Berechnung des Wärmeübergangs bei freier Konvektion

Die freie Konvektion beruht auf vorhandenen Dichteunterschieden im Fluid. Bei beheizten Flächen weist das Fluid in Wandnähe eine niedrigere Dichte auf als in weiter entfernt liegenden Bereichen. Daraus ergibt sich ein statischer Druckunterschied, der zu einer Konvektionsbewegung führt. Die entsprechenden Nußelt-Korrelationen haben zumeist die Form Nu = Nu(Ra).

In einer Grenzschicht bei freier Konvektion können sowohl laminare als auch turbulente Strömungen auftreten. Wie bei Strömungen mit erzwungener Konvektion können durch hydrodynamische Instabilitäten kleinste Störungen so verstärkt werden, dass ein Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung erfolgt. Bei erzwungener Strömung erkennen wir den Bereich des Übergangs von laminarer zu turbulenter Strömung an der Reynolds-Zahl, für deren Berechnung man die Strömungsgeschwindigkeit benötigt. Leider ist diese für Grenzschichten bei freier Konvektion nicht bekannt. In diesen Fällen greifen wir dann auf eine kritische Rayleigh-Zahl zurück, die einen guten Hinweis darauf gibt, ob die Strömung in der Grenzschicht bei freier Konvektion laminar oder turbulent ist. Bei einer vertikalen Wand mit der Wandhöhe h zeigen Rayleigh-Zahlen oberhalb 10⁹ an, dass man es mit einer turbulenten Grenzschichtströmung zu tun hat. Ra_krit > 10⁹.

1. vertikale Wand mit der Wandhöhe h bei laminarer und turbulenter Strömung
   
   Die einfachsten Korrelationen haben die Form  mit charakteristischer Länge l* = Wandhöhe h.
   
   
   • laminare Strömung in der Grenzschicht: $Nu_{Wand} = 0,59 \cdot Ra^{\frac{1}{4}}$ Gültigkeit: 10⁴ ≤ Ra ≤ 10⁹
   • turbulente Strömung in der Grenzschicht: $Nu_{Wand} = 0,1 \cdot Ra^{\frac{1}{3}}$ Gültigkeit: 10⁹ ≤ Ra ≤ 10¹³
   • laminare und turbulente Strömung in Grenzschicht mit charakteristischer Länge l^* = Wandhöhe h:
     $Nu_{Wand} = \Big[ 0,825 + 0,387 (Ra \cdot f_1 (Pr)^{\frac{1}{6}} \Big]^2 \;\;\;\;\; f_1(Pr) = \Big[ 1 + (\frac{0,492}{Pr})^{\frac{9}{16}} \Big]^{- \frac{16}{9}}$
     Gültigkeit: 0,1 ≤ Ra ≤ 10¹²  und 0,001 < Pr < ∞;
     
     
2. senkrecht stehender Zylinder mit der Höhe h und dem Durchmesser d
   (Rückgriff auf vertikale Wand)
   $Nu_{Zyl} = Nu_{Wand} + 0,435 \cdot \frac{h}{d}$
   
   Gültigkeit: 0,1 ≤ Ra ≤ 10¹² und 0,001 < Pr < ∞; charakteristische Länge l^* = Zylinderhöhe h
   
   
3. horizontaler Zylinder
   $Nu_{Zyl} = \Big[ 0,752 + 0,387 \cdot (Ra \cdot f_3 (Pr)^{\frac{1}{6}} \Big]^2 \;\;\;\;\; f_3(Pr) = \Big[ 1 + (\frac{0,559}{Pr})^{\frac{9}{16}} \Big]^{- \frac{16}{9}}$
   Gültigkeit: 3,9 ∙ 10^–5 < Ra < 3,9 ∙ 10¹²  und  0 < Pr < ∞; charakteristische Länge l^* = 0,5 ∙ π ∙ d (Anströmlänge)

Das nachfolgende Rechenbeispiel soll einen anschaulichen Überblick verschaffen:

Lösung:
In einem ersten Schritt wird eine Angabe zu dem Wärmeübergangskoeffizienten benötigt. Wir orientieren uns an dem vorgestellten allgemeinen Lösungsschema:

1. Geometrie, Temperaturen, Stoffwerte
   Ebene Wand mit wärmeübertragender Oberfläche A = 2 · b · h (die Stärke des Plattenheizkörpers wird vernachlässigt)
   treibende Temperaturdifferenz: Δt = t_W – t_U = 70 °C – 10 °C = 60 K
   Bezugtemperatur für Stoffwerte: $t_B = \frac{t_W + t_U}{2} = \frac{70 °C + 10 °C}{2} = 40°C$
   
   Stoffwerte aus Tabelle 4:

   β(10 °C) = 3,543 · 10-3 K-1	ν(40 °C) = 172 · 10-7 $\frac{m^2}{s}$
   λ(40 °C) = 0,02735 $\frac{W}{m \, K}$	Pr(40 °C) = 0,7056

   
   
   
   
   
2. Konvektionsart = freie Konvektion
   
   
3. Strömungsart:
   Berechnung Ra
   $Gr = \large{\frac{g \cdot \beta \Delta t \cdot (l^*)^3}{\nu^2} = \frac{9,80664 \frac{m}{s^2} \cdot 3,543 \cdot 10^{-3}K^{-1} \cdot 60K \cdot 0,5^3 m^3}{172,3^2 \cdot 10^{-14} \frac{m^4}{s^2}}} = 8,777736436 \cdot 10^8$
   $Ra = Gr \cdot Pr = 8,777736436 \cdot 10^8 \cdot 0,7056 = 6,193570829 \cdot 10^8$ → laminare Strömung!
   
   
4. relevante dimensionslose Kennzahlen  (schon berechnet)
   
   
5. Auswahl der Korrelation
   Für den Kurs Wärmeübertragung stehen uns zwei Korrelationen zur Verfügung. Es ist lehrreich, die Ergebnisse für beide Fälle zu errechnen, im Prinzip aber nicht erforderlich
   
   
6. Errechnung des Wärmeübergangskoeffizienten α
   
   
   1. $Nu_{Wand} = 0,59 \cdot Ra^{\frac{1}{4}}$ Gültigkeit: 10⁴ ≤ Ra ≤ 10⁹ wird eingehalten mit Ra ≈ 6,2 · 10⁸
      $Nu_{Wand} = 0,59 \cdot (6,193570829 \cdot 10^8)^{\frac{1}{4}} = 93,076$
      $\alpha = Nu_{Wand} \cdot \frac{\lambda}{h} = 93,076 \cdot \frac{0,02735 \frac{W}{m \, K}}{0,5m} ≈ 5,09 \frac{W}{m^2 \, K}$
      
      
   2. $Nu_{Wand} = \Big[ 0,825 + 0,387 (Ra \cdot f_1 (Pr)^{\frac{1}{6}} \Big]^2 \;\;\;\;\; f_1(Pr) = \Big[ 1 + (\frac{0,492}{Pr})^{\frac{9}{16}} \Big]^{- \frac{16}{9}}$
      Gültigkeit: 0,1 ≤ Ra ≤ 10¹²  wird eingehalten mit Ra » 6,2 · 10⁸ und 0,001 < Pr < ∞ mit Pr = 0,7056
      
      $f_1(Pr) = \Big[ 1 + (\frac{0,492}{0,7056})^{\frac{9}{16}} \Big]^{- \frac{16}{9}} = 0,346074052$
      $Nu_{Wand} = \Big[ 0,825 + 0,387 \cdot (6,193570829 \cdot 10^8 \cdot 0,346074052)^{\frac{1}{6}} \Big]^2 ≈ 105,93$
      $\alpha = Nu_{Wand} \cdot \frac{\lambda}{h} = 105,93 \cdot \frac{0,02735 \frac{W}{m \, K}}{0,5m} ≈ 5,79 \frac{W}{m^2 \, K}$
   
   Beide Wärmeübergangskoeffizienten für freie Konvektion in Luft liegen in dem Bereich, die wir nach den Erfahrungswerten zwischen 3 und 30 $\frac{W}{m^2 \, K}$ erwarten dürfen. Weitere hier nicht ausgeführte Untersuchungen legen den Schluss nahe, dass die 5,09 $\frac{W}{m^2 \, K}$ etwas zu niedrig berechnet sind.
   
   
7. Kontrolle Wandtemperatur
   
   Die Wandtemperatur ist in diesem Beispiel gegeben, eine weitere Prüfung, ob die Schätzung der Wandtempetur aus einer eventuell gegebener Vorlauftemperatur für den Heizkörper zutreffend war, entfällt hier.
   
   Die Frage nach der erforderlichen Breite b des Plattenheizkörpers beantworten wir mit Hilfe von
   $\dot Q = \alpha \cdot A \cdot (t_W - t_U) \;\;\;$ mit $\;\;\; A = 2 \cdot b \cdot h$
   $b = \large{\frac{\dot Q}{\alpha \cdot A \cdot (t_W - t_U)} = \frac{300W}{5,79 \frac{W}{m^2 \, K} \cdot 2 \cdot 0,5m}} = 0,86356m$
   
   Würden wir mit einem Wärmeübergangskoeffizienten von 5 $\frac{W}{m^2 \, K}$ rechnen, ergäbe sich eine Breite von genau 1 m!