Verdampfer und Kondensatoren stellen spezielle Rekuperatoren dar, bei denen sich der Aggregatzustand eines strömenden Fluids ändert und für die Dauer dieser Änderung (Durchschreiten des Zweiphasengebietes) dessen Temperatur konstant bleibt. Im Verdampfer verdampft das Kühlmittel (Index 2) bei Siedetemperatur, im Kondensator kondensiert bei Kondensationstemperatur das Heizmittel (Index 1). Unter Berücksichtigung der vom Druck abhängigen Verdampfungsenthalpie eines reinen Stoffes r(p) und der Änderung des Dampfanteils Δx erfasst man die Energiebilanz nun über:
Methode
- für den Kondensator mit $\Delta t_1 = 0, \frac{\dot C_1}{\dot C_2} \rightarrow \infty $, sowie Δx = 1 - x durch $\dot Q = \dot m_1 \cdot r(p) \cdot \Delta x = \dot m_2 \cdot c_{p,2} \cdot (t_{2}^{''} - t_{2}^{'}) = k \cdot A \cdot \Delta t_m$ mit t1 = t1' = t1''
$\Delta t_m = \large{\frac{(t_1 - t_{2}^{''}) - (t_1 - t_{2}^{'})}{ln \Bigg( \frac{(t_1 - t_{2}^{''})}{(t_1 - t_{2}^{'})} \Bigg)} = \frac{(t_{2}^{'} - t_{2}^{''})}{ln \Bigg( \frac{(t_1 - t_{2}^{''})}{(t_1 - t_{2}^{'})} \Bigg)}}$ abgeleitet aus $\Delta t_m = \large{\frac{\Delta t_A - \Delta t_0}{ln \frac{\Delta t_A}{\Delta t_0}}}$ für den Gleichströmer oder
$\Delta t_m = \large{\frac{(t_1 - t_{2}^{'}) - (t_1 - t_{2}^{''})}{ln \Bigg( \frac{(t_1 - t_{2}^{''})}{(t_1 - t_{2}^{'})} \Bigg)} = \frac{(t_{2}^{''} - t_{2}^{'})}{ln \Bigg( \frac{(t_1 - t_{2}^{'})}{(t_1 - t_{2}^{''})} \Bigg)}}$ abgeleitet aus $\Delta t_m = \large{\frac{\Delta t_A - \Delta t_0}{ln \frac{\Delta t_A}{\Delta t_0}}}$ für den Gleichströmer
Mit beiden Formeln erhält man den gleichen Wert für die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz! - für den Verdampfer mit $\Delta t_2 = 0, \frac{\dot C_1}{\dot C_2} \rightarrow \infty $, sowie Δx = x - 0 durch $\dot Q = \dot m_1 \cdot c_{p,1} \cdot (t_{1}^{'} - t_{1}^{''})= \dot m_2 \cdot r(p) \cdot \Delta x = k \cdot A \cdot \Delta t_m$ mit t2 = t2' = t2'' folgt für Δtm
$\Delta t_m = \large{\frac{t_1^{''} - t_{1}^{'}}{ln \frac{t_1^{''} - t_{2}}{t_1^{'} - t_{2}}} = \frac{t_{1}^{'} - t_{1}^{''}}{ln \frac{t_1^{'} - t_{2}}{t_1^{''} - t_{2}}}}$
Expertentipp
Die Strömungsführung (Gleich- oder Gegenstrom) hat keinen Einfluss auf die Höhe der logarithmischen Temperaturdifferenz und spielt deshalb in Verdampfern und Kondensatoren keine Rolle!
Neben beiden jeweils in $\frac{W}{K}$ gemessenen Kapazitätsströmen $\dot C_1$ und $\dot C_2$ fällt die Übertragungsfähigkeit K = k · A als wichtige Einflussgröße in der Energiebilanz auf. Sie ist ein Charakteristikum für den Wärmeübertrager. Bei Bestellung eines benötigten Wärmeübertragers aus den Katalogen von Herstellern ist die Übertragungsfähigkeit K das entscheidende Auswahlkriterium, die übertragene Wärmeleistung $\dot Q$ ist durch das Temperaturniveau der beiden Stoffströme innerhalb der Übertragungsfähigkeit beliebig einzustellen. Bei bekannter Strömungsführung eines Wärmeübertragers lassen sich für jeden seiner Betriebspunkte der übertragene Wärmestrom und die mittlere Temperaturdifferenz aus den Massenströmen und den thermophysikalischen Eigenschaften von Heiz- und Kühlmedium berechnen und somit ist dann auch die Übertragungsfähigkeit bestimmbar.
