Wärmeisolierung einer Gebäudewand

Lösung:

Hier liegt eine stationäre, eindimensionale Wärmeleitung mit Randbedingung erster Art durch eine mehrschichtige ebene Wand vor.

1. Verlustwärmestrom ohne und mit Isolierung
   
   Der Verlustwärmestrom hängt nicht von der Anordnung der Schichten ab. Es gilt: $\dot Q = \frac{t_{W,i} - t_{W,a}}{\sum \limits^{n}_{i=1} R_{\lambda ,i}}$
   
   Folgende Wärmeleitwiderstände können für die einzelnen Schichten berechnet werden:
   
   $R_{IP} = {\large \frac{\delta_{IP}}{\lambda_{IP} \cdot A} = \frac{0,015 m}{0,790 \frac{W}{(m \; K)} \cdot 300 m^2}} = 0,06329 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}$
   
   $R_{ZW} ={\large \frac{\delta_{ZW}}{\lambda_{ZW} \cdot A} = \frac{0,240 m}{0,580 \frac{W}{(m \; K)} \cdot 300 m^2}} = 1,37931 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}$
   
   $R_{AP} ={\large \frac{\delta_{AP}}{\lambda_{AP} \cdot A} = \frac{0,025 m}{0,930 \frac{W}{(m \; K)} \cdot 300 m^2}} = 0,08961 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}$
   
   $R_{iso} ={\large \frac{\delta_{iso}}{\lambda_{iso} \cdot A} = \frac{0,080 m}{0,029 \frac{W}{(m \; K)} \cdot 300 m^2}} = 9,1954 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}$
   
   Verlustwärmestrom ohne Isolierung: 
   $\dot Q = {\large\frac{t_{W,i} - t_{W,a}}{R_{IP} + R_{ZW} + R_{AP}} = \frac{20 °C - (–12 °C)}{(0,06329 +1,37931 +0,08961) \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}}} = 20,885 kW$
   
   Verlustwärmestrom mit Isolierung:
   $\dot Q = {\large\frac{t_{W,i} - t_{W,a}}{R_{IP} + R_{ZW} + R_{AP} + R_{iso}} = \frac{20 °C - (–12 °C)}{(0,06329 +1,37931 +0,08961 +9,1954) \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}}} = 2,983 kW$
   
   Für die Lösung wäre es auch möglich, den Wandaufbau im Berechnungsmodell zu homogenisieren und mit einer Gesamtwandstärke sowie mit einer äquivalenten Gesamtwärmeleitfähigkeit zu arbeiten. Für die Wand ohne Isolierung wäre dann beispielsweise anzusetzen:
   
   $\begin{align} \lambda_{ges} & = \frac{\delta_{IP} + \delta_{ZW} + \delta_{AP}}{\frac{\delta_{IP}}{\lambda_{IP}} + \frac{\delta_{ZW}}{\lambda_{ZW}}  + \frac{\delta_{AP}}{\lambda_{AP}}}
   \\ & = \frac{(0,015 + 0,240 + 0,025 ) m}{(\frac{0,015 }{0,79} + \frac{0,24}{0,58} + \frac{0,025}{0,93}) \frac{W}{m \, K}} 
   \\ & = \frac{0,28}{(0,018987341 + 0,413783103 + 0,02688172)\frac{W}{m \; K}}
   \\ \lambda_{ges}  & = 0,609156275 \frac{W}{m \; K} \end{align}$
   
   
   
2. Temperaturverlauf in Gebäudewand bei Außenisolierung und Innenisolierung
   
   Für den Temperaturabfall in den einzelnen Schichten kann sind die jeweiligen Temperaturdifferenzen über den Teilwiderständen in Verbindung mit dem konstanten Wärmestrom heranzuziehen. Demgemäß setzen wir bei Außendämmung an:
   
   
   • für die Temperatur zwischen Innenputz und Ziegelwand t_ZW,i :
     $\begin{align}\dot Q = \frac{t_{W,i} - t_{ZW,i}}{R_{IP}} \rightarrow t_{ZW,i} & = t_{W,i} - \dot Q \cdot R_{IP}
     \\ & = 20°C - 2,983 kW \cdot 0,06329 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}
     \\ & = 19,81°C\end{align}$
     
