- unbekannte Wandtemperatur tW
Oftmals ist die Wandtemperatur tW für die Berechnung des Wärmeübergangs zunächst nicht bekannt, wird aber benötigt bei der Ermittlung der Bezugstemperatur tB für die Stoffwerte des Fluids. Dann sind geeignete Annahmen zu treffen (Wandtemperatur schätzen) und nach Vorliegen eines ersten Wärmeübergangskoeffizienten α diesen zu nutzen, die geschätzte Wandtemperatur tW zu überprüfen. Gegebenenfalls muss man sich der Realität durch erneute Rechnung iterativ nähern. - Erhöhungsfaktor $f_1 = [1 + (\frac{d}{l})^{\frac{2}{3}}]$ für Rohreinlauf
Bei Rohrströmungen ist der Wärmeübergang in der Einlaufstrecke (also in dem Bereich, in der die Strömung ihr endgültiges Geschwindigkeitsprofil ausbildet) höher, weil der Geschwindigkeitsgradient an der Wand dort größer als bei der voll ausgebildeten Strömung ist. Bei kurzen Rohren mit einem hohen Anteil des Einlaufbereiches an der Gesamtrohrlänge ist für den Wärmeübergangskoeffizienten ein Erhöhungsfaktor in der Form von $f_1 = [1 + (\frac{d}{l})^{\frac{2}{3}}]$ zu berücksichtigen. Für sehr lange Rohre l >> d schwindet der Einfluss des Rohreinlaufs wegen der Mittelung des Wärmeübergangskoeffizienten über die gesamte Rohrlänge (f1 ≈ 1). - Korrekturfaktor K für Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte
Die Nußelt-Korrelationen sind für konstante Stoffwerte bei Bezugstemperatur tB formuliert. Bei größeren Temperaturunterschieden zwischen Wand und Fluid und/oder stärkerer Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte (Flüssigkeiten) muss die Richtung des Wärmestroms beachtet werden. In Flüssigkeiten liegt beim Heizen ein besserer Wärmeübergang vor als beim Kühlen, weil in Flüssigkeiten die dynamische Viskosität mit wachsender Temperatur abnimmt und dann der für den Wärmeübergang bedeutsame Geschwindigkeits-gradient an der Wand zunimmt. Der Wärmeübergangskoeffizient α wird dann mit dem Faktor $(\frac{\eta}{\eta_W})^n$ beziehungsweise $(\frac{Pr}{Pr_W})^m$ korrigiert. Dabei sind η und Pr bei der Temperatur t∞ oder bei Rohrströmungen $\overline{t}_{\infty}$ der ungestörten Strömung und ηW oder PrW bei der Wandtemperatur tW einzusetzen. Die Höhe der Exponenten n und m ist in erster Linie abhängig von der Art des Fluids (Flüssigkeit, Dampf, Gas). Für Flüssigkeiten wird die Richtung des Wärmestroms häufig mit dem Faktor K = $(\frac{\eta}{\eta_W})^{0,14}$ korrigiert. Neuere Untersuchungen empfehlen:- für Flüssigkeiten:
- K = ($\frac{Pr}{Pr_W}$)0,11 für Heizen in Rohrströmungen bei 0,1 < ($\frac{Pr}{Pr_W}$) < 10
- K = ($\frac{Pr}{Pr_W}$)0,25 für Kühlen in Rohrströmungen bei 0,1 < ($\frac{Pr}{Pr_W}$) < 10
- K = ($\frac{Pr}{Pr_W}$)0,25 für angeströmte Platten bei 0,5 < ($\frac{Pr}{Pr_W}$) < 500
- für Gase:
- K = ($\frac{T}{T_W}$)0,45 in Rohrströmungen 0,5 < $\frac{T}{T_W}$ < 2,0; Re > 2320, T in K
- K ≈ 1 bei umströmten Platten keine Korrektur erforderlich, dort mittlere Grenz schichttemperatur für Stoffwerte verwenden!
- für Flüssigkeiten:
- gleichwertiger Durchmesser bei Abweichungen von kreisrunden Strömungsquerschnitten
Nußelt-Korrelationen für turbulente Rohrströmungen können auch für geometrisch nicht ähnliche Strömungsquerschnitte angewandt werden. Dazu definiert man einen hydraulischen Durchmesser dh (manchmal auch gleichwertiger Durchmesser genannt), der als jeweilige charakteristische Länge l* in die Nußelt-Gleichungen eingesetzt wird.
