Wärmeleitung in mehrschichtigen Wänden – Die Analogie zum Ohm´schen Gesetz

Bisher wurde nur die stationäre Wärmeleitung in einem homogen aufgebauten Körper mit isotropen Material-verhalten betrachtet. Bei vielen Aufgaben ist jedoch eine Wärmeleitung durch mehrere Schichten zu analysieren.

Hier hilft eine bestehende Analogie der stationären Wärmeleitung zum Ohm´schen Gesetz der Elektrotechnik. Basis für diese Analogiebetrachtung ist die Annahme, dass der „fließende“ Wärmestrom als Analogon zum fließenden elektrischen Strom einer Potentialdifferenz (Wärmeleitung: Temperaturdifferenz; Elektrotechnik: Spannung (gegen null)) und einem Widerstand (Wärmeleitung: thermischer Widerstand R_th (hier Wärmeleitung R_λ); Elektrotechnik: Ohm´scher Widerstand R_el) zugeordnet ist.

Für die Verknüpfung der örtlichen Temperaturverteilung mit dem Wärmestrom in einer für die Nutzung der oben angesprochenen Analogie günstigen Form ist eine der Analogie entsprechende Darstellung von $\dot Q$ anstelle des flächenspezifischen Wärmestroms $\dot q$ heranzuziehen. Wir schreiben also für eine ebene Wand:

$\dot Q = \dot q \cdot A = - \lambda \cdot gard \, t \cdot A = - \lambda \cdot \frac{dt}{dx} \cdot A$ und $\frac{dt}{dx} = \frac{t_1 - t_2}{\delta}$ so dass folgt
$\dot Q = + \lambda \cdot \frac{t_1 - t_2}{\delta} \cdot A = \frac{t_1 - t_2}{R_{\lambda, eW}} $

Man bezeichnet R_λ,eW als Wärmeleitwiderstand für eine ebene Wand, der definiert ist als
$R_{\lambda, eW} = \frac{\delta}{\lambda \cdot A} \;\;\;\;\; [R_{\lambda}] = 1 \frac{K}{W}$

Für die ebene Wand ist die Wandfläche A für jedes x mit 0 ≤ x ≤ δ gleich groß. Bei ebenen Wänden arbeitet man deshalb manchmal auch mit dem Wärmedurchlasswiderstand R_d oder mit dem Wärmedurchlasskoeffizienten Λ, die wie folgt definiert sind:

Mit dem Wärmedurchlasswiderstand R_d beurteilt man den Wärmeschutz von Hüllwänden bei Gebäuden. Er gibt nämlich an, welcher Widerstand dem Wärmestrom durch ein Bauteil entgegengesetzt wird, um das „Durchlassen“ der Wärme zu bremsen. Der Zahlenwert von R_d bezieht sich auf eine Referenzfläche von einem Quadratmeter (1 m²) bei einer Temperaturdifferenz von einem Kelvin (1 K) zwischen innerer und äußerer Oberfläche des Bauteils. Größere Zahlenwerte des Wärmedurchlasswiderstands R_d bedeuten eine stärkere wärmedämmende Wirkung des Bauteils. Dagegen gilt, dass je höher der Wärmedurchlasskoeffizient Λ, desto schlechter dämmt die betreffende Schicht die Wärme.

Für umschlossene Geometrien wie unendlicher Zylinder oder Kugel wächst die Fläche mit dem Radius r und es gilt A(r) ~ r. Der Wärmeleitwiderstand nimmt also mit steigenden Radien ab.

Beim unendlichen Hohlzylinder wird der Temperaturverlauf nicht durch eine lineare Funktion wie bei der ebenen Wand, sondern durch eine logarithmische Funktion beschrieben. Die Verknüpfung des Temperaturprofils mit dem Wärmestrom $\dot Q$ erfolgt nun durch $ \dot Q = - \lambda \cdot gard \, t \cdot A(r) = - \lambda \cdot \frac{dt}{dx} \cdot A(r)$ und mit dem vom Radius r abhängigem Zylindermantel $A(r) = 2 \pi \cdot r \cdot l$ sowie $\frac{dt}{dr} $=$ \frac{t_1 - t_2}{ln(\frac{r_2}{r_1})} $ $\cdot \frac{1}{r}$ folgt

$\dot Q = \frac{t_1 - t_2}{r \cdot ln(\frac{r_2}{r_1})} \cdot 2 \pi \cdot r \cdot l = \lambda \cdot \frac{t_1 - t_2}{ln(\frac{r_2}{r_1})} \cdot 2 \pi \cdot l = \frac{t_1 - t_2}{R_{\lambda,uZ}} $

Der Wärmeleitwiderstand eines unendlichen Hohlzylinders ist also definiert als $R_{\lambda,uZ} = \frac{ln(\frac{r_2}{r_1})}{\lambda \cdot 2 \pi \cdot l} \;\;\;\;\; [R_{\lambda,uZ}] = 1 \frac{K}{W}$

Die Ausbildung des stationären logarithmischen Temperaturprofils in Rohren (wichtig für die Beurteilung von Wärmespannungen) ist von der Richtung des Wärmestroms abhängig. Bei Beschränkung der Betrachtung auf radiale Wärmeströme unter Berücksichtung der in Rohren von innen nach außen wachsenden Mantelflächen A(r) gilt

$\dot Q = - \lambda \cdot \frac{dt}{dr} \cdot A(r) = konstant \;\;\; $ also $ \;\;\;  \dot Q \sim \frac{dt}{dr} \cdot A(r) = konstant$

Abb.1

Nach Abb.1 sind mit den gebräuchlicheren Bezeichnungen t(r_i) = t_wi  und t(r_a) = t_wa  für den Temperaturverlauf t(r) grundsätzlich zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Wärmestrom von außen nach innen
   
   In Richtung des in konstanter Höhe fließenden Wärmestroms nimmt die Fläche A(r) ab, so dass in gleichem Maße wegen $\frac{dt}{dr} \cdot A(r) = konstant$ der Gradient $\frac{dt}{dr}$ der Temperatur wachsen muss.
   
   
2. Wärmestrom von innen nach außen
   
   In Wärmestromflussrichtung nimmt die Fläche A(r) zu, so dass in Richtung äußere Mantelfläche der Gradient $\frac{dt}{dr}$ entsprechend kleiner wird.
   
   Der stationäre Temperaturverlauf in einer Hohlkugel r₁ ≤ r ≤ r₂ besitzt einen hyperbolischen Verlauf. Die Verknüpfung mit dem Wärmestrom bei Verwendung der vom Radius abhängigen Kugeloberfläche $A(r) = 4 \pi \cdot r^2$ sowie $grad \, t = \frac{dt}{dr} = \frac{(t_1 - t_2)}{\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}} \cdot (- \frac{1}{r^2})= \frac{(t_1 - t_2)}{r^2 (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})}$ führt auf
   
   $\dot Q = - \lambda \cdot \frac{(t_1 - t_2)}{r^2 (\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1})} \cdot 4 \pi \cdot r^2 = \lambda \cdot \frac{(t_1 - t_2)}{\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}} \cdot 4 \pi  = \frac{t_1 - t_2}{R_{\lambda ,Ku}}$
   
   mit dem Wärmeleitwiderstand für die Hohlkugel
   $ R_{\lambda ,Ku} = \frac{\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}}{\lambda \cdot 4 \pi} \;\;\;\;\; [R_{\lambda}] = 1 \frac{K}{W} $
   

   Methode

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   $$\dot Q = \frac{(t_1 - t_2)}{R_{\lambda ,Ku}} = \frac{(t_1 - t_2)}{\frac{\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}}{\lambda  \cdot 4 \pi}} = \frac{\lambda \cdot 4 \pi \cdot (t_1 - t_2)}{\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}} $$

   Bei der Nutzung der Analogie stationäre Wärmeleitung – Ohm´sches Gesetz im elektrischen Stromkreis muss der Wärmestrom analog zum elektrischen Strom bei einer Reihenschaltung von Wärmewiderständen in allen Schichten konstant bleiben. Die Größe des Wärmeleitwiderstandes für jede einzelne Schicht i einer ebenen Wand und damit Höhe des Temperaturabfalls in dieser Schicht ergeben sich aus der Schichtdicke δ_i und der Materialeigenschaft λ_i. Die abfallende Temperaturdifferenz Δt_i in jeder Materialschicht i entspricht dem Spannungsabfall in einem analogen elektrischen Widerstand. Die Summe der Spannungsabfälle in jedem einzelnen Widerstand R_el,i entspricht dem Spannungsabfall aus dem Gesamtwiderstand R_el. Gleiches gilt analog für die Temperaturdifferenzen bei der Wärmeleitung, so dass mit Bezug auf Abb.2 auszugehen ist von
   $$\dot Q = \frac{t_1 - t_4}{R_{\lambda ,ges}} = \frac{t_1 - t_4}{\frac{1}{A} \cdot (\frac{\delta_1}{\lambda_1} + \frac{\delta_2}{\lambda_2} + \frac{\delta_3}{\lambda_3})} = \frac{t_1 - t_2}{\frac{1}{A} \cdot \frac{\delta_1}{\lambda_1}} = \frac{t_2 - t_3}{\frac{1}{A} \cdot \frac{\delta_2}{\lambda_2}} = \frac{t_3 - t_4}{\frac{1}{A} \cdot\frac{\delta_3}{\lambda_3}}$$
   Bei bekannten äußeren Wandtemperaturen t₁ und t₄ sind die Temperaturen der inneren Schichten t₂ und t₃ bestimmbar. Der Gesamtwiderstand für die Wärmeleitung beträgt R_λ,ges = R_λ,1 + R_λ,2 + R_λ,3 . Die Gesamttemperaturdifferenz ∆t = t₁ - t₄  ändert sich nicht, wenn die einzelnen Summanden vertauscht werden, aber die Zwischenschichttemperaturen nehmen dann andere Werte an. Wegen unterschiedlicher Temperaturbeständigkeiten bestimmter Schichten kann es deshalb durchaus zwingende konstruktive Gründe geben, eine bestimmte Reihenfolge bei der Anordnung der Wärmeleitwiderstände einzuhalten.
   

   Abb.2
   Interessiert man sich nicht für die Zwischenwandtemperaturen, kann man die dreischichtige Wand homogenisieren und als einschichtige Wand mit einer äquivalenten Wärmeleitfähigkeit λ_ges betrachten.

   Methode

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   $$\lambda_{ges}= \frac{\delta_1 + \delta_2 + \delta_3}{\frac{\delta_1}{\lambda_1} + \frac{\delta_2}{\lambda_2} + \frac{\delta_3}{\lambda_3}}$$

   Diese Methode ist bei Bedarf leicht für jeweils eine beliebige Zahl von Schichten anzupassen.

   Bei einer Parallelschaltung von Wärmeleitwiderständen ist es oft erforderlich, sich zuvor ein elektrisches Ersatzschaltbild zu erarbeiten. Mit der Stromverzweigung wird man feststellen, dass der Wärmefluss nicht überall im Berechnungsmodell wirklich eindimensional ist. Je nach Zuschnitt des elektrischen Ersatzmodells werden auch etwas differierende Ergebnisse erhalten, die einer Interpretation bedürfen.