Beispiel
Für die Vorwärmung von stündlich 500 kg Wasser mit einer Temperatur von 20 °C steht ein vorhandener Rohrbündel-Wärmeübertrager mit einer Übertragungsfähigkeit von 800 $\frac{W}{K}$ zur Verfügung. Als Heizmedium können 1 $\frac{t}{h}$ warmes Abwasser mit einer Temperatur von 80 °C eingesetzt werden. Die mittlere spezifische Wärmekapazität für das zu erwärmende Wasser sowie für das Abwasser kann im interessierenden Temperatur-bereich mit 4,195 $\frac{kJ}{kg \, K}$ als konstanter Wert angenommen werden.
Welche Vorwärmtemperatur für das Wasser ist maximal erreichbar und welche Ablauftemperatur besitzt das Abwasser dann?
Welche Wärmeleistung kann in dem Rekuperator maximal übertragen werden?
Bestimmen Sie die Parameter aus Aufgabenteil (a) und (b), wenn bei unveränderten Zulauftemperaturen nur noch ein Heizmittelstrom von 0,6 $\frac{t}{h}$ zur Verfügung steht!
Gegeben:
| $K$ | $= 800 \frac{W}{K}$ | $\dot m_1$ | $= 1000 \frac{kg}{h}$ | $\dot m_2$ | $= 500 \frac{kg}{h}$ |
| $\overline{c}_W$ | $= 4,195 \frac{kJ}{kg \, K}$ | $t^{'}_{1}$ | $= 90°C$ | $t^{'}_{2}$ | $= 10°C$ |
Lösung:
- Ermittlung der maximal erreichbaren Vorwärmtemperatur und der übertragenen Wärmeleistung
Die Austrittstemperaturen beider Stoffströme sind unbekannt. Daher sollte man bei der Lösung dieser Aufgabe die dimensionslosen Kennzahlen verwenden.
Die maximale Leistung des Wärmeübertragers wird mit der Gegenstromschaltung erreicht, von der deshalb hier auszugehen ist.
$R_1 = \frac{\dot C_1}{\dot C_2} = \frac{1000 \frac{kg}{h} \cdot 4,195 \frac{kJ}{kg \, K}}{500 \frac{kg}{h} \cdot 4,195 \frac{kJ}{kg \, K}} = 2 \;\;\;\;\; NTU_1 = \frac{K}{\dot C_1} = \frac{800 \frac{W}{K}}{1000 \frac{kg}{h} \cdot 4,195 \frac{kJ}{kg \, K}} = 0,686531585$
$P_{1,Ge} = \frac{t^{'}_{1} - t^{''}_{1}}{t^{'}_{1} - t^{'}_{2}} = \frac{1 - e^{-NTU_1 \cdot (1 - R_1)}}{1 - R_1 \cdot e^{-NTU_1 \cdot (1 - R_1)}} = \frac{1 - e^{0,686531585 \cdot (-1)}}{1 - 2 \cdot e^{0,686531585 \cdot (-1)}} = 0,331855056$
$t^{''}_{1} = t^{'}_{1} - P_1 \cdot (t^{'}_{1} - t^{'}_{2}) = 90°C - 0,331855056 \cdot 80K = 63,45°C$
Die maximal erreichbare Vorwärmtemperatur für das Wasser ist t2''. Anstelle der Neuberechnung von P2 aus R2 und NTU2 rechnet man effizienter mit P2 = P1 · R1.
$t^{''}_{2} = t^{'}_{2} + P_2 \cdot (t^{'}_{1} - t^{'}_{2}) = t^{'}_{2} + P_2 \cdot R_1 (t^{'}_{1} - t^{'}_{2}) = 10°C + 0,331855056 \cdot 2 (80K) = 63,10°C$
Das Ergebnis ist bemerkenswert. Die Austrittstemperatur des Kühlmittels liegt fast bei der Austrittstemperatur des Heizmittels. In einer Gleichstromschaltung wäre das nur mit einer sehr großen Heizfläche möglich. Im Gegenstrombetrieb kann man bei entsprechenden Parametern erreichen, dass die Austrittstemperatur des Kühlmittels sogar über der des Heizmittels liegt, was mit einer Gleichstromschaltung überhaupt nicht möglich wäre. - Die maximal erreichbare und übertragene Wärmeleistung ist nun berechenbar aus:
$\dot Q = \dot m_1 \cdot \overline{c}_W \cdot (t^{'}_{1} - t^{''}_{1}) = 1000 \frac{kg}{h} \cdot 4195 \frac{Ws}{kg \, K} \cdot (90°C - 63,45°C) = 30,938 kW$ - Teillastverhalten (TL) des Rekuperators (Heizmittelstrom geht um 40 % zurück)
$R_{1,TL} = \frac{\dot C_1}{\dot C_2} = \frac{600 \frac{kg}{h}\cdot 4195 \frac{Ws}{kg \, K}}{500 \frac{kg}{h}\cdot 4195 \frac{Ws}{kg \, K}} = 1,2 \;\;\;\;\; NTU_{1,TL} = \frac{K}{\dot C_{1,Tl}} = \frac{800 \frac{W}{K} \cdot 3600s}{600kg \cdot 4195 \frac{Ws}{kg \, K}} = 1,144219309$
$P_{1,Ge,TL} = \frac{ t^{'}_{1} - t^{''}_{1}}{ t^{'}_{1} - t^{'}_{2}} = \frac{1 - e^{-NTU_1 \cdot (1 - R_1)}}{1 - R_1 \cdot e^{-NTU_1 \cdot (1 - R_1)}} = \frac{1 - e^{-1,144219309 \cdot (-0,2)}}{1 - 1,2 \cdot e^{-1,144219309 \cdot (-0,2)}} = 0,505620203$
$t^{''}_{1} = t^{'}_{1} - P_1 \cdot (t^{'}_{1} - t^{'}_{2}) = 90°C - 0,505620203 \cdot 80K = 49,55°C$
$t^{''}_{2} = t^{'}_{2} + P_2 \cdot (t^{'}_{1} - t^{'}_{2}) = t^{'}_{2} + P_2 \cdot R_1 (t^{'}_{1} - t^{'}_{2}) = 10°C + 0,505620203 \cdot 2 (80K) = 58,54°C$
$\dot Q = \dot m_1 \cdot \overline{c}_W \cdot (t^{'}_{1} - t^{''}_{1}) = 600 \frac{kg}{h} \cdot 4195 \frac{Ws}{kg \, K} \cdot (90°C - 49,55°C) = 28,281 kW$
Der Heizmittelmassenstrom geht um 40 % zurück, aber es werden in der Teillast immer noch etwas mehr als 91 Prozent der Wärmeleistung übertragen. Auch die erreichte Vorwärmtemperatur des Wassers sinkt nur geringfügig. Hier tritt außerdem der oben schon erwähnte Fall ein, dass die Auslauftemperatur des Kühlmittels deutlich oberhalb der Austrittstemperatur des Heizmittels liegt.