$d_h = \frac{4 \cdot \text{durchströmte Fläche}}{\text{benetzter Umfang}} = \frac{4 \cdot A}{U}$
Für eine Kreisringfläche mit den Durchmessern da und di (Ringspalt) ergibt sich demnach
$d_h = \large{\frac{4 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot (d_a^2 - d_i^2)}{\pi \cdot (d_a + d_i)} = \frac{(d_a + d_i) \cdot (d_a - d_i)}{(d_a + d_i)}} = d_a - d_i$
Ringspalte sind nur dann geometrisch ähnlich, wenn das Verhältnis des Außendurchmessers des Innenrohres di zum Innendurchmesser des Außenrohres da übereinstimmt. Das Durchmesserverhältnis $\frac{d_i}{d_a} beeinflusst als zusätzliche Kenngröße den Wärmeübergang in Ringspalten und ist nach einem Vorschlag von Gnielinski als Korrekturfaktor f2 zu berücksichtigen, wenn der Wärmeübergang nur vom oder zum Innenrohr erfolgt (adiabates Mantelrohr) $f_2 = 0,86 \cdot (\frac{d_a}{d_i})^{0,16}$
Für quadratische Kanäle mit der Seitenlänge a wird der gleichwertige Durchmesser dh = a verwendet,
für Rechtecke mit den Seitenlängen a und b der gleichwertige Durchmesser $d_h = \frac{2 \cdot a \cdot b}{(a + b)}$
Methode
Das Vorgehen bei der Berechnung eines Wärmeübergangskoeffizienten folgt einem bestimmten festen Schema.
- Zusammenstellung der Eingangsgrößen (Geometrien, Temperaturen, Stoffwerte, Strömungsge-schwindigkeiten)
- Feststellen der Konvektionsart (freie oder erzwungene Konvektion, Konvektion mit Phasenübergang)
- Untersuchung der Strömungsform (laminar, turbulent) und Besonderheiten der Strömung (Umströmung, Durchströmung, Strömung in Spalten)
- Berechnung der relevanten dimensionslosen Kennzahlen
- Auswahl einer geeigneten Nußelt-Korrelation (Prüfung des Gültigkeitsbereiches) und zahlenmäßige Ermittlung des dimensionslosen Wärmeübergangskoeffizienten, gegebenenfalls mit Berücksichtigung des Temperatureinflusses der Stoffwerte durch Nu = Nu0 ∙ K
- Errechnung des Wärmeübergangskoeffizienten α aus der Definition der Nußelt-Zahl $\alpha = Nu \cdot \frac{\lambda}{l^*}$
Expertentipp
Die Verwendung einer empirisch gewonnenen Korrelation in Schritt 5 beschränkt in Verbindung mit den Toleranzen bei den Eingangsgrößen (insbesondere Fehlergrenzen der Stoffwerte) die technisch erreichbare Genauigkeit in vielen Fällen auf drei signifikante Ziffern. Deshalb sollte der rechnerisch ermittelte Wert für den Wärmeübergangskoeffizienten auf diese Genauigkeit gerundet werden.
| t °C | ρ $\frac{kg}{m^3}$ | c $\frac{kJ}{kg \,K}$ | β $\frac{10^{-3}}{K}$ | λ $\frac{W}{m ,K}$ | η $10^{-6}Pa \cdot s$ | ν $10^{-7}\frac{m^2}{s}$ | Pr |
| - 60 | 1,637 | 1,006 | 4,725 | 0,01960 | 14,07 | 85,93 | 0,7224 |
| - 50 | 1,563 | 1,006 | 4,509 | 0,02042 | 14,61 | 93,49 | 0,7202 |
| - 40 | 1,496 | 1,006 | 4,313 | 0,02122 | 15,15 | 101,3 | 0,7181 |
| - 30 | 1,434 | 1,006 | 4,133 | 0,02202 | 15,68 | 109,4 | 0,7161 |
| - 20 | 1,377 | 1,006 | 3,967 | 0,02281 | 16,20 | 117,7 | 0,7143 |
| - 10 | 1,325 | 1,006 | 3,815 | 0,02359 | 16,71 | 126,2 | 0,7126 |
| 0 | 1,276 | 1,006 | 3,674 | 0,02436 | 17,22 | 135,0 | 0,7110 |
| 10 | 1,231 | 1,006 | 3,543 | 0,02512 | 17,72 | 144,0 | 0,7095 |
| 20 | 1,189 | 1,006 | 3,421 | 0,02587 | 18,21 | 153,2 | 0,7081 |
| 30 | 1,149 | 1,007 | 3,307 | 0,02662 | 18,69 | 162,6 | 0,7068 |
| 40 | 1,112 | 1,007 | 3,201 | 0,02735 | 19,17 | 172,3 | 0,7056 |
| 50 | 1,078 | 1,008 | 3,101 | 0,02808 | 19,64 | 182,2 | 0,7045 |
| 60 | 1,046 | 1,008 | 3,007 | 0,02880 | 20,10 | 192,2 | 0,7035 |
| 70 | 1,015 | 1,009 | 2,919 | 0,02952 | 20,56 | 202,5 | 0,7026 |
| 80 | 0,9862 | 1,010 | 2,836 | 0,03022 | 21,01 | 213,0 | 0,7018 |
| 90 | 0,9590 | 1,011 | 2,758 | 0,03093 | 21,46 | 223,7 | 0,7011 |
| 100 | 0,9333 | 1,011 | 2,683 | 0,03162 | 21,90 | 234,6 | 0,7004 |
| 120 | 0,8857 | 1,014 | 2,546 | 0,03299 | 22,76 | 257,0 | 0,6994 |
| 140 | 0,8428 | 1,016 | 2,423 | 0,03434 | 23,61 | 280,1 | 0,6986 |
| 160 | 0,8039 | 1,019 | 2,310 | 0,03566 | 24,44 | 304,0 | 0,6982 |
| 180 | 0,7684 | 1,022 | 2,208 | 0,03696 | 25,25 | 328,6 | 0,6980 |
| 200 | 0,7359 | 1,025 | 2,115 | 0,03825 | 26,05 | 353,9 | 0,6981 |
| 250 | 0,6655 | 1,035 | 1,912 | 0,04138 | 27,97 | 420,3 | 0,6993 |
| 300 | 0,6075 | 1,045 | 1,745 | 0,04442 | 29,81 | 490,7 | 0,7016 |
| 350 | 0,5587 | 1,057 | 1,605 | 0,04737 | 31,58 | 565,2 | 0,7046 |
| 400 | 0,5172 | 1,069 | 1,485 | 0,05024 | 33,28 | 643,5 | 0,7080 |
| 450 | 0,4815 | 1,081 | 1,383 | 0,05305 | 34,93 | 725,6 | 0,7117 |
| 500 | 0,4503 | 1,093 | 1,293 | 0,05580 | 36,53 | 811,2 | 0,7154 |
| 550 | 0,4230 | 1,104 | 1,215 | 0,05849 | 38,08 | 900,4 | 0,7190 |
| 600 | 0,3988 | 1,115 | 1,145 | 0,06114 | 39,60 | 993,0 | 0,7224 |
| 650 | 0,3772 | 1,126 | 1,083 | 0,06374 | 41,07 | 1089,0 | 0,7255 |
| 700 | 0,3578 | 1,136 | 1,027 | 0,06631 | 42,52 | 1188,3 | 0,7284 |
| 750 | 0,3403 | 1,146 | 0,9772 | 0,06885 | 43,93 | 1290,9 | 0,7310 |
| 800 | 0,3245 | 1,154 | 0,9316 | 0,07135 | 45,32 | 1396,7 | 0,7332 |
| 850 | 0,3100 | 1,163 | 0,8902 | 0,07382 | 46,68 | 1505,7 | 0,7352 |
| 900 | 0,2968 | 1,171 | 0,8522 | 0,07627 | 48,02 | 1617,8 | 0,7370 |
| 950 | 0,2847 | 1,178 | 0,8174 | 0,07870 | 49,34 | 1733,1 | 0,7384 |
| 1000 | 0,2735 | 1,185 | 0,7853 | 0,08110 | 50,63 | 1851,4 | 0,7396 |
