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Nußelt-Zahl
Die Nußelt-Zahl gibt als dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient an, in welchem Verhältnis der konvektive Wärmeübergang zur reinen Wärmeleitung im Fluid steht.
| α Wärmeübergangskoeffizient | $[\alpha] = 1 \frac{W}{m^2 \, K}$ | |
| λ Wärmeleitfähigkeit des Fluids | $[λ] = 1 \frac{W}{m \, K}$ | |
| l* charakteristische Länge | $[l*] = 1 m$ |
| Geometrische Form | charakteristische Länge l* = |
| waagerechte Platten | kleinste Abmessung lmin |
| senkrechte Wände und Zylinder | Höhe h |
| durchströmte Rohre | Innendurchmesser di |
| umströmte, horizontale Rohre | Anströmlänge π ∙ r |
| Kugeln | Kugeldurchmesser d |
| kleine Spalte | Spaltbreite δ |
Für den Wärmestrom infolge Wärmeleitung in der thermischen Grenzschicht kann geschrieben werden $\dot q = \frac{\lambda}{\delta_{th}} (t_W - t_{\infty})$ und gleichzeitig gemäß Ansatz für den konvektiven Wärmeübergang $\dot q = \alpha \cdot (t_W - t_{\infty})$ .
Aus $\alpha \cdot (t_W - t_{\infty}) = \frac{\lambda}{\delta_{th}} (t_W - t_{\infty})$ folgt durch Koeffizientenvergleich $\alpha = \frac{\lambda}{\delta_{th}}$ und für die Nußelt-Zahl:
$Nu = \large{\frac{\alpha \cdot l^*}{\lambda} \cdot \frac{l^*}{\delta_{th}}}$
Die Nußelt-Zahl setzt also die charakteristische Länge l* einer um- beziehungsweise durchströmten Geometrie in Relation zur Stärke der Grenzschicht δth.
Expertentipp
Formal rein nach den Formelzeichen scheinen Nußelt-Zahl und die die dimensionslose Randbedingung dritter Art ausdrückende Biot-Zahl gleich definiert zu sein: $$Nu = \frac{\alpha \cdot l^*}{\lambda} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Bi = \frac{\alpha \cdot l^*}{\lambda}$$
Vorsicht
Das ist ein Trugschluss! In der Nußelt-Zahl bezieht sich die Wärmeleitfähigkeit λ immer auf das Fluid und drückt damit das Verhältnis des konvektiven Wärmeübergangs zur reinen Wärmeleitung im Fluid aus. Die Biot-Zahl beschreibt als dimensionslose Randbedingung die Relation des Wärmeleitwiderstands im Festkörper zum Wärmeübergangswiderstand an der Oberfläche des Festkörpers. Hier ist für die Wärmeleitfähigkeit λ immer die des Festkörpers einzusetzen!
Reynolds-Zahl
Die Reynolds-Zahl als das dimensionslose Verhältnis der Trägheitskräfte zu den durch die Zähigkeit der Fluide hervorgerufenen Reibungskräften ist geeignet, den Strömungszustand (laminar oder turbulent) zu beschreiben.
| c | Strömungsgeschwindigkeit | $[c] = 1 \frac{m}{s}$ |
| l* | charakteristische Länge (wie bei Nußelt-Zahl) | $[l^*] = 1 m$ |
| ν | kinematische Viskosität | $[\nu] = 1 \frac{m^2}{s}$ |
Turbulenz ist eine kinematisch irreversible Bewegung in Fluiden bei höheren Strömungsgeschwindigkeiten, großen Abmessungen des Strömungsraumes und bei niedriger Fluidzähigkeit. Die Reynolds-Zahl ist ein Stabilitätskriterium für die Strömung und trifft mit der kritischen Reynolds-Zahl Rekrit eine Aussage, wann eine laminare Strömung instabil (turbulent) wird. Oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl schaukeln sich zufällige Störungen des laminaren Geschwindigkeitsprofils auf und führen schließlich zu seiner Zerstörung. Unterhalb von Rekrit klingen die Störungen des Geschwindigkeitsprofils durch Dämpfung aus, so dass der laminare Zustand stets erhalten bleibt. Insgesamt bedeutet das, dass unterhalb Rekrit immer laminare Strömung vorliegen muss, oberhalb Rekrit jedoch vorliegen kann.
In der Technik ist es daher üblich, zwischen folgenden Strömungs-bereichen zu unterscheiden:
- laminare Strömung 0 < Re < Rekrit
- Übergangsbereich Rekrit < Re ≤ 5∙ Rekrit
- turbulente Strömung 5 ∙ Rekrit < Re
Kritische Reynolds-Zahl Rekrit
- Rohrströmungen Rekrit ≈ 2320
(im Übergangsbereich sind Art der Zuströmung und Form des Rohreinlaufs ausschlaggebend für die Ausbildung der Strömungsart) - längs angeströmte Platten 105 < Rekrit < 3 · 106 (im Übergangsbereich entscheidet die Form der Plattenvorderkante über die Ausbildung der Strömungsart)
Grashof-Zahl
$Gr = \large{\frac{g \cdot \vert \frac{\rho_{\infty} - \rho_W}{\rho_W} \vert \cdot (l^*)^3}{\nu^2} = \frac{g \cdot \beta \cdot \Delta t \cdot (l^*)^3}{\nu^2}} = \frac{\text{Auftriebskräfte}}{\text{Trägheitskräfte}}$
| g | Fallbeschleunigung | g = | 9,80665 $\frac{m}{s^2}$ |
| β | isobarer Volumenausdehnungskoeffizient | [β] = | $\frac{1}{K}$ |
| ρ | Dichte (ρW = ρ(t = tW)) des Fluids | [ρ] = | 1$ \frac{kg}{m^3}$ |
| Δt | Temperaturdifferenz | [Δt] = | 1$K$ |
| l* | charakteristische Länge (wie bei Nußelt-Zahl) | [l*] = | 1$m$ |
| ν | kinematische Viskosität | [ν] = | 1$\frac{m^2}{s}$ |
Durch Koeffizientenvergleich kann abgeleitet werden: $\vert \frac{\rho_{\infty} - \rho_W}{\rho_W} \vert = \beta \cdot \Delta t$
Vorsicht
Mit Ausnahme des isobaren Volumenausdehnungskoeffizienten β, der aus der Temperatur der ungestörten Strömung t∞ zu bilden ist, sind bei der Ermittlung der Stoffwerte die Bezugstemperaturen tB einzusetzen. Für ideale Gase gilt: $\beta = \frac{1}{T_{\infty}}$.