Neben den in$\frac{W}{K}$ gemessenen Größen $\dot C_1$, $\dot C_2$ und K wird die Energiebilanz durch die in Kelvin anzugebenden drei Temperaturdifferenzen Δt1 = t1' - t1'', Δt2 = t2'' - t2' und Δtmax = t1' - t2' bestimmt. Für die Energiebilanz liegen also sechs relevante Einflussgrößen vor, die in zwei verschiedenen Maßeinheiten auftreten. Deshalb sind die in der Energiebilanz formulierten Zusammenhänge auch durch vier dimensionslose Kennzahlen zu erfassen. Die dimensionslosen Kennzahlen bieten erhebliche Rechenvorteile, wenn die beiden Ablauftemperaturen t1'' und t2'' unbekannt sind. Wenn man andere Stromführungen als Gleich- oder Gegenstrom untersuchen will, etwa verschiedene Formen des Kreuzstroms, sind die dimensionslosen Kennzahlen die einzige Möglichkeit, die für die Berechnung solcher Wärmeübertrager in Frage kommt.
Bei der Definition der oben erwähnten dimensionslosen Kennzahlen spielt die maximale Temperaturdifferenz im Wärmeübertrager Δtmax = t1' - t2' aus den häufig als bekannt vorauszusetzenden Eintrittstemperaturen t1' und t2' eine besondere Rolle.
Methode
- dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz Θ
$\Theta = \frac{\Delta t_{m}}{\Delta t_{max}} = \frac{\Delta t_{m}}{t^{'}_{1} -t_{2}^{'}} \;\;\;\;\;$ 0 ≤ Θ ≤1 - dimensionslose Temperaturänderungen P der Stoffströme 1 und 2, die auch als Betriebscharakteristiken bezeichnet werden (Formelzeichen P abgeleitet vom englischen Wort „performance“)
$P_1 = \frac{\Delta t_{1}}{\Delta t_{max}} = \frac{t^{'}_{1} - t_{1}^{''}}{t^{'}_{1} - t_{2}^{'}}\;\;\;\;\;$ 0 ≤ P1 ≤ 1
$P_2 = \frac{\Delta t_{2}}{\Delta t_{max}} = \frac{t^{''}_{2} - t_{2}^{'}}{t^{'}_{1} - t_{2}^{'}}\;\;\;\;\;$ 0 ≤ P2 ≤ 1 - dimensionslose Kapazitätsstromverhältnisse R (Formelzeichen R abgeleitet vom englischen Wort „ratio“)
$R_1 = \frac{\dot C_1}{\dot C_2} = \frac{1}{R_2}\;\;\;\;\;$ 0 ≤ R1 ≤ ∞
$R_2 = \frac{\dot C_2}{\dot C_1} = \frac{1}{R_1}\;\;\;\;\;$ 0 ≤ R2 ≤ ∞ - dimensionslose Heizflächen NTU, die oft auch Anzahl der Übertragungseinheiten (number of transfer units) genannt werden
$NTU_1 = \frac{K}{\dot C_1} = \frac{k \cdot A}{\dot m_1 \cdot c_{p,1}}\;\;\;\;\;$ 0 ≤ NTU1 ≤ ∞
$NTU_2 = \frac{K}{\dot C_2} = \frac{k \cdot A}{\dot m_2 \cdot c_{p,2}}\;\;\;\;\;$ 0 ≤ NTU2 ≤ ∞
NTU als der Bezug der Übertragungsfähigkeit K auf einen Kapazitätsstrom $\dot C$ gibt eine spezifische Anzahl dimensionsloser Heizflächen (Anzahl der Übertragungseinheiten) an. Mit größer werdenden Werten für NTU durch Verbesserung der Übertragungsfähigkeit K verringern sich die Temperaturdifferenzen zwischen Heiz- und Kühlmedium. Eine unendlich große Heizfläche (NTU → ∞) sorgt für einen vollständigen Temperaturausgleich. Schon bei NTU = 5 steht am Austritt des Wärmeübertragers weniger als 1% der anfänglichen Temperaturdifferenz als treibender Gradient zur Verfügung. Eine Vergrößerung der Heizfläche zur Steigerung der übertragenen Wärmeleistung sollte nur so lange in Betracht gezogen werden, wie die Betriebscharakteristik P mit wachsenden Werten für NTU bei konstantem Kapazitätsstromverhältnis R noch merklich ansteigt. Werte NTU > 5 sind wirtschaftlich absolut nicht mehr sinnvoll, praktisch arbeitet man für Gegenströmer oft im Bereich von 2 ≤ NTU ≤ 3, bei Gleichströmern noch deutlich darunter (0,9 ≤ NTU ≤ 1,6). NTU → 0 zeigt das Vorliegen einer sehr schlechten Übertragungsfähigkeit K oder eines sehr hohen Kapazitätsstroms an. Die Temperatur des betreffenden Fluids ändert sich dann bei der Durchströmung des Wärmeübertragers praktisch nicht.
