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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmeströme und Wärmestromdichten

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeströme und Wärmestromdichten

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Auf Fragen der Wärmeübertragung stößt der Maschinenbauingenieur in vielen Bereichen der Technik. Der sichere und effiziente Betrieb von Wärmekraftwerken sowie von Schmelzöfen oder Brenn- bzw. Glühöfen sind hier genauso zu nennen wie Prozesse, bei denen es darauf ankommt, aus der Temperaturverteilung im Körper auf lokale Materialeigenschaften oder Wärmespannungen zu schließen. Auch im Alltag begegnen uns viele Wärmeübertragungsprozesse, etwa die Zubereitung von Speisen (Kochen von Suppen, Braten von Fleisch), das Abkühlen heißer Getränke in Tassen, die Beheizung von Gebäuden, das Erreichen der Betriebstemperatur des Motors beim Autofahren usw. Die entsprechenden Vorgänge werden, wie in der Thermodynamik phänomenologisch untersucht, also nur auf Basis von den äußeren Erscheinungen, ohne auf die atomaren oder molekularen Ursachen einzugehen. Folglich betrachten wir also bei den Stoffen nicht den atomaren oder molekularen Aufbau, sondern gehen bei Stoffen wie wir es von der Thermodynamik her schon gewöhnt sind stets von einem Kontinuum aus.

Aus der Thermodynamik übernehmen wir auch noch die Vorstellung von der Energieform Wärme, die durch Temperaturunterschiede zwischen System und Umgebung oder zwischen benachbarten Systemen unterschiedlicher Temperatur übertragen wird. Die Wärmeübertragung ist ein Fach, das noch tiefer in solche Prozesse eindringt und insbesondere Fragen der nach Intensität der Übertragung zu beantwortet. Damit kommt die Wärmeleistung oder der Wärmstrom $\dot Q$ mit der Maßeinheit Watt (W) als physikalische Größe ins Spiel.

Wir untersuchen hier den Zusammenhang zwischen treibenden Temperaturdifferenzen und übertragenen Wärmestrom. In der Thermodynamik wurden fast ausschließlich Wärmeströme bilanziert, die als Folge mitgeführter Wärme bei Massen- oder Volumenströmen von Flüssigkeiten, Dämpfen oder Gasen auftraten. Für die Bilanzen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik wurden oft massenspezifische Größen verwendet, etwa die massenspezifische Wärme $q=\frac{Q}{m}$gemessen in $\frac{kJ}{kg}$. Bei der Analyse von Wärmeübertragungsaufgaben bezieht man Wärmeströme zweckmäßig auf die wärmeübertragende Fläche A. Diesen flächenspezifischen Wärmestrom nennt man Wärmestromdichte oder Heizflächenbelastung.

Methode

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$\dot q = \frac{\dot Q}{A} \;\;\;\;\; [\dot q] = 1 \frac{W}{m^2}$ Wärmestromdichte, Heizflächenbelastung

Wenn die Wärmeströme aus den Reaktionsenthalpien bei chemischen Reaktionen, aus Kernspaltungsprozessen oder aus elektrischen Widerstandsheizungen herrühren, arbeitet man außerdem mit einem volumenspezifischen Wärmestrom, den man auch volumenspezifische Ergiebigkeit oder Leistungsdichte $\tilde{\dot q}$ nennt.

Methode

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$\tilde{\dot q} = \frac{\tilde{\dot Q} }{A} \;\;\;\;\; [\tilde{\dot q}] = 1 \frac{W}{m^3}$ volumenspezifische Ergiebigkeit, Leistungsdichte

Zur Einordnung allgemeiner Wärmeübertragungsvorgänge bleibt es wichtig, die Größenordnung einiger Wärmeleistungen sowie einiger wichtiger Wärmestromdichten auswendig zu kennen.

Merke

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Wärmeleistungen:  Wärmestromdichten:  
 Kerzenflamme50 W = 0,05 kW auf der Haut spürbar40 $\frac{W}{m^2}$
Mensch
(in Ruhe)
100 W = 0,10 kWSchmerzgrenze Haut2000 - 2500 $\frac{W}{m^2}$
Backofen4000 W = 4,00 kWZentralheizkörperbis 500 $\frac{W}{m^2}$
Heizung
(Einfamilienhaus)
10 - 15 kWSolarkonstante1367 $\frac{W}{m^2}$
Dampferzeuger Kraftwerk1.800 MWGlobalstrahlung500 - 1070 $\frac{W}{m^2}$
Sonne370 · 1018 MW  

Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verläuft ein spontaner Energietransport (spontan = von allein auf natürlichem Wege) stets von höherer zu niedrigerer Temperatur und als real stattfindender Prozess (vom Denkmodell „reversibler Prozess“ abgesehen) immer als irreversibler Prozess. Ein von endlichen Temperaturdifferenzen getriebener Wärmetransport führt also immer zu einer Entropieerhöhung, weil man sich damit dem thermischen Gleichgewichtszustand weiter nähert oder ihn sogar erreicht. Zwei besondere Wärmeströme verdienen im Hinblick auf die aktuell anstehende Dekarbonisierung unserer Energieversorgung erhöhte Aufmerksamkeit:

Erdwärme (terrestrischer Wärmestrom)

Für das Erdinnere gehen Schätzungen von Temperaturen zwischen 5.500 und maximal 7.000 °C aus. Fast 99 % des Volumens der Erde sind heißer als 1000 °C. Nur bis etwa 3 km Eindringtiefe von der Erdoberfläche finden wir Temperaturen unter 100 °C vor. Die in der Erde insgesamt gespeicherte Wärme geht zu etwa 30 bis 50 % auf Restwärme aus der Zeit der Erdentstehung vor 4,5 Milliarden Jahren (Zusammenballung von kosmischen Staub) und zu circa 50 bis 70 %  auf immer noch stattfindende radioaktive Zerfallsprozesse zurück. An der unmittelbaren Oberfläche (Erdkruste) liegen die Temperaturen in der Regel im positiv zweistelligen Bereich (im Durchschnitt 15°C). Aus den Temperaturunterschieden zwischen Erdkern und Erdoberfläche resultiert der sogenannte terrestrische Wärmestrom von etwa 47 TW (47 · 1012 W) mit einer über die Oberfläche der Erde gemittelten Wärmestromdichte von durchschnittlich 91,6 · 10–3 $\frac{W}{m^2}$, also 91,6 Milliwatt pro Quadratmeter. In Deutschland liegen die Wärmestromdichten des terrestrischen Wärmestroms zwischen 64 bis 70 $\frac{mW}{m^2}$ Technisch sind solche Wärmestromdichten nicht nutzbar, obwohl aufsummiert über die Erdoberfläche hier Energiebeträge anfallen und ungenutzt in den Weltraum abgegeben werden, die die Wärmenachfrage auf der gesamten Welt um ein Vielfaches übertreffen. Interessant bleibt jedoch die Nutzung der in der Erde gespeicherten Wärme in tieferen Schichten mit höheren Temperaturen (Geothermie). Bis zu einer Tiefe von circa 10 m wird die Temperatur der Erdkruste durch das Wettergeschehen beeinflusst. In hundert Metern Tiefe finden wir eine für das gesamte Jahr fast konstante Temperatur von 15 °C vor. Danach kann man über die im Durchschnitt unter den Kontinenten ungefähr 30 km starke Erdkruste von einer mittleren Temperaturzunahme um 3 K je 100 m Eindringtiefe (geothermischer Gradient) ausgehen. Abweichungen von diesem Durchschnittswert bezeichnet man als Wärmeanomalien (Gebiete mit besonderen geologischen Formationen oder in der Nähe von Vulkanen mit 10 bis 15 Kelvin je 100 m Eindringtiefe). Solche Gebiete nennt man auch Hochenthalpie-Lagerstätten, das dort vorhandene Wasser kann mehrere hundert Grad Celsius heiß sein und eignet sich für die Stromerzeugung. Für Heizzwecke setzt man thermales Tiefenwasser (1000 bis 2500 m) im Temperaturbereich von 40 bis 100 °C, das man in Deutschland im Oberrheingraben, in der norddeutschen Tiefebene sowie im süddeutschen Molassebecken finden kann. Es wird mit einer Förderbohrung an die Oberfläche gebracht und nach Auskühlung im Wärmeübertrager wieder in den Untergrund in die Schicht verpresst, aus der es entnommen wurde.

Die in der Erde gespeicherte Wärme ist im eigentlichen Wortsinn keine erneuerbare Energie, aber ihr technisch nutzbares Potential liegt bei mehreren Millionen Jahren! Die Wärme muss auch nicht zwischengespeichert werden, die Erde ist der Speicher und man kann nachfragegerecht ausspeisen. Erdwärme ist ein „bergfreier“ Bodenschatz. Grundeigentümer sind also nicht automatisch berechtigt, unterhalb der Grundstücksfläche Erdwärme zu gewinnen. Man benötigt eine bergrechtliche Gewinnungsgenehmigung nach Bundesberggesetz § 3 und § 7. Ausnahmen gelten nur für die Gewinnung von Erdwärme zur Beheizung von Gebäuden auf dem eigenen Grundstück.

Solarstrahlung (extraterrestrische Wärmestromdichte und Globalstrahlung)

Die Strahlung der Sonne ermöglicht das irdische Leben und ist daher für uns unverzichtbar. Bei der Solarstrahlung unterscheidet man die extraterrestrische Strahlung von der Globalstrahlung. Die extraterrestrische Strahlung ist die noch nicht von der Erdatmosphäre durch Streuung und Absorption geschwächte Solarstrahlung (extraterrestrisch = außerhalb der Erdatmosphäre). Die den äußersten Rand der Erdatmosphäre erreichende extraterrestrische Strahlung wird beim Durchgang durch die Atmosphäre im Wesentlichen durch zwei Mechanismen geschwächt und erreicht, insbesondere abhängig von Wetterverhältnissen, Sonnenstand und Zusammensetzung der Atmosphäre deutlich abgemindert als sogenannte Globalstrahlung die Erdoberfläche. Ein Teil der Solarstrahlung wird an Luftmolekülen und kleinsten in der Luft enthaltenen Teilchen (Aerosole, Staub) gestreut. Dieser Teil trifft dann etwa zur Hälfte als diffuse Strahlung auf die bestrahlte Fläche am Erdboden, die andere Hälfte wird in den Weltraum zurückgestrahlt. Ein Teil der direkten Solarstrahlung wird von einigen Luftbestandteilen (Kohlendioxid, Wasserdampf, Methan, Ammoniak) absorbiert. Dadurch erhöht sich die Energie der Atmosphäre, die nun ihrerseits langwellige Strahlung emittiert. Wiederum ein bestimmter Teil dieser langwelligen Strahlung erreicht die Erdoberfläche, den man dann atmosphärische Gegenstrahlung nennt.

Die oben ausgewiesene Solarkonstante 1367 $\frac{W}{m^2}$ ist die mittlere extraterrestrische Wärmestromdichte, die bei einem mittleren Abstand Sonne – Erde ohne den Einfluss der Atmosphäre senkrecht zur Strahlrichtung die Erde erreicht. Dieser Abstand definiert die Maßeinheit astronomische Einheit 1 AE = 149,5978707 · 106 km. Im eigentlichen Sinne ist die Solarkonstante aber gar keine Konstante, denn die Strahlungsleistung der Sonne selbst schwankt – wenngleich in engen Grenzen – als Folge des Sonnenflecken-Zyklus. Außerdem bewegt sich die Erde in einer elliptischen Bahn um die Sonne, die in einem der Brennpunkte der Ellipse steht. Mit den variierenden Abständen Sonne – Erde verändert sich auch der Wert für die extraterrestrische Wärmestromdichte, die in die Erdatmosphäre eintritt.

Die dann für die solare Energiebereitstellung zur Verfügung stehende Globalstrahlung besteht zu einem Teil aus der direkten Solarstrahlung und zum anderen Teil aus diffus reflektierter Strahlung. Die Höhe der einzelnen Anteile hängt von Jahreszeit und Wetter ab. Bei günstigen Verhältnissen (wolkenfreier Himmel, Sonnenhöchststand) kann die Globalstrahlung in Deutschland 1070 $\frac{W}{m^2}$ erreichen, bei ungünstigen Verhältnissen nur etwa 500 $\frac{W}{m^2}$ betragen.

Merke

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Erdwärme (Geothernmie)Solarstrahlung
geothermischer Gradient$≈ \frac{3 K}{100 m} = 0,03 \frac{W}{m} $extraterrestrisch(1367± 1,6) $\frac{W}{m^2}$
Erdwärmestrom an der Oberfläche$\frac{mW}{m^2}$Globalstrahlung(500 - 1070) $\frac{W}{m^2}$