(Hinweis: Hier nur die thermodynamische Temperatur verwenden!)
Prandtl-Zahl
Die Prandtl-Zahl als Stoffeigenschaft von Fluiden steht für das Verhältnis von Strömungsgrenzschicht zur Temperaturgrenzschicht (Relation für den Impulstransport infolge von Reibung zum Wärmetransport durch Wärmeleitung). Pr = 1 bedeutet, dass beide Grenzschichten gleiche Stärke aufweisen. Dies ist für Gase annähernd erfüllt.
$Pr = \large{\frac{\eta \cdot c_p}{\lambda}= \frac{\nu}{a} = \frac{\text{Impulstransport durch Reibung}}{\text{Wärmetransport durch Leitung}}}$
| ν | kinematische Viskosität | [ν] = | $1 \frac{m^2}{s}$ |
| η | dynamische Viskosität | [η] = | 1 Pa · s = $\frac{kg}{m \, s}$ |
| a | Temperaturleitfähigkeit | [a] = | $1 \frac{m^2}{s}$ |
Größenordnungen:
- Öl: Pr ≈ 1000
- Wasser: Pr ≈ 7
- Luft: Pr ≈ 0,7
- Quecksilber: Pr ≈ 0,03
Rayleigh-Zahl
Bei der freien Konvektion ist praktisch immer das Produkt aus der Grashof-Zahl und der Prandtl-Zahl maßgeb-lich, so dass man beide dimensionslosen Kennzahlen zu einer neuen (abgeleiteten) Kennzahl zusammenfasst.
$Ra = Gr \cdot Pr = \large{\frac{g \cdot \beta \cdot \Delta t \cdot (l^*)^3}{\nu \cdot a}}$
Zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen müssen die thermophysikalischen Eigenschaften der betreffenden Fluide bekannt sein. Am Schluss dieses Abschnitts findest Du eine entsprechende Tafel mit den Stoffwerten von trockener Luft, um die beiden Beispielaufgaben praxisnah behandeln zu können.
Nach dieser Übersicht zu den wichtigsten dimensionslosen Kennzahlen können wir uns der Frage zuwenden, wie die Korrelationen, die über eine Ausgleichsrechnung mit den Daten aus einem Modellversuch gewonnen wurden, für typische Anwendungsfälle aussehen. Die Ähnlichkeitstheorie für den konvektiven Wärmeübergang geht davon aus, dass für die Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten nicht immer alle, sondern nur bestimmte dimensionslose Kennzahlen (Ähnlichkeitskriterien) zwischen Modell und real untersuchtem Objekt zahlenmäßig gleich groß sein müssen. Es ist zweckmäßig, die Korrelationen in der Form Nu = f(Re oder Gr,Pr) zu formulieren, da die Nußelt-Zahl schon den gesuchten Wärmeübergangskoeffizienten als Größe enthält. Abhängig von der Konvektionsform ergibt sich für die Nußeltkorrelationen folgender typischer Aufbau:
Merke
| freie Konvektion: | Nu = Nu(Gr, Pr) |
| freie, Konvektion, schleichende Bewegung | Nu = Nu(Gr∙Pr) = Nu(Ra) |
| erzwungene Konvektion | Nu = Nu(Re, Pr) |
In der Fachliteratur, insbesondere im VDI-Wärmeatlas, finden sich zahlreiche auf Modellversuchen basierende Nußelt-Korrelationen. Manche Versuche legte man so an, dass sie Ergebnisse in einem weiten Gültigkeitsbereich liefern. Andere Versuche plante man in Bezug auf die Ausgangsbedingungen sehr restriktiv, um über genauere Ergebnisse in den eingeschränkten Gültigkeitsbereich zu verfügen. Es fällt oft schwer, die angebotene Vielfalt sinnvoll zu nutzen. Dazu braucht man eine entsprechende Erfahrung, über die der Einsteiger in dieses Fachgebiet naturgemäß nicht verfügt. Es bleibt aber immer wichtig, die jeweils angegebenen Anwendungsgrenzen genau zu prüfen. Ohne die genaue Beschreibung des zugehörigen Gültigkeitsbereiches ist die Nußelt-Korrelation praktisch wertlos. Die kleine Auswahl von Nußelt-Gleichungen für die freie Konvektion im Folgekapitel und die erzwungene Konvektion im darauf folgenden Kapitel beschränkt sich auf Korrelationen für einfachste Geometrien und einem sehr großem Gültigkeitsbereich aus dem VDI-Wärmeatlas.