Die dimensionslosen Kennzahlen existieren nicht unabhängig voneinander, sondern sind über die Energiebilanz miteinander verknüpft:
Methode
$k \cdot A \cdot \frac{\Delta t_{m}}{\Delta t_{max}} = \dot C_1 \cdot \frac{\Delta t_{1}}{\Delta t_{max}} = \dot C_2 \cdot \frac{\Delta t_{2}}{\Delta t_{max}} \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; K \cdot \Theta = \dot C_1 \cdot P_1 = \dot C_2 \cdot P_2$
Die dimensionslose Form der Energiebilanz lautet also: $NTU_1 \cdot \Theta = P_1 = R_2 \cdot P_2$ und $NTU_2 \cdot \Theta = R_1 \cdot P_1 = P_2$
$\Theta = \frac{P_1}{NTU_1} = \frac{P_2}{NTU_2} $ und $\frac{NTU_1}{NTU_2} = \frac{P_1}{P_2}$
Weitere wichtige Beziehungen ergeben sich aus:
$\frac{\dot C_2}{\dot C_1} = \frac{t^{'}_{1} - t_{1}^{''}}{t^{''}_{2} - t_{2}^{'}} = \frac{P_1}{P_2} = R_2 = \frac{1}{R_1}$ also auch $P_1 = P_2 \cdot R_2$ und $P_2 = P_1 \cdot R_1$
F (Pi, NTUi, Ri) = 0 beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Kennziffern. Diese Gleichung sagt nur aus, dass ein Zusammenhang zwischen diesen Größen existiert und stellt keine konkrete Rechenvorschrift dar. Für ausgewählte Stromführungen ist es aber möglich, aus diesem allgemeinen Zusammenhang spezifische Formeln zu entwickeln. Es kann gezeigt werden, dass die Betriebscharakteristik Pi eine Funktion zweier anderer dimensionsloser Kennzahlen ist: Pi = Pi(NTUi, Ri).
Die Verwendung dimensionsloser Kennzahlen gestattet in Verbindung mit speziellen Diagrammen im Rahmen grafisch erreichbarer Genauigkeiten die vereinfachte Berechnung komplexer Strömungsführungen in Wärme-übertragern. Für ausgewählte Fälle sind entsprechend aufbereitete Diagramme im VDI-Wärmeatlas enthalten. Wir beschränken uns in diesem Kurs ausschließlich auf die Parallelströmer. Obwohl die grafischen Diagrammlösungen auch für den Gleich- und Gegenströmer existieren, verzichten wir darauf und setzen nur auf die mit dem Taschenrechner noch auswertbaren analytischen Lösungen für deren vereinfachte Berechnung.
Die Herleitung der speziellen Funktionen Pi = Pi(NTUi, Ri) aus der zentralen Energiebilanz für die kinetische Kopplung $\dot Q = - \dot C_1 \cdot (t^{''}_{1} - t_{1}^{'}) = \dot C_1 \cdot (t^{'}_{1} - t_{1}^{''}) = \dot C_2 \cdot (t^{''}_{2} - t_{1}^{'}) = K \cdot \Delta t_m$ kannst Du aus der einschlägigen Fachliteratur entnehmen. Wir haben für Dich hier nur in Tabelle 9 ausgewählte Ergebnisse zusammengestellt und geben Dir nur noch einige Hinweise zum Gebrauch der Formeln.
| Stromführung | Pi = Pi(NTUi, Ri) | NTUi = NTUi(Pi,Ri) = | Θ = Θ (P1,P2) = |
| Rekuperator Gleichstrom | $\frac{1}{1 + R_i} \cdot (1 - e^{-NTU_i (1 + R_i)} )$ | $- \frac{ln(1 - P_i (1 + R_i))}{1 + R_i}$ | $- \frac{P_1 + P_2}{ln (1 - (P_1 + P_2))}$ |
| Rekuperator Gegenstrom Ri ≠ 1 | $\frac{1 - e^{-NTU_i (1 + R_i)}}{1 - R_i \cdot e^{-NTU_i (1 + R_i)}}$ | $\frac{ln \Big( \frac{1 - P_i \cdot R_i}{1 - P_i} \Big)}{1 - R_i}$ | $\frac{P_1 + P_2}{ln \Big( \frac{1 - P_2}{1 - P_1} \Big)}$ |
| Rekuperator Gegenstrom R = 1 | $\frac{NTU}{1 + NTU}$ | $\frac{P}{1 - P}$ | $1 - P$ |
| Kondensator R1 → ∞, R2 → 0 | $P_1 = 0$ $P_2 = 1 - e^{- NTU_2}$ | $NTU_2 = -ln(1 - P_2)$ | $- \frac{1 - e^{- NTU_2}}{ln(1-P_2)}$ |
| Verdampfer R1 = 0, R2 → ∞, | $P_1 = 1 - e^{- NTU_1}$ $P_2 = 0$ | $-ln(1-P_1)$ | $- \frac{1 - e^{- NTU_1}}{ln(1-P_1)}$ |
| Rührkessel beidseitig vermischt | $\frac{NTU_i}{NTU_i (1 + R_i) + 1}$ | $\frac{P_i}{1 - P_i(1 + R_i)}$ | |
| Rührkessel einseitig vermischt Index 1 = unvermischter Strom | $\frac{1}{P_1} = R_i + \frac{1}{1 - e^{- NTU_1}}$ | $NTU_1 = - ln \Big(1 - \frac{P_1}{1 - R_i \cdot P_1} \Big)$ |
Für Wärmeübertrager mit einem Kapazitätsstromverhältnis von R = 1, wie es zum Beispiel oft in solar-thermischen Anlagen auftritt, gelten hinsichtlich der in der Tabelle aufgeführten Formeln einige Besonderheiten. Mit den schon behandelten funktionalen Abhängigkeiten zwischen den dimensionslosen Kennzahlen ergibt sich dabei folgende Situation:
R = 1 bedeutet auch $$ woraus folgt: P1 = P2 und ferner gilt dann $$ woraus wiederum folgt NTU1 = NTU2
Daher müssen in den Formeln für R = 1 die dimensionslosen Kennzahlen nicht indiziert werden, für Heiz- und Kühlmedium weisen die dimensionslosen Kennzahlen gleiche Werte auf.
- Gleichstrom:
Verfügen Gleichstrom-Rekuperatoren über eine hohe Zahl von Übertragungseinheiten (im Grenzfall NTUi → ∞) ist am Ausgang nur noch die halbe Temperaturdifferenz zwischen heißem und kaltem Stoffstrom vom Eintritt in den Wärmeübertrager vorhanden (P = 0,5). Danach kann keine Wärme mehr übertragen werden. Für die Übertragungsfähigkeit im Gleichstrom existieren also Grenzen, die aus der Gleichung für die dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz Θ abgeleitet werden können. Das im Nenner stehende Argument für den Logarithmus naturalis (1 – (P1 + P2)) muss stets positiv sein 1 – (P1 + P2) > 0. Daraus folgt 1 > (P1 + P2) und mit P1 = P2 · R2 oder P2 = P1 · R1 kann geschrieben werden 1 > P1 (1 + R1) bzw. 1 > P2 · (1+ R2), woraus schließlich abzuleiten ist
$P_i \lt \frac{1}{1 + R_i}$
Besonderheiten R = 1
Die Gleichung für die Betriebscharakteristik Pi vereinfacht zu
$P = \frac12 (1 - e^{-NTU \cdot 2}$ - Gegenstrom:
Besonderheiten R = 1
Für R = 1 und damit NTU1 = NTU2 sowie P1 = P2 entstehen in der Gleichung für die Betriebscharakteristik und in der Gleichung für NTU unbestimmte Ausdrücke der Form „null durch null“. Nach Anwendung der Regel von Bernoulli de l´Hospital gewinnt man dafür aus:- für die Betriebscharakteristik:
$P = \lim \limits_{R \to 1} \frac{1 - e^{-NTU \cdot(1-R)}}{1 - R \cdot e^{-NTU \cdot(1-R)}} = \lim \limits_{R \to 1} \frac{NTU \cdot e^{-NTU \cdot(1-R)}}{1 \cdot e^{-NTU \cdot(1-R)} + R \cdot NTU \cdot e^{-NTU \cdot(1-R)}} = \frac{NTU}{1 + NTU}$
Man achte bei der Ableitung im Nenner auf die Anwendung der Produktregel! - für die Anzahl der Übertragungseinheiten:
$NTU = \lim \limits_{R \to 1} \frac{ln \Big( \frac{1 - P \cdot R}{1 - P} \Big)}{1 - R} = \lim \limits_{R \to 1} \frac{\frac{1 - P}{1 - P \cdot R} \cdot \Big( \frac{-P}{1 - P} \Big)}{-1} = \frac{P}{1 - P}$ - für die dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz
$\Theta = \frac{P_1 - P_2}{ln \Big( \frac{1 - P_2}{1 - P_1} \Big)} = \frac{P_1 - P_1 \cdot R_1}{ln \Big( \frac{1 - P_1 \cdot R_1}{1 - P_1} \Big)}$
$\Theta = \lim \limits_{R \to 1} \frac{P - P \cdot R}{ln \Big( \frac{1 - P \cdot R}{1 - P} \Big)} = \lim \limits_{R \to 1} \frac{- P}{\frac{1 - P}{1 - P \cdot R} \Big( \frac{- P}{1 - P} \Big) } = 1 - P$
- für die Betriebscharakteristik:
- Rekuperatoren mit Phasenübergang eines Fluids (Kondensator, Verdampfer)
Für den Kondensator wird wegen Δt1 = 0 auch die Betriebcharakteristik P1 = 0. Das Kapazitätsstromverhältnis R2 strebt gegen null. Es ist völlig egal, ob man diese Parameter in die Berechnungsformeln für die Gleichstrom- oder die Gegenstrom-Rekuperatoren einsetzt, es ergeben sich immer die in der Tabelle für den Kondensator angegebenen Formeln. Analoges gilt für den Verdampfer mit der Betriebscharakteristik P2 = 0 wegen Δt2 = 0. - Wärmeübertragung im Rührwerk
Bei Rührkesseln mit kontinuierlichen und ideal vermischten Massenströmen im stationären Betrieb liegt im Behälter eine gleichmäßige Temperatur vor, mit der die betreffenden Medien auch aus dem Behälter austreten. Der Flüssigkeitsvolumen im Reaktor VR hängt von der Verweilzeit τV ab. Für ein fest vorgegebenes K kann über die dimensionslose Kennzahl NTU die Verweilzeit τV bestimmt werden.
$NTU = \frac{K}{\dot m \cdot c_p} = \frac{K}{m \cdot c_p} \cdot \tau_V \;\;\;\;\; V_R = \frac{\dot m}{\rho} \cdot \tau_V = \frac{\dot m}{\rho} \cdot \frac{NTU}{K} \cdot m \cdot c_p$Für den stationär betriebenen einseitig ideal vermischten Rührkessel wird in Übereinstimmung mit der rechten Bildhälfte in Abb.12 der Index 1 immer für den unvermischten Strom vergeben, unabhängig davon, ob der unvermischte Strom Heiz- oder Kühlmittel ist. Für die Temperatur des vermischten Stroms im Behälter gilt immer t2 = t2".
Abb.12
