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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Einführung in die Berechnungsgrundlagen

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Einführung in die Berechnungsgrundlagen

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Unter Konvektion wird allgemein ein Strömungstransport zum Ausgleich bestehender Gradienten verstanden. Dabei kann es sich um einen Stoff-, also Teilchentransport, aber auch um einen Energietransport handeln. Das nachfolgende Video soll eine erste Einführung geben:

Beim konvektiven Wärmeübergang betrachtet man den Energietransport von einer festen Wand an ein bewegtes Fluid (oder umgekehrt). Dabei überlagern sich zwei Energieströme zu einem resultierenden Wärmestrom. Parallel zur festen Wand transportiert die Strömung Wärme, wobei sich eine Strömungsgrenzschicht mit einem Geschwindigkeitsprofil von c = 0 an der Wand bis zur Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Außenströmung c ausbildet. In Wandnormalenrichtung sorgt der Temperaturunterschied zwischen Fluid- und Wandtemperatur für einen Energietransport durch Wärmeleitung. Hier haben wir es dann im Fluid mit einer Temperaturgrenzschicht und einem Temperaturverlauf von der Wandtemperatur tW bis zur Temperatur in der Außenströmung t zu tun. Für alle Fluide (Gase, Dämpfe sowie Flüssigkeiten) gelten hinsichtlich des Wärmeüberganges jeweils gleiche Gesetzmäßigkeiten, aber je nach Strömungsursache sind zwei verschiedene Arten der Konvektion zu unterscheiden:

  1. freie Konvektion (Strömung wird nur durch Auftriebskräfte hervorgerufen) z. B. Raumheizkörper, Thermik
  2. erzwungene Konvektion (Strömung wird durch eine von Pumpen oder Gebläsen erzeugten Druckdifferenz angeregt)
Grenzschicht
Abb.6

Die Höhe des konvektiv übertragenen Wärmestroms hängt von sehr vielen Einflussfaktoren ab. Hier fließen zum Beispiel die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids, der Strömungsform (laminar oder turbulent), die ihrerseits temperaturabhängigen Stoffeigenschaften des Fluids wie Dichte, Wärmeleitfähigkeit, dynamische Viskosität und spezifische Wärmekapazität, die Geometrie (Form und Lage der wärmeübertragenden Fläche) und schließlich sogar die Richtung des Wärmestroms ein.

Der konvektive Wärmeübergang beruht auf der Wärmeleitung bei gleichzeitigem Stofftransport. Das Aufstellen und Lösen entsprechender Differentialgleichungen ist wegen der zahlreichen Einflussgrößen extrem kompliziert und kaum handhabbar. Mit der Nußelt´schen Ähnlichkeitsheorie kommt hier deshalb ein völlig anderes mathematisches Instrumentarium zum Einsatz.

Ausgangspunkt für die Definition des Wärmeübergangskoeffizienten α ist zunächst ein Ansatz, der den konvektiv übertragenen Wärmestrom als direkt proportional abhängige Größe von der Temperaturdifferenz zwischen Fluidtemperatur t und Wandtemperatur tW sowie der wärmeübertragenden Fläche A darstellt. Der Wärmeübergangskoeffizient α fungiert in diesem Ansatz als Proportionalitätsfaktor.

Methode

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$\dot Q = \alpha \cdot A \cdot (t_{\infty} - t_{W}) \;\;\;\;\; $ oder $\;\;\;\;\; \dot q = \alpha \cdot (t_{\infty} - t_{W})\;\;\;\;\; $ mit $\;\;\;\;\; [\alpha] = 1 \frac{W}{m^2 \, K}$

Der Wärmeübergangskoeffizient α stellt eine kompliziert verkettete Funktion zahlreicher Parameter dar. Dieser Ansatz gestattet aber die Formulierung eines Widerstandes für den konvektiven Wärmeübergang wie wir ihn schon von der Wärmeleitung in Festkörpern kennen.

Methode

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Wärmeübergangswiderstand Rα

$\dot Q = \frac{t_{\infty} - t_{W}}{R_{\alpha}} \;\;\;\;\; $ mit dem Wärmeübergangswiderstand

$R_{\alpha} = \frac{1}{\alpha \cdot A} \;\;\;\;\; [R_{\alpha}] = 1\frac{K}{W}$          

Die temperaturabhängigen thermophysikalischen Eigenschaften des Fluids in der Temperaturgrenzschicht bezieht man allgemein auf eine konstante, als mittlere Grenzschichttemperatur aufgefasste Bezugstemperatur tB, die oft aus dem arithmetischen Mittel von der Wandtemperatur tW und der Temperatur des Fluids außerhalb der Temperatur-grenzschicht t ermittelt wird. Ab dem Beginn eines konvektiven Wärmeübergangs ändert das strömende Fluid auch außerhalb der Temperaturgrenzschicht seine Temperatur. So liegen bei einem Wärmeübertrager die Fluidtemperaturen am Ein- und Austritt in unterschiedlicher Höhe vor. Auch hier bildet man eine Bezugstemperatur für die temperaturabhängigen Stoffwerte aus dem arithmetischen Mittel von Eintrittstemperatur tE und Austrittstemperatur tA.

