Beim Modell Blockkapazität betrachten wir nicht die partielle Differentialgleichung für die eindimensionale instationäre Wärmeleitung und suchen eine Temperaturverteilung t = t(x,τ), sondern greifen uns die Fälle heraus, bei denen eine durchgängig einheitliche Temperatur an jeder Stelle x des Körpers eine Funktion der Zeit τ ist. Die Temperatur in einem solchen Körper, den wir Blockkapazität nennen, ändert sich nur mit der Zeit, ist aber an jedem Punkt des Körpers für einen ausgewählten Zeitpunkt gleich. Ein mit der Umgebung thermisch gekoppelter Behälter, der mit einem stets gut durchmischten Fluid gefüllt ist, kann gleichfalls als Blockkapazität angesehen werden. In diesem Fall spricht man vom Modell eines ideal gerührten Behälters.
Je mehr Wärme über die Oberfläche der Blockkapazität abgegeben oder aufgenommen wird, desto niedriger muss der Widerstand für die Wärmeleitung im Inneren des Körpers sein, damit dort im gesamten Bereich eine einheitliche Temperatur herrscht. Das Verhältnis von Wärmeleit- zu Wärmeübergangswiderstand wird durch die Biot-Zahl Bi ausgedrückt. Das Modell Blockkapazität setzt also mindestens Bi < 1 voraus, unbedenklich ist die Anwendung des Modells für Bi < 0,15. Für größere Biot-Zahlen treten örtliche Temperaturdifferenzen sowohl im Körper als auch in seiner unmittelbaren Umgebung auf. Im Grenzfall Bi → ∞ (α → ∞) wird zum Zeitpunkt τ = 0 die Wand schon Umgebungstemperatur annehmen, während im Inneren des Körpers erst allmählich der Temperaturausgleich anläuft. Dann ist das Modell Blockkapazität nicht anwendbar.
Ein mit dem Massenstrom $\dot m$ über die Grenze eines offenen thermodynamischen Systems tretender Wärmestrom $\dot Q$ wird beschrieben durch: $\dot Q = \dot m \cdot c_p \cdot (t_2 - t_1) = \rho \cdot \dot V \cdot c_p \cdot (t_2 - t_1) $ . Der Massenstrom bewirkt eine Änderung der inneren Energie des thermodynamischen Systems. Im Unterschied dazu betrachten wir jetzt einen Körper mit der Masse m, dessen innere Energie durch Wärmeströme an seiner Oberfläche einer zeitlichen Änderung unterliegt. Bei einer Blockkapazität tritt die zeitliche Änderung der Temperatur einheitlich für die ganze Masse m des Körpers auf. Die Wärmeströme werden durch Temperaturunterschiede zwischen Körper und Umgebung ausgelöst und über entsprechende Randbedingungen erfasst.
Methode
$$\dot Q = m \cdot c \cdot \frac{dt}{d \tau} = \rho \cdot V \cdot c \cdot \frac{dt}{d \tau}$$
Dieser gewöhnlichen Differentialgleichung werden folgende Anfangs- und Randbedingungen zugeordnet:
- Anfangsbedingung: $t(\tau = 0) = t_0$
- Randbedingung dritter Art: $\dot Q = - \alpha \cdot A \cdot (t - t_U)$ mit folgenden Bedingungen:
- $t \lt t_U$ → Körper gibt Wärme ab $\dot Q \gt 0$
- $t \gt t_U$ → Körper nimmt Wärme auf $\dot Q \lt 0$
Weil der Wärmeübergang Fluid/Körper an der Körperoberfläche alleinige Ursache für den Wärmetransport in oder aus dem Körper ist, folgt die Bilanzgleichung:
$\rho \cdot V \cdot c \cdot \frac{dt}{d \tau} = - \alpha \cdot A \cdot (t - t_U)$ ,
für die nach Trennung der Veränderlichen die allgemeine Lösung mathematisch leicht zu finden ist.
$\large{\frac{dt}{t - t_U} = \frac{\alpha \cdot A}{\rho \cdot V \cdot c} d \tau \;\;\; \rightarrow \;\;\; ln(t - t_U) = - \frac{\alpha \cdot A}{\rho \cdot V \cdot c} + K \;\;\; \rightarrow \;\;\; t - t_U = K \cdot e^{- \frac{\alpha \cdot A}{\rho \cdot V \cdot c} \cdot \tau}}$
Die frei wählbare Konstante K in der allgemeinen Lösung führt bei der Anfangsbedingung t(τ = 0) = t0 auf K = t0 – tU. Ferner definiert man aus den physikalischen Größen im Exponenten der e-Funktion eine Zeitkonstante als charakteristische $\vartheta$ Größe für die Blockkapazität.
Methode
$$\vartheta = \frac{\rho \cdot V \cdot c}{\alpha \cdot A} = \frac{m \cdot c}{\alpha\cdot A}$$ mit $[\vartheta] = 1s$
Die spezielle Lösung der Differentialgleichung der Blockkapazität erscheint nun in der Form $t- -t_U = (t_0 - t_U) \cdot e^{- \frac{\tau}{\vartheta}}$
Merke
Damit können für die Erreichung des Gleichgewichtszustandes folgende Aussagen getroffen werden:
- $\tau = 1 \cdot \vartheta$: $\;\;\;\;\; t(\tau) - t_U = (t_0 - t_U) \cdot e^{-1} = (t_0 - t_U) \cdot 0,36788$
Die treibende Temperaturdifferenz ist auf circa 36 % ihres Ausgangswertes gefallen. - $\tau = 5 \cdot \vartheta$: $\;\;\;\;\; t(\tau) - t_U = (t_0 - t_U) \cdot e^{-5} = (t_0 - t_U) \cdot 0,0067379$
Die treibende Temperaturdifferenz ist auf circa 0,67 % ihres Ausgangswertes gefallen und der Gleichgewichtszustand fast erreicht!
Mit Hilfe der Zeitkonstante kannst Du ohne die Differentialgleichung zu lösen, Aussagen zum Verlauf der Aufheizung oder Abkühlung des Körpers oder des gerührten Behälters treffen. Je größer die Zeitkonstante, desto langsamer vollziehen sich die Temperaturänderungen in der Blockkapazität. Die Zeitkonstante wird wesentlich vom Verhältnis Volumen zu Oberfläche des Körpers bestimmt. Die Körpergeometrie bestimmt also signifikant die Geschwindigkeit von Aufwärm- oder Abkühlprozessen.
