_U}$
Auswertung für τ1 = 300 s oder dimensionslos für Fo(τ1) = 0,0714288 ergibt sich:
$\begin{align} \Theta(Fo(\tau_1), \xi = 0) & = (-2) \cdot (-1) \cdot e^{-\pi^2 \cdot Fo(\tau_1)} + (-2) \cdot (+1) \cdot e^{-4 \pi^2 \cdot Fo(\tau_1)}
\\ & + (-2) \cdot (-1) \cdot e^{9 -\pi^2 \cdot Fo(\tau_1)} + (-2) \cdot (+1) \cdot e^{-16 \pi^2 \cdot Fo(\tau_1)} + ...
\\ & = +0,988242843 - 0,119224284 + 0,003511827 - 0,000025256 ± ...
\\ & ≈ 0,872505129
\\ & ≈ 0,872505 \end{align}$
Die Berücksichtigung Glieder höherer Ordnung trägt nicht mehr sinnvoll zur Verbesserung der Genauigkeit des Ergebnisses bei.
$\begin{align} t(\tau_1 , r = 0) & = t_W + \Theta(t_0 - t_W)
\\ \rightarrow \;\;\; t(300s , 0m) & = 100°C + 0,872505 \cdot (20°C - 100°C)
\\ & ≈ 30,2°C \end{align}$
Für τ2 = 420 s oder mit Fo(τ2) = 0,1 folgt dann
$\begin{align} \Theta(Fo(\tau_2), \xi = 0) & = (-2) \cdot (-1) \cdot e^{-\pi^2 \cdot Fo(\tau_2)} + (-2) \cdot (+1) \cdot e^{-4 \pi^2 \cdot Fo(\tau_2)}
\\ & + (-2) \cdot (-1) \cdot e^{9 -\pi^2 \cdot Fo(\tau_2)} + (-2) \cdot (+1) \cdot e^{-16 \pi^2 \cdot Fo(\tau_2)} + ...
\\ & = +745415677 - 0,038592605 + 0,000277553 - 0,000000277 ± ...
\\ & ≈ 0,7071 \end{align}$
$\begin{align} t(\tau_2 , r = 0) & = t_W + \Theta(t_0 - t_W)
\\ \rightarrow \;\;\; t(420s , 0m) & = 100°C + 0,7071 \cdot (20°C - 100°C)
\\ & ≈ 43,43°C \end{align}$
Anhand dieses Beispiels siehst Du:
Trotz der starken Vereinfachungen spiegeln sich hier unsere Erfahrungen mit dem Eierkochen gut wider. Zwischen 41 °C und 43 °C beginnt die Masse im Ei zu gerinnen. Beim sogenannten 5-Minuten-Ei ist das Eigelb noch flüssig, beim 7-Minuten-Ei schon leicht fest (hart gekocht).