Methode

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Bezugstemperatur tB für Stoffwerte und gemittelte Fluidtemperatur t

$t_B = \frac{t_W + t_{\infty}}{2} \;\;\;\;\; $ (Bezugstemperatur für Stoffwerte)

$\overline{t}_{\infty} = \frac{t_E + t_A}{2} \;\;\;\;\; $ (konstante Fluidtemperatur außerhalb der Temperaturgrenzschicht)

Die Temperaturen tW und t haben entlang des Strömungsweges lokal fast immer verschiedene Werte, sind also nicht konstant, sondern hängen vom Ort ab und beeinflussen mit den temperaturabhängigen Stoffwerten auch den lokalen Wärmeübergang. Der Wärmeübergangskoeffizient α für die Berechnung von Wärmeströmen wird deshalb zumeist über den Strömungsweg integral gemittelt.

Methode

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$$\overline{\alpha} = \frac{1}{l} \int \limits^{l}_{0} \alpha (x)dx$$

mit $\; \overline{\alpha} $ über den Strömungsweg gemittelter Wärmeübergangskoeffizient

Merke

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Die Tatsache, dass wir es mit einem mittleren Wärmeübergangskoeffizienten zu tun haben, wurde mit einem Strich über dem Formelzeichen gekennzeichnet. Bei den in diesem Abschnitt folgenden Ausführungen gehen wir immer von einem gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten aus, ohne das mit dem Strich zu kennzeichnen!

Abweichend von den bisherigen Ausführungen wird für durchströmte Rohre der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α über eine konstante mittlere logarithmische Temperaturdifferenz Δtm definiert.

Methode

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$\dot q = \alpha \cdot \Delta t_m \;\;\;$ mit $\;\;\; \Delta t_m = \large{\frac{(t_W - t_E) - (t_W - t_A)}{ln \frac{t_W - t_E}{t_W - t_A}}}$

Um die Plausibilität errechneter Wärmeübergangskoeffizienten einschätzen zu können, solltest Du Dir folgende Größenordnungen für den konvektiven Wärmeübergang fest einprägen (auswendig lernen!):

Merke

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freie
Konvektion
Luftα =3 - 30 $\frac{W}{m^2 \, K}$ 
 Wasserα =10 - 700 $\frac{W}{m^2 \, K}$ 
     
erzwungene
Konvektion
Luftα =25 - 350 $\frac{W}{m^2 \, K}$ 
 Wasserα =500 - 10.000 $\frac{W}{m^2 \, K}$ 
     
siedendes
Wasser 
Wasserα =1.500 - 20.000 $\frac{W}{m^2 \, K}$ 
     
kondensierender
Dampf
Wasserα =35.000 - 40.000 $\frac{W}{m^2 \, K}$Tropfenkondensation
 Wasserα =5.000 - 28.000 $\frac{W}{m^2 \, K}$Filmkondensation
 Kältemittelα =1.000 - 5.000 $\frac{W}{m^2 \, K}$Filmkondensation

Im Allgemeinen gilt:

  • Bei Gasen ist der Wärmeübergang deutlich schlechter als bei Flüssigkeiten. Die höchsten Wärmeübergangskoeffizienten werden bei Verdampfung oder Kondensation erreicht.
  • Je höher die Fluidgeschwindigkeit c, desto größer der Wärmeübergangskoeffizient α.
  • Bei nicht abreißender turbulenter Strömung ist der Wärmeübergang immer besser als bei laminarer, allerdings sind bei turbulenter Strömung dann die Druckverluste höher.

Praktisch beruht die Berechnung eines Wärmeübergangskoeffizienten α auf der Übernahme von physikalisch ähnlichen Ergebnissen aus einem Modellversuch an einem geometrisch ähnlichen Modell. Für geometrische Ähnlichkeit müssen die entsprechenden Abmessungen von zwei betrachteten Körpern in einem konstanten Zahlenverhältnis (Maßstabsfaktor, Ähnlichkeitskonstante) zueinander stehen. Physikalische Ähnlichkeit ist gegeben, wenn für das zu untersuchende Problem die relevanten strömungsmechanischen und thermodynamischen Größen jeweils zueinander proportional sind. Wir müssen uns hier mit einigen grundlegenden Aussagen der Nußelt´schen Ähnlichkeitstheorie befassen, die die wissenschaftliche Basis für die experimentelle Untersuchung komplexer Vorgänge mit Modellversuchen und der Übertragung der Versuchsergebnisse auf ähnlich gelagerte (analoge) Fälle bildet. In einem ersten Schritt fasst man bestimmte Einflussgrößen geeignet zu dimensionslosen Kennzahlen zusammen. Dadurch wird die zu berücksichtigende Zahl der Einflussgrößen reduziert. Es existieren mehrere Verfahren, wie man die spezielle Form dieser dimensionslosen Kennzahlen gewinnt, die auch Ähnlichkeitskriterien genannt werden und allesamt Namen von bedeutenden Forschern auf dem Gebiet der Wärmeübertragung tragen. Wir begnügen uns hier aber mit einer Übersicht zur Definition und Hinweisen zu deren Gebrauch.

Expertentipp

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Wenn Du Dich intensiver mit Problemen des konvektiven Wärmeübergangs beschäftigen willst, empfiehlt es sich, diese Definitionen auf einer Karteikarte herauszuschreiben, die Du bei der Beschäftigung mit Aufgaben zum konvektiven Wärmeübergang immer bereithalten solltest!