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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion

Beispiel

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Ein 2 m langer Aluminiumdraht von 8 mm Durchmesser mit einer anfänglich einheitlichen Temperatur von 100 °C werde von Luft mit 20 °C bei einer Geschwindigkeit von 7 $\frac{m}{s}$ quer angeströmt. Das Aluminium besitze eine Dichte von 2.700 $\frac{kg}{m^3}$, eine spezifische Wärmekapazität von 888 $\frac{J}{kg \, K}$ sowie eine Wärmeleitfähigkeit von 237 $\frac{W}{m \, K}$.

  1. Ermitteln Sie einen mittleren Wärmeübergangskoeffizienten für den Wärmeübergang vom Draht an die Luftströmung! Diskutieren Sie die Konstanz des errechneten Wertes in Bezug auf Ort und Zeit!

  2. Nach ungefähr welcher Zeit hat sich der Draht auf die Hälfte des Ursprungswertes abgekühlt?

Gegeben:

Temperaturen:tA = 100 °CtE = 50 °Ct∞ = 20 °C
Draht:d = 0,008 ml = 2 mc = 0,7 $\frac{m}{s}$
 ρAl = 2700 $\frac{kg}{m^3}$cAl = 888 $\frac{J}{kg \, K}$λAl = 237 $\frac{W}{m \, K}$

Lösung:

  1. Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten α nach allgemeinem Lösungsschema
    1. Geometrie und Stoffwerte bei Bezugstemperatur
      Stoffwerte für Bezugstemperatur $t_B = \frac{ (t_W + t_{\infty})}{2} = \frac{(100 °C + 20 °C)}{2}= 60 °C$:
      λ = 0,0288 $\frac{W}{m \, K}$ν = 192,2∙10–7 $\frac{m^2}{s}$Pr = 0,7035PrW = 0,7004
    2. Konvektionsart
      Der Draht (geometrisch Zylinder) wird durch erzwungene Konvektion gekühlt. Die Luft als das beteiligte Fluid heizt sich auf.

    3. Strömungsform und Besonderheiten
      Ein Zylinder wird mit einer erzwungenen Strömung quer angeströmt. Im Bereich 5 < Re < 40 liegt dann eine laminare Umströmung und im Bereich 300 < Re < 300.000 voll turbulent ausgebildete Strömung vor.

    4. Re und Pr als relevante dimensionslose Ähnlichkeitskriterien
      Charakteristische Länge = Zylinderdurchmesser l* = d.
      $Re = \frac{c \cdot d}{\nu} = \frac{0,7 \frac{m}{s} \cdot 0,008 m}{192,2 \cdot 10^{–7} \frac{m^2}{s}} = 2913,6316 $ voll turbulent ausgebildete Strömung,
      weil 300 < Re ≈ 2913 < 300.000

    5. Auswahl der Nußelt-Korrelation
      $Nu_m = c \cdot Re^m \cdot Pr^n \cdot \Big( \frac{Pr}{Pr_W} \Big)^p$
      mit c = 0,26, m = 0,6, n = 0,35 und p = 0,25 wegen 103 << Re ≈ 2913 < 2·105

      $\begin{align} Nu_m & = 0,26 \cdot Re^{0,6} \cdot Pr^{0,35} \cdot \Big( \frac{Pr}{Pr_W} \Big)^{0,25}
      \\ & = 0,26 \cdot 2913,6316^{0,6} \cdot 0,7035^{0,35} \cdot \Big( \frac{0,7035}{0,7004} \Big)^{0,25}
      \\ & = 27,39058702 \end{align}$

    6. Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten
      $\alpha = Nu \cdot \frac{\lambda}{d} = 27,39058702 \cdot \frac{0,0288 \frac{W}{m \, K}}{0,008 m} = 98,6 \frac{W}{m^2 \, K}$
      Der hier ermittelte Wert ist als mittlerer Wert an jeder Stelle der Drahtoberfläche gültig. In Bezug auf die Abkühlzeit ist der Wärmeübergangskoeffizient jedoch nicht konstant, für eine genauere Rechnung müsste man die sich verringernde Oberflächentemperatur mit den Konsequenzen für die Stoffwerte der Luft berücksichtigen.


  2. Bestimmung der Abkühlzeit auf 50 °C

    1. Schritt: Prüfung, ob Draht unter diesen Bedingungen Blockkapazität ist
      $Bi = \frac{\alpha \cdot d}{\lambda_{Al}}= \frac{98,6 \frac{W}{m^2 \, K} \cdot 0,008m}{237 \frac{W}{m \, K}} ≈ 0,0033 << 0,15$ Bedingung erfüllt!

    2. Schritt: Auswertung der Sprungantwort einer Blockkapazität mit gewöhnlicher Differentialgleichung und deren Lösung durch Trennen der Veränderlichen
      $\rho_{Al} \cdot V \cdot c_{Al} \cdot \frac{dt}{d \tau} = - \alpha \cdot A \cdot (t - t_{\infty}) \rightarrow \int \limits ^{\tau}_{0} d \tau = \frac{\rho_{Al} \cdot V \cdot c_{Al}}{\alpha \cdot A} \cdot \int \limits ^{t_E}_{t_A} \frac{dt}{t - t_{\infty}}$  dabei ergeben sich die geometrischen Spezifika aus $\frac{V}{A} = \frac{\frac{\pi}{4}d^2 \cdot l}{\pi \cdot d \cdot l} = \frac{d}{4}$

      $\begin{align}\tau & = \frac{\rho_{Al} \cdot c_{Al} \cdot d}{\alpha \cdot 4} \cdot ln \Big( \frac{t_E - t_{\infty}}{t_A - t_{\infty}} \Big) = \frac{\rho_{Al} \cdot c_{Al} \cdot d}{\alpha \cdot 4} \cdot ln \Big( \frac{t_A - t_{\infty}}{t_E - t_{\infty}} \Big)

      \\ \tau & = \frac{2700 \frac{kg}{m^3} \cdot 888 \frac{J}{kg \, K} \cdot 0,008m}{98,6 \frac{W}{m^2 \, K} \cdot 4} \cdot ln \Big( \frac{100 °C - 20°C}{50°C - 20°C} \Big)
      \\ & = 47,7s \end{align}$