Unter Wärmedurchgang versteht man einen Wärmetransport von einem wärmeren Fluid durch eine feste Wand hindurch an ein kälteres Fluid. Er besteht also aus einem konvektiven Wärmeübergang an die (linke) Wandseite, aus einer Wärmeleitung in der festen Wand und aus einem weiteren konvektiven Wärmeübergang über die (rechte) Wandseite an das kältere Fluid. Demnach werden hier ein Wärmeübergangswiderstand, ein Wärmeleitwiderstand und ein weiterer Wärmeübergangswiderstand in Reihe geschaltet und der Temperatur-abfall zwischen den kalorischen Mitteltemperaturen des heißen und des kalten Fluids betrachtet, ohne dass die Temperaturen an der festen Wand besonders betrachtet werden müssen.
Die entsprechenden Transportmechanismen und die Berechnungsmöglichkeiten wurden schon in den vorangegangenen Abschnitten besprochen. Für die Berechnung eines Wärmedurchgangs müssten eigentlich keine neuen Verfahren vorgestellt werden. Dennoch lohnt ein Blick darauf, welche Spezifika sich gerade aus der in Abb.7 dargestellten Reihenschaltung der beiden Wärmeübergangswiderstände Rα,i und Rα,a sowie des Wärmeleitwiderstandes Rλ ergeben. Für den übertragenen Wärmestrom $\dot Q$ notieren wir jetzt den Ansatz mit den Fluidtemperaturen ti und ta und definieren damit zwei neue Größen, den Wärmedurchgangskoeffizienten k und den Wärmedurchgangswiderstand Rk.
Methode
$\dot Q = k \cdot A \cdot (t_i - t_a) = \large{\frac{(t_i - t_a)}{\frac{1}{k \cdot A}} = \frac{\Delta t}{R_k}}$ mit den beiden neuen Größen:
| • Wärmedurchgangskoeffizient k | [k] = | 1 $\frac{W}{m^2 \, K}$ | oder [U] = 1$\frac{W}{m^2 \, K}$ |
| • Wärmedurchgangswiderstand Rk | [Rk] = | 1 $\frac{W}{K}$ |
Expertentipp
Im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik dominiert für den Wärmedurchgangskoeffizienten das Formelzeichen k. Im Bauwesen und im Gebäudebereich hat sich in Anlehnung an international gültige Normen das Formelzeichen U durchgesetzt. Wir werden fallabhängig beide Formelzeichen verwenden.
Der Wärmedurchgangswiderstand setzt sich zusammen aus der Summe der am Wärmedurchgang beteiligten und in Reihe geschalteten Wärmewiderstände Rk = Rα,i + Rλ + Rα,a. Der Wärmedurchgangskoeffizient k besteht deshalb aus drei Anteilen:
- Anteil vom Wärmeübergang des wärmeabgebenden Fluids an die Wand (Wärmeübergang durch Konvektion)
- Anteil vom Wärmeübergang von der Wand an das wärmeaufnehmende Fluid bestimmten Anteil (Wärmeübergang durch Konvektion)
- Anteil von der nur von den Eigenschaften der festen und gegebenenfalls aus mehreren Schichten bestehenden Trennwand (Wärmeleitung)
Expertentipp
Die Höhe des Wärmedurchgangskoeffizienten k wird hauptsächlich vom größten Wärmewiderstand bestimmt. In der Regel ist das einer der beiden Wärmeübergangswiderstände. Der Wärmedurchgangskoeffizient k ist dann kleiner als der kleinere Wärmeübergangskoeffizient α. In sehr seltenen Fällen ist dann auch noch der Wärmeleitwiderstand der festen Wand oder Wandschichten in die Betrachtung einzubeziehen. Aus diesen Überlegungen leitet der Wärmetechniker schnell ab, wo man beginnen sollte, den Wärmefluss (je nach Aufgabenstellung) zu steigern oder zu vermindern.
Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten k für einfache Grundgeometrien:
- Ebene Wand mit N verschiedenen Materialschichten und konstant bleibender Wandfläche A:
$\dot Q = k \cdot A \cdot (t_i - t_a) = \large{\frac{(t_i - t_a)}{R_{\alpha ,i} + R_{\lambda} + R_{\alpha ,a}} = \frac{(t_i - t_a)}{\frac{1}{\alpha_i} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{\delta_n}{\lambda_n} + \frac{1}{\alpha_a}}}$ der Koeffizientenvergleich liefertBei Zylindern und Kugeln sind die Oberflächen keine konstanten Größen wie bei ebenen Wänden, sondern wachsen mit dem Radius r(A = A(r)). Bei diesen Geometrien muss man sich deshalb für die Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten k für eine Bezugsfläche entscheiden. Zumeist bezieht man sich auf die Außenfläche, am Formelzeichen k am Index „a“ zu erkennen (ka).Hier klicken zum AusklappenMethode
$$k = \frac{1}{\Big( \frac{1}{\alpha_i} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{\delta_n}{\lambda_n} + \frac{1}{\alpha_a} \Big)}$$
- Hohlzylinder mit N verschiedenen Materialschichten
$\dot Q = (k \cdot A) \cdot (t_i - t_a) = \large{\frac{(t_i - t_a)}{\frac{1}{\alpha_i \cdot A_i} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{1}{2 \pi \cdot l \cdot \lambda_n} ln \frac{r_{n+1}}{r_n} + \frac{1}{\alpha_a \cdot A_a}}}$
Ein Koeffizientenvergleich liefert die Berechnungsvorschrift für den auf die Außenfläche bezogenen Wärmedurchgangskoeffizienten ka (beachte für N Schichten: ra = rn+1!)
$k_a = \large{\frac{1}{\frac{A_{\alpha}}{\alpha_i \cdot A_i} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{r_a}{\lambda_n} \cdot ln \frac{r_{n+1}}{r_n} + \frac{1}{\alpha_a}}}$Hier klicken zum AusklappenMethode
$k_a = \large{\frac{1}{\frac{r_a}{\alpha_i \cdot r_i} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{r_a}{\lambda_n} \cdot ln \frac{r_{n+1}}{r_n} + \frac{1}{\alpha_a}} = \frac{1}{\frac{d_a}{\alpha_i \cdot d_i} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{d_a}{2 \cdot \lambda_n} \cdot ln \frac{d_{n+1}}{d_n} + \frac{1}{\alpha_a}}}$
- Hohlkugel mit N verschiedenen MaterialschichtenIn den nachfolgenden Beispielen betrachten wir jeweils einen Wärmedurchgang durch eine ebene Wand und einen Wärmedurchgang in einem Rohr (Hohlzylinder). In beiden Fällen wird unterstellt, dass sich die äußeren Bedingungen für den Wärmedurchgang nicht ändern.Hier klicken zum Ausklappen
Methode
$k_a = \large{\frac{1}{\frac{r_a^2}{\alpha_i \cdot r_i^2} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{r_a^2}{\lambda_n} \cdot (\frac{1}{r_n} - \frac{1}{r_{n+1}}) + \frac{1}{\alpha_a}}} $ (beachte: ra = rn + 1!)
$k_a = \large{\frac{1}{\frac{d_a^2}{\alpha_i \cdot d_i^2} + \sum \limits^{N}_{n=1} \frac{d_a^2}{2 \cdot \lambda_n} \cdot (\frac{1}{d_n} - \frac{1}{d_{n+1}})+ \frac{1}{\alpha_a}}}$ (beachte: da = dn + 1!)