     
   • für die Temperatur zwischen Ziegelwand außen und Isolierplatte t_ZW,a :
     $\begin{align}\dot Q = \frac{t_{ZW,i} - t_{ZW,a}}{R_{ZW}} \rightarrow t_{ZW,a} & = t_{ZW,i} - \dot Q \cdot R_{ZW}
     \\ & = 19,81°C - 2,983 kW \cdot 1,37931 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}
     \\ & = 15,70°C\end{align}$
     
     
   • für die Temperatur zwischen Isolierplatte außen und Außenputz innen:
     $\begin{align}\dot Q = \frac{t_{ZW,a} - t_{AP,i}}{R_{iso}} \rightarrow  t_{AP,i} & = t_{ZW,a} - \dot Q \cdot R_{iso}
     \\ & = 15,70°C - 2,983 kW \cdot 9,1954 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}
     \\ & = -11,73 °C \end{align}$
     
     
   • Temperaturdifferenzen in den Schichten bei Außendämmung:

     ΔtIP = (20,00 - 19,81)°C = 0,19 K	Δtiso = (15,7 - (-11,73))°C = 27,43 K
     ΔtZW = (19,81 - (15,7))°C = 4,11 K	ΔtAP = (-11,73 - (-12,00))°C = 0,27 K

   
   Analoges Vorgehen bei der Innendämmung liefert
   
   • für die Temperatur zwischen Innenputz und Isolierplatte t_iso,i:
     $\begin{align}\dot Q = \frac{t_{W,i} - t_{iso,i}}{R_{IP}} \rightarrow  t_{iso,i} & = t_{W,i} - \dot Q \cdot R_{IP}
     \\ & = 20°C - 2,983 kW \cdot 0,06329 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}
     \\ & = 19,81°C \end{align}$
     
     
   • für die Temperatur zwischen Isolierplatte außen und Ziegelwand innen t_ZW,i:
     $\begin{align}\dot Q = \frac{t_{iso,a} - t_{ZW,i}}{R_{iso}} \rightarrow t_{ZW,i} & = t_{iso,a} - \dot Q \cdot R_{iso}
     \\ & = 19,81°C - 2,983 kW \cdot 9,1954 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}
     \\ & = -7,62°C \end{align}$
     
     
   • für die Temperatur zwischen Ziegelwand außen und Außenputz innen
     $\begin{align}\dot Q = \frac{t_{ZW,i} - t_{ZW,a}}{R_{ZW}} \rightarrow t_{ZW,a} & = t_{ZW,i} - \dot Q \cdot R_{ZW}
     \\ & = -7,62°C -2,983 kW \cdot 1,37931 \cdot 10^{-3} \frac{K}{W}
     \\ & = -11,73 °C \end{align}$
     
     
   • Temperaturdifferenzen in den Schichten bei Innendämmung:
     

     ΔtIP = (20,00 - 19,81)°C = 0,19 K	Δtiso = (19,81 - (-7,62))°C = 27,43 K
     ΔtZW = (-7,62 - (-11,73))°C = 4,11 K	ΔtAP = (-11,73-(-12,00))°C = 0,27 K

Was lernen wir außerdem aus dem Beispiel?

Je nach Lage der Isolierschicht unterscheiden sich – wie Abbildung 3 zeigt – die Temperaturen in den mittleren Wandschichten erheblich. Bei innenseitiger Wärmedämmung liegen in diesem Beispiel die Temperaturen im Außenputz sowie in der Ziegelwand ausschließlich als negative Temperaturen vor. So erhöhen sich im Vergleich zur außenseitigen Wärmedämmung die Gefahr der Taupunktunterschreitung (Kondensation von diffundierender Luftfeuchtigkeit und Schimmelbildung an den Wänden) und die Gefahr für Bauschäden durch Frost infolge gefrierender Feuchtigkeit. Eine dann einsetzende erhöhte Durchfeuchtung des Baumaterials (insbesondere der Isolierschichten) führt zu einem Ansteigen der Wärmeleitfähigkeit. Daraus folgen zusätzliche Wärmeverluste. Die Folgen einer Innenisolierung sind verkleinerte Wohnflächen und kürzere Zeiten für Aufheizung oder Auskühlung der betreffenden Räume. Die Außenisolierung sorgt für eine Erhöhung der Wärmespeicherung durch die Wände mit der Folge, dass sich die Räume langsamer aufheizen oder abkühlen, also über die Tageszeit sowie über das Jahr angenehmeres Raumklima schaffen. Bei außenseitiger Dämmung bleibt gleichzeitig die Wohnfläche erhalten. Man sollte sich also nach Möglichkeit für die Außendämmung entscheiden und wenn dies nicht möglich (Denkmalschutz), Lösungen unter Berücksichtigung der bauphysikalischen Wirkungen der Innendämmung entwickeln.

Lösung:

Der Fall a) ist als Reihenschaltung der Wärmeleitwiderstände der Wandschichten, Aufgabenteil b) als Kombination aus Reihen- und Parallelschaltung für die Wärmeleitwiderstände nach Ersatzschaltbild in Abb.4 zu berechnen.

Abb.4

1. spezifische Kühlleistung für Wand ohne Wärmebrücken
   $\begin{align} \dot Q_K & =  \frac{t_{W,a} - t_{W,i}}{R_{\lambda ,ges}} \;\;\; \rightarrow \;\;\; \dot q_K = \frac{t_{W,a} - t_{W,i}}{A \cdot R_{\lambda ,ges}}
   \\
   \\ A \cdot R_{\lambda ,ges} & = A \cdot (R_{B} + R_{iso} + R_{ESt}) = \frac{\delta_{B}}{\lambda_{B}} + \frac{\delta_{iso}}{\lambda_{iso}} + \frac{\delta_{ESt}}{\lambda_{ESt}}
   \\
   \\ A \cdot R_{\lambda ,ges} & = \frac{0,300m}{1,280 \frac{W}{(m \; K)}} + \frac{0,080m}{0,029 \frac{W}{(m \; K)}} + \frac{0,0015m}{15,0 \frac{W}{(m \; K)}} = 2,9931 \frac{m^2 \, K}{W}
   \\
   \\ \dot q_K & = \frac{30°C - (-10°C)}{2,9931 \frac{m^2 \, K}{W}} = \frac{40K}{2,9931 \frac{m^2 \, K}{W}} = 13,36 \frac{W}{m^2} \end{align}$
   
   
2. Erhöhung der erforderlichen Kühlleistung durch Wärmebrücken in der Wand
   
   $A = A_{iso} + A_{ESt} \;\;\;\;\; A_{}= 0,9998 m^2 \;\;\;\;\; A_{}= 0,0002 m^2$
   
   $\begin{align} A \cdot R_{\lambda ,ges} & = A \dot (R_b + \frac{1}{\frac{1}{R_{iso}} + \frac{1}{R_{ESt}}} + R_{ESt}
   \\ & = \frac{\delta_{B}}{\lambda_{B}} + \frac{\delta_{iso}}{\frac{A_{iso}}{A} \cdot \lambda_{Sty} + \frac{A_{ESt}}{A} \cdot \lambda_{ESt}} + \frac{\delta_{ESt}}{\lambda_{ESt}}
   \\ & = \frac{0,300m}{1,28\frac{W}{(m \; K)}} + \frac{0,08m}{0,9998 \cdot 0,029 \frac{W}{(m \; K)} + 0,0002 \cdot 15 \frac{W}{(m \; K)}} + \frac{0,0015m}{15 \frac{W}{(m \; K)}}
   \\ & = 2,734928207 \frac{m^2 \; K}{W}
   \\
   \\ \dot q_K & = \frac{t_{W,a} - t_{W,i}}{A \cdot R_{\lambda ,ges}}
   \\ & = \frac{40K}{ 2,734928207 \frac{m^2 \; K}{W}}
   \\ & = 14,62 \frac{W}{m^2} \end{align}$
   
   Die Befestigungsstege führen als Wärmebrücken zu einem Kühlleistungsmehrbedarf. Bei 400 m² Wandfläche folgt $\dot Q = (14,62 - 13,36) \frac{W}{m^2} \cdot 400m^2 ≈ 0,5 kW$ als Zusatzleistung.