Beispiel
In einem Prozess wird heißes Abwasser genutzt, um Frischwasser von 10 °C auf 80 °C zu erwärmen. Abwasser- und Frischwassermassenstrom seien mit jeweils 180 kg pro Stunde gleich groß. Das Abwasser wird im Innenrohr (Innendurchmesser 30 mm) eines adiabat umhüllten Rohrbündel-Wärmeübertragers geführt und steht am Eintritt mit 95 °C zur Verfügung. Der Wärmedurchgangskoeffizient sei als mittlerer konstanter Wert mit 300 W/(m² K) gegeben.
- Mit welcher Temperatur tritt das Abwasser aus dem Wärmeübertrager aus, wenn man von einer konstanten mittleren spezifischen Wärmekapazität von 4,19 $\frac{kJ}{kg \, K}$ für Wasser und Abwasser ausgeht?
- Welche Wärmeleistung in kW besitzt der Rohrbündel-Wärmeübertrager?
- Untersuchen Sie die Ausführung im Gleich- und Gegenstrombetrieb! Wie lang müssen die Rohre im Rohrbündel sein?
- Schätzen Sie die Wirtschaftlichkeit der Betriebsführung über die Anzahl der Übertragungseinheiten ab!
Gegeben:
| Abwasser: | $\dot m_1 = 180 \frac{kg}{h}$ | $\overline{c}_1 = 4,19 \frac{kJ}{kg \, K}$ | $t_{1}^{'} = 95°C$ | |
| Frischwasser: | $\dot m_2 = 180 \frac{kg}{h}$ | $\overline{c}_2 = 4,19 \frac{kJ}{kg \, K}$ | $t_{2}^{'} = 10°C$ | $t_{2}^{"} = 80°C $ |
| Wärmeübertrager: | $d_i = 0,03m$ | $k = 300 \frac{W}{m^2 \, K}$ |
Lösung:
- Austrittstemperatur des Heizmittels
Hier liegt offenbar eine Wärmeübertragung mit gleichen Wärmekapazitätsströmen vor (R = 1).
$\dot C_1 = \dot C_2 = \dot m \cdot \overline{c} = 180 \frac{kg}{h} \cdot 4,19 \frac{kJ}{kg \, K} = 0,2095 \frac{kW}{K}$
$\dot C_1 \cdot (t_{1}^{'} - t_{1}^{''}) = \dot C_2 \cdot (t_{2}^{''} - t_{2}^{'}) \;\;\;\;\; t_{1}^{''} = t_{1}^{'} - (t_{2}^{''} - t_{2}^{'}) = 95°C - (80°C - 10°C) = 25°C$
Man könnte einwenden, dass die spezifische Wärmekapazität von Wasser temperaturabhängig ist. Tatsächlich würde die spezifische Wärmekapazität des heißen Abwassers im relevanten Temperaturbereich als mittlerer Wert 4,183 $\frac{kJ}{kg \, K}$ liegen, der des Kühlwassers zwischen 10 °C und 80 °C bei 4,179 $\frac{kJ}{kg \, K}$. Dann ergäbe sich: $t_{1}^{''} = t_{1}^{'} - \frac{\overline{c}_2}{\overline{c}_1} (t_{2}^{''} - t_{2}^{'}) = 95°C - \frac{4,19 \frac{kJ}{kg \, K}}{4,19 \frac{kJ}{kg \, K}} (80°C - 10°C) = 25,07°C$ - Wärmeleistung des Doppelrohrwärmeübertragers
$\dot Q = \dot C_2 \cdot \Delta t_2 = 0,2095 \frac{kW}{K} \cdot (80°C - 10°C) = 14,665 kW$ - Untersuchung eines Gleich- und Gegenstrombetriebs bei R = 1
Gleichstrom:
Nach Energiebilanz beträgt die Austrittstemperatur für das Heizmittel 25 °C, die des Kühlmittels 80 °C. Daran ist a priori zu sehen, dass eine Gleichstromführung für diese Wärmeübertragungsaufgabe nicht realisiert werden kann, denn nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik kann das Heizmittel an keinem Ort im Wärmeübertrager eine niedrigere Temperatur erreichen als das Kühlmittel.
Das Kriterium Pi < $\frac{1}{(Ri + 1)}$ führt in Verbindung mit R = 1 auf die Bedingung Pi = 0,5
Mit den gegebenen Parametern kann die Bedingung für die Gleichstromführung nicht eingehalten werden:
$P_1 = \frac{t_{1}^{'} - t_{1}^{''}}{t_{1}^{'} - t_{2}^{'}} = \frac{95°C - 25°C}{95°C - 10°C} = \frac{70K}{85K} = 0,823529411 \;\;\;\;\; P_2 = \frac{t_{2}^{''} - t_{2}^{'}}{t_{1}^{'} - t_{2}^{'}} = \frac{80°C - 10°C}{95°C - 10°C} = \frac{70K}{85K}$
Die Ablauftemperaturen, bei denen eine Gleichstromführung theoretisch noch denkbar wäre, liegen bei und $P_1 = P_2 = 0,5$ damit
$\begin{align} t_{1}^{''} & = t_{1}^{'} - 0,5 (t_{1}^{'} - t_{2}^{'}) = 95°C - 0,5 (95°C - 10°C) = 52,5°C
\\ t_{2}^{''} & = t_{2}^{'} + 0,5 (t_{1}^{'} - t_{2}^{'}) = 10°C + 0,5 (95°C - 10°C) = 52,5°C \end{align}$
Hier würde also die Wärmeübertragung nur bis zum Erreichen der Temperatur von 52,5 °C stattfinden und
damit nur ein Teil der geforderten Wärmeleistung übertragen. $\dot Q = 0,2095 \frac{kW}{K} \cdot (52,5°C - 10°C) ≈ 8,9 kW$
Die dafür benötigte Heizfläche wäre allerdings unendlich groß und damit nicht realisierbar.
$NTU_i = - \frac{ln[1 - 0,5 \cdot 2]}{2}$ wegen ln0 → -∞ folgt NTUi → +∞ und A → +∞
Gegenstrom:
Der Gegenstrombetrieb unterliegt grundsätzlich nicht den Einschränkungen eines Gleichstrombetriebes. Die erforderliche Heizfläche kann klassisch oder mit der dimensionslosen Kennzahl NTU errechnet werden:
Klassisches Vorgehen:
$\Delta t_0 = t_{1}^{'} - t_{2}^{''} = 95°C - 80°C = 15K \;\;\;\;\; \Delta t_A = t_{1}^{''} - t_{2}^{'} = 25°C - 10°C = 15K$
Für bleibt im Gegenstrom die treibende Temperaturdifferenz zwischen Heizmittel und Kühlmittel über den gesamten Verlauf der Heizfläche konstant, hier in diesem Beispiel ∆tm = 15K
$\dot Q = k \cdot A \cdot \Delta t_m \;\;\;\;\; A = \frac{\dot Q}{k \cdot \Delta t_m} = \frac{14,665 kW}{300 \frac{W}{m^2 \, K} \cdot 15K} = 3,2589m^2$
Ermittlung der Heizfläche aus NTU
$NTU = \frac{P}{1 - P} = \frac{0,823529411}{0,176470588} = 4,6666667 \;\;\;\;\; A = \frac{NTU \cdot \dot C}{k} = \frac{4,6666667 \cdot 209,5 \frac{W}{K}}{300 \frac{W}{m^2 \, K}} = 3,2589m^2$
Gefragt ist jedoch nicht nach der Heizfläche in m2, sondern nach der Länge l des Rohres, die sich ergibt aus
$l = \frac{A}{\pi \cdot d} = \frac{3,2589m^2}{\pi \cdot 0,03m} = 34,58m$
Für eine praktische Realisierung dürfte dies zu lang sein. Die üblichen Rohrlängen in Wärmeübertragern übersteigen selten den Wert von 4 bis 6 m, Ausnahmen bilden Kraftwerkskondensatoren mit 10 bis 12 m Länge. - Nachweis Wirtschaftlichkeit Gegenstrom-Wärmeübertrager mit Hilfe der dimensionslosen Kennzahl NTU:
$NTU = \frac{k \cdot A}{\dot C} = \frac{300 \frac{W}{m^2 \, K} \cdot 3,2589m^2}{209,5 \frac{W}{K}} ≈ 4,667 \lt 5$
Hier ist die Heizfläche deutlich größer als für einen wirtschaftlich sinnvollen Gegenstrombetrieb empfohlen, der im Bereich zwischen 2 ≤ NTU ≤ 3 liegt. Mit Hinweis auf ein niedriges Kapazitätsstromverhältnis von 1 und unter weiteren besonderen Umständen kann aber NTU = 4,6667 aber noch akzeptiert werden, weil NTU immer noch unter 5 liegt.
