Für isotrope Materialien, deren Eigenschaften nicht von den Koordinatenrichtungen abhängen, stellt die Wärmeleitfähigkeit λ einen Skalar dar und hängt damit vom Ort, aber an einem festen Ort nicht von der Richtung ab. Isotropes Materialverhalten kann aber nicht immer uneingeschränkt vorausgesetzt werden. Holz leitet zum Beispiel die Wärme in Faserrichtung wesentlich besser als quer dazu. Anisotropie tritt ebenfalls bei Kristallen sowie bei geschichteten Stoffen (Sperrholz oder Blechpakete) auf. In den anisotropen Fