Berechnung des Wärmeübergangs bei erzwungener Konvektion

Bei der erzwungenen Konvektion liegt anders als bei der freien Konvektion keine Kopplung zwischen Geschwindigkeits- und Temperaturprofil in der Grenzschicht vor, denn das Geschwindigkeitsfeld wird von außen (zum Beispiel durch ein Gebläse) aufgeprägt.

Die beim Einströmen eines Fluids in ein Rohr entstehende Grenzschicht wächst im Zuge des hydromechanischen (oder hydraulischen) Einlaufs infolge der auftretenden Wandreibung stromabwärts. Die Kontinuität bewirkt wegen der geringeren Geschwindigkeiten in den wandnahen Schichten dann eine Beschleunigung der Kern-strömung. Erreicht die hydrodynamische Grenzschicht die Rohrachse, ändert sich das Geschwindigkeitsprofil nicht mehr. Dann liegt eine hydrodynamisch ausgebildete Strömung vor. Die hydrodynamische Einlauflänge für laminare Strömung l_hyd,lam und für turbulente Strömung l_hyd,tur kann abgeschätzt werden über:

Liegen gleichzeitig ein hydrodynamischer und ein thermischer Einlauf vor, kann die thermische Einlauflänge bei laminarer Strömung abgeschätzt werden durch:

Für turbulente Strömungen setzt man in der Praxis zur Abschätzung der Länge bis zur hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Grenzschicht oft nur grob an:

Der Wärmeübergang ist in laminarer und turbulenter Strömung unterschiedlich intensiv und wird deshalb durch jeweils spezifische Nußelt-Gleichungen (Nu_lam für laminare und Nu_tur für turbulente Grenzschichtströmung) korreliert.

1. durchströmte Rohre bei erzwungener Strömung
   

   Vorsicht

   Hier klicken zum Ausklappen

   Alle mit den nachfolgend aufgeführten Korrelationen errechneten Wärmeübergangskoeffizienten beziehen sich auf die logarithmische Temperaturdifferenz Δt_m (Definition).:

   
   
   
   • laminare Rohrinnenströmung mit l^* = d_i
     
     $Nu_{Rohr,lam} = \sqrt[3]{49,37 + \Big[ 1,615 \cdot (Re \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l})^{\frac{1}{3}} - 0,7\Big]^3}$
     Gültigkeit: t_W = konstant und $0 \lt Re \cdot Pr \frac{d_i}{l} \lt \infty$
     
     $Nu_{Rohr,lam} = \sqrt[3]{83,33 + \Big[ 1,953 \cdot (Re \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l})^{\frac{1}{3}} - 0,6 \Big]^3}$
     Gültigkeit: $\dot q$ = konstant und $0 \lt Re \cdot Pr \frac{d_i}{l} \lt \infty$
     
     
   • voll ausgebildete turbulente Rohrinnenströmung mit l^* = d_i
     (die beiden Randbedingungen konstante Wandtemperatur und konstante Wärmestromdichte können nicht mehr unterschieden werden)
     
     $Nu_{Rohr,lam} = \large{\frac{(\frac{\xi}{8}) \cdot Re \cdot Pr}{1 + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{\xi}{8}} \cdot (Pr^{\frac{2}{3}} - 1)}} \cdot \Big[ 1 + \frac{d_i}{l})^{\frac{2}{3}} \Big]$ mit Druckverlustbeiwert $\xi = (1,8 \cdot lg Re-1,5)^{-2})$
     
     Gültigkeit: 10⁴ ≤ Re ≤ 10⁶   und  0,1 ≤ Pr ≤ 10³   sowie   $\frac{d_i}{l}$ ≤1 Stoffwerte t_B = $\frac{(t_E + t_A)}{2}$
     
     Bei dieser Korrelation nimmt die Bedeutung der Rohrlänge l für den mittleren dimensionslosen Wärmeübergangskoeffizienten Nu mit zunehmender Länge abnimmt.
     
     
2. längsseitig umströmte ebene Wände
   Bei einer längsseitig umströmten ebenen Wand bildet sich je nach Form der angeströmten Wandkante zunächst eine laminare Grenzschicht aus, die nach einer kritischen Lauflänge l_krit in einem durch 10⁵ ≤ Re_krit ≤ 3∙10⁶ gekennzeichneten Übergangsbereich in eine turbulente Grenzschichtströmung umschlägt. Im turbulent überströmten Bereich entsteht eine laminare Unterschicht. Für den mittleren dimensionslosen Wärmeübergangskoeffizienten Nu werden gern folgende Gleichungen verwendet:
   
   $Nu_{lam} = 0,664 \cdot \sqrt [2] {Re} \cdot \sqrt [3] {Pr} \;\;\;$ Gültigkeit  Re < 10⁵
   
   $Nu_{lam} = \large{\frac{0,037 \cdot Re^{0,8} \cdot Pr}{1 + 2,443 \cdot Re^{-0,1} \cdot (Pr^{\frac{2}{3} - 1})}}\;\;\;$ Gültigkeit  5∙10⁵ < Re < 10⁷
   
   
3. quer angeströmte Zylinder mit l^* = d
   Im Bereich 5 < Re < 40 liegt dann eine laminare Umströmung und im Bereich 300 < Re < 300.000 eine vollb turbulent ausgebildete Strömung vor.
   Der einfachste empirische Ansatz für eine mittlere Nußelt-Zahl folgt der Gleichung
   
   $Nu_m = c \cdot Re^m \cdot Pr^n \cdot \Big( \frac{Pr}{Pr_w} \Big)^p$

Der durch die Reynolds-Zahl eingegrenzte Gültigkeitsbereich und die vorkommenden Konstanten c, m, n sowie p sind je nach Anwendungsfall der nachfolgenden Zusammenstellung zu entnehmen.

Die Stoffwerte sind für $t_B = \frac{ (t_W + t_{\infty})}{2} $ einzusetzen!

Das nachfolgende Beispiel soll den Unterschied bei der Berechnung im Falle einer freiwilligen und einer erzwungenen Konvektion verdeutlichen: