Das nachfolgende Beispiel betrifft einen Wärmedurchgang in einer Rohrleitung bei dem sich die Bedingungen für den Wärmedurchgang entlang eines Strömungsweges x ändern, also nicht konstant sind. Um dies zu erfassen, muss man zu einer differentiellen Betrachtung mit anschließender Integration übergehen.
Beispiel
Ein Warmwasserverbraucher beziehe über eine 40 m lange 3/4´´-Warmwasserleitung aus Stahl (Wandstärke 2 mm, Wärmeleitfähigkeit 14,7 $\frac{W}{m \,K}$ von der zentralen Warmwasserbereitung 0,25 $\frac{kg}{s}$ Warmwasser. Der mittlere Wärmeübergangskoeffizient vom Warmwasser an das Stahlrohr solle mit 3.000 $\frac{W}{m^2 \,K}$ angesetzt werden. Außen am Rohr befinde sich ruhende Luft mit einer konstanten Umgebungstemperatur von 10 °C, der mittlere Wärmeübergangskoeffizient an der Rohraußenwand betrage 25 $\frac{W}{m^2 \,K}$. Unmittelbar an der zentralen Warmwasserbereitung wird das Wasser mit 60 °C eingespeist. Die mittlere spezifische Wärmekapazität des Warmwassers sei mit 4,183 $\frac{J}{kg \,K}$ gegeben. Welche Temperatur besitzt das Wasser an der Verbrauchstelle?
Gegeben:
| Stahlrohr: | ri | = 0,5 · 0,75 · 25,4 mm = 9,525 mm | δSt | = 2 mm | ra = 11,525 mm |
| λSt | = 14,7 $\frac{W}{m \,K}$ | ||||
| Warmwasser: | $\overline{c}_W$ | = 4,183 $\frac{J}{kg \,K}$ | t1 | = 60 °C | t1 ≤ ti(x) ≤ t2 |
| $\dot m$ | = 0,25 $\frac{kg}{s}$ | ||||
| Randbedingungen: | αi | = 3000 $\frac{W}{m^2 \,K}$ | αa | = 25 $\frac{W}{m^2 \,K}$ | ta = 10 °C |
Lösung:
Die über den Leitungsquerschnitt gemittelte Temperatur des Warmwassers fällt von t1 = 60 °C auf die unbekannte Temperatur t2 am Ende der Leitung. Der Wärmeverluststrom hängt von der Temperaturdifferenz zwischen Warmwassertemperatur im Inneren der Leitung und der Umgebungstemperatur ab und ist mithin über die Leitungslänge nicht konstant, sondern verringert sich mit fallender Warmwassertemperatur bei Zunahme des zurückgelegten Weges auf der Transportstrecke. Um diesen Umstand mathematisch exakt zu berücksichtigen, unterstellen wir für einen differentiell kleinen Abschnitt der Leitung dx einen konstanten Wärmeverluststrom $d \dot Q$. Eine Integration über die Leitungslänge liefert dann die tatsächlichen Wärmeverluste, aus denen dann auch die Temperatur t2 zu bestimmen ist. Es ist daher sinnvoll, zunächst eine Funktion für den Wärmeverlustrom bezogen auf die Leitungslänge l zu finden.
$\dot Q_V = k_a \cdot A_a \cdot (t_i(x) - t_a)$ und äußere Mantelfläche der Leitung $A_a = 2 \cdot \pi \cdot r_a \cdot l$ liefern die Beziehung
$\dot Q_V = \large{\frac{2 \cdot \pi \cdot r_a \cdot l \cdot (t_i(x) - t_a)}{\frac{1}{\alpha_i} \cdot\frac{r_a}{r_i} + \frac{r_a}{ \lambda_{St}} \cdot ln \frac{r_a}{r_i} + \frac{1}{\alpha_a}} \rightarrow \frac{\dot Q_V}{l} = \frac{2 \cdot \pi \cdot \lambda_{St}}{\frac{\lambda_{St}}{\alpha_i \cdot r_i} + ln \frac{r_a}{r_i} + \frac{\lambda_{St}}{\alpha_a \cdot r_a}} \cdot (t_i(x) - t_a)} = K \cdot (t_i(x) - t_a)$
Mit K haben wir nur zur Vereinfachung für die Darstellung gegebene Größen zu einer Konstanten zusammengefasst. Eine zahlenmäßige Auswertung ergibt:
$\begin{align} K & = \frac{2 \cdot \pi \cdot\lambda_{St}}{\frac{\lambda_{St}}{\alpha_i \cdot r_i} + ln \frac{r_a}{r_i} + \frac{\lambda_{St}}{\alpha_a \cdot r_a}}
\\ & = \frac{2 \cdot \pi \cdot 14,7 \frac{W}{m \,K}}{\frac{14,7 \frac{W}{m \,K}}{3000 \frac{W}{m^2 \,K} \cdot 0,009525 m} + ln \frac{0,0011525 m}{0,009525 m} + \frac{14,7 \frac{W}{m \,K}}{25 \frac{W}{m^2 \,K} \cdot 0,0011525 m}}
\\ & = 1,276354082\frac{W}{m \,K}\end{align}$
Der differentiell kleine Wärmestrom, der im Leitungsabschnitt dx vom Warmwasser abgegeben wird, kann ausgedrückt werden durch:
$\dot Q \Big \vert_{x+dx} - \dot Q \Big \vert_{x}= d \dot Q = - \dot m \cdot \overline{c}_W \cdot dt_i$
Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass eine Abkühlung stattfindet und dt < 0 ist. Die Energiebilanz führt schließlich auf:
$- \dot m \cdot \overline{c}_W \cdot dt_i = (K)_x \cdot (t_i - t_a) \cdot dx$ Trennung der Veränderlichen ermöglicht dann eine einfache bestimmte Integration:
$\int \limits^{t_2}_{t_1} \frac{dt_i}{t_i - t_a} = - \frac{K}{\dot m \cdot \overline{c}_W} \cdot \int \limits^{l}_{0} dx \rightarrow ln \frac{t_2 - t_a}{t_1 - t_a} = - \frac{K \cdot l}{\dot m \cdot \overline{c}_W}$ aufgelöst nach t2 folgt
$t_2 = t_1 \cdot e^{- \frac{K \cdot l}{\dot m \cdot \overline{c}_W}} = 60K \cdot e^{-0,48820619} ≈ 57,62 °C$
Dieses Beispiel demonstriert das prinzipielle Vorgehen bei nicht konstanten Wärmedurchgangsbedingungen. Die Temperaturdifferenz des Warmwassers zwischen Leitungseintritt und am Ende der Leitung beträgt (nur) 2,38 K. Diese Temperaturdifferenz ist klein gegenüber der anfänglich den Wärmedurchgang treibenden Temperatur-differenz von 50 K zwischen Warmwasser und konstanter Umgebungstemperatur und rechtfertigt daher durchaus eine Linearisierung des Prozesses durch die Annahme, die Warmwassertemperatur nähme linear von der gegebenen Eingangsgröße t(x=0) = t1 auf die gesuchte Temperatur t(x=l) = t2 ab. Dann könnte man ansetzen:
$ - \dot m \cdot \overline{c}_W \cdot (t_2 - t_1) = \frac{2 \cdot \pi \cdot \lambda_{St}}{\frac{\lambda_{St}}{\alpha_i \cdot r_i} + ln \frac{r_a}{r_i} + \frac{\lambda_{St}}{\alpha_a \cdot r_a}} \cdot (t_1 - t_a) \;\;\; \rightarrow $
$\begin{align} t_2 & = t_1 - \frac{2 \cdot \pi \cdot \lambda_{St}}{\dot m \cdot \overline{c}_W \cdot \Big( \frac{\lambda_{St}}{\alpha_i \cdot r_i} + ln \frac{r_a}{r_i} + \frac{\lambda_{St}}{\alpha_a \cdot r_a} \Big)}\cdot (t_1 - t_a)
\\ & = t_1 - \frac{2 \cdot \pi \cdot 14,7 \frac{W}{m \,K} \cdot 50K}{0,25 \frac{kg}{s} \cdot 4,183 \frac{J}{kg \,K} \cdot \Big( \frac{14,7 \frac{W}{m \,K}}{3000 \frac{W}{m^2 \,K} \cdot 0,009525 m} + ln \frac{0,0011525 m}{0,009525 m} + \frac{14,7 \frac{W}{m \,K}}{25 \frac{W}{m^2 \,K} \cdot 0,0011525 m} \Big)}
\\ & ≈ 57,56 °C \end{align}$
Die Linearisierung verbietet sich aber, wenn (t1 – t2) << (t1 – ta) nicht mehr gegeben sind, etwa für eine Leitungslänge von 800 m. Für die differentielle Betrachtung erhält man die wirklichkeitsnahe Temperatur t2 = 28,83 °C, bei Linearisierung des Vorgangs t2 = 11,18 °C.
