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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Berechnung des Wärmeübergangs bei erzwungener Konvektion

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Berechnung des Wärmeübergangs bei erzwungener Konvektion

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Bei der erzwungenen Konvektion liegt anders als bei der freien Konvektion keine Kopplung zwischen Geschwindigkeits- und Temperaturprofil in der Grenzschicht vor, denn das Geschwindigkeitsfeld wird von außen (zum Beispiel durch ein Gebläse) aufgeprägt.

Die beim Einströmen eines Fluids in ein Rohr entstehende Grenzschicht wächst im Zuge des hydromechanischen (oder hydraulischen) Einlaufs infolge der auftretenden Wandreibung stromabwärts. Die Kontinuität bewirkt wegen der geringeren Geschwindigkeiten in den wandnahen Schichten dann eine Beschleunigung der Kern-strömung. Erreicht die hydrodynamische Grenzschicht die Rohrachse, ändert sich das Geschwindigkeitsprofil nicht mehr. Dann liegt eine hydrodynamisch ausgebildete Strömung vor. Die hydrodynamische Einlauflänge für laminare Strömung lhyd,lam und für turbulente Strömung lhyd,tur kann abgeschätzt werden über:

Methode

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$$l_{hyd,lam} \cdot \Big( 0,056 \cdot Re + \frac{0,6}{1 + 0,035 \cdot Re} \Big) \cdot d_i$$

10 · di ≤ lhyd,tur ≤ 60 · di

Liegen gleichzeitig ein hydrodynamischer und ein thermischer Einlauf vor, kann die thermische Einlauflänge bei laminarer Strömung abgeschätzt werden durch:

Methode

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tW = kostant:lth,lam = 0,037 · Re · Pr · dibei Pr = 0,7
 lth,lam = 0,0335 · Re · Pr · dibei Pr → ∞

$\dot q _{W}$ = kostant:lth,lam = 0,053 · Re · Pr · diPr = 0,7
 lth,lam = 0,043 · Re · Pr · dibei Pr → ∞

 

Für turbulente Strömungen setzt man in der Praxis zur Abschätzung der Länge bis zur hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Grenzschicht oft nur grob an:

Methode

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$$ l_{hyd,tur} = l_{th,tur} ≈ 10 \cdot d_i $$

Der Wärmeübergang ist in laminarer und turbulenter Strömung unterschiedlich intensiv und wird deshalb durch jeweils spezifische Nußelt-Gleichungen (Nulam für laminare und Nutur für turbulente Grenzschichtströmung) korreliert.

Merke

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Bei Rohrströmungen liegt unterhalb der kritischen Reynoldszahl von 2.320 stets laminare Strömung vor. In einem Übergangsbereich von 2.320 < Re < 11.600 können kleinste Störungen zu einem Umschlag in die Turbulenz führen. Die Entwicklung der turbulenten Strömung nach Überschreiten von Rekrit hängt von den Verhältnissen beim Rohreinlauf, von der Art der Zuströmung und ihren Geschwindigkeitsschwankungen ab. Oberhalb von 5 · Re = 11.600 finden wir dann aber mit Sicherheit eine turbulente Rohrströmung vor.

  1. durchströmte Rohre bei erzwungener Strömung

    Vorsicht

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    Alle mit den nachfolgend aufgeführten Korrelationen errechneten Wärmeübergangskoeffizienten beziehen sich auf die logarithmische Temperaturdifferenz Δtm (Definition).:



    • laminare Rohrinnenströmung mit l* = di

      $Nu_{Rohr,lam} = \sqrt[3]{49,37 + \Big[ 1,615 \cdot (Re \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l})^{\frac{1}{3}} - 0,7\Big]^3}$
      Gültigkeit: tW = konstant und $0 \lt Re \cdot Pr \frac{d_i}{l} \lt \infty$

      $Nu_{Rohr,lam} = \sqrt[3]{83,33 + \Big[ 1,953 \cdot (Re \cdot Pr \cdot \frac{d_i}{l})^{\frac{1}{3}} - 0,6 \Big]^3}$
      Gültigkeit: $\dot q$ = konstant und $0 \lt Re \cdot Pr \frac{d_i}{l} \lt \infty$

    • voll ausgebildete turbulente Rohrinnenströmung mit l* = di
      (die beiden Randbedingungen konstante Wandtemperatur und konstante Wärmestromdichte können nicht mehr unterschieden werden)

      $Nu_{Rohr,lam} = \large{\frac{(\frac{\xi}{8}) \cdot Re \cdot Pr}{1 + 12,7 \cdot \sqrt{\frac{\xi}{8}} \cdot (Pr^{\frac{2}{3}} - 1)}} \cdot \Big[ 1 + \frac{d_i}{l})^{\frac{2}{3}} \Big]$ mit Druckverlustbeiwert $\xi = (1,8 \cdot lg Re-1,5)^{-2})$

      Gültigkeit: 104 ≤ Re ≤ 106   und  0,1 ≤ Pr ≤ 103   sowie   $\frac{d_i}{l}$ ≤1 Stoffwerte tB = $\frac{(t_E + t_A)}{2}$

      Bei dieser Korrelation nimmt die Bedeutung der Rohrlänge l für den mittleren dimensionslosen Wärmeübergangskoeffizienten Nu mit zunehmender Länge abnimmt.

  2. längsseitig umströmte ebene Wände
    Bei einer längsseitig umströmten ebenen Wand bildet sich je nach Form der angeströmten Wandkante zunächst eine laminare Grenzschicht aus, die nach einer kritischen Lauflänge lkrit in einem durch 105 ≤ Rekrit ≤ 3∙106 gekennzeichneten Übergangsbereich in eine turbulente Grenzschichtströmung umschlägt. Im turbulent überströmten Bereich entsteht eine laminare Unterschicht. Für den mittleren dimensionslosen Wärmeübergangskoeffizienten Nu werden gern folgende Gleichungen verwendet:

    $Nu_{lam} = 0,664 \cdot \sqrt [2] {Re} \cdot \sqrt [3] {Pr} \;\;\;$ Gültigkeit  Re < 105

    $Nu_{lam} = \large{\frac{0,037 \cdot Re^{0,8} \cdot Pr}{1 + 2,443 \cdot Re^{-0,1} \cdot (Pr^{\frac{2}{3} - 1})}}\;\;\;$ Gültigkeit  5∙105 < Re < 107

  3. quer angeströmte Zylinder mit l* = d
    Im Bereich 5 < Re < 40 liegt dann eine laminare Umströmung und im Bereich 300 < Re < 300.000 eine vollb turbulent ausgebildete Strömung vor.
    Der einfachste empirische Ansatz für eine mittlere Nußelt-Zahl folgt der Gleichung

    $Nu_m = c \cdot Re^m \cdot Pr^n \cdot \Big( \frac{Pr}{Pr_w} \Big)^p$

Der durch die Reynolds-Zahl eingegrenzte Gültigkeitsbereich und die vorkommenden Konstanten c, m, n sowie p sind je nach Anwendungsfall der nachfolgenden Zusammenstellung zu entnehmen.

Recmn
1 bis 400,7600,4  0,37
 40 bis 10000,5200,50,37
 103 bis 2∙1050,2600,60,37
2∙105 bis 1070,0230,80,40
Heizung des Fluidsp = 0,25
Kühlung des Fluidsp = 0,20

Die Stoffwerte sind für $t_B = \frac{ (t_W + t_{\infty})}{2} $ einzusetzen!

Expertentipp

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Ein häufiger Fehler bei Nutzung dieser Korrelation tritt in Zusammenhang mit PrW auf. Gemeint ist hiermit die Prandtl-Zahl für das Fluid bei Wandtemperatur tW. Irrtümlich wird aber oft eine Prandtl-Zahl für das Wandmaterial gesucht und eingesetzt!

Das nachfolgende Beispiel soll den Unterschied bei der Berechnung im Falle einer freiwilligen und einer erzwungenen Konvektion verdeutlichen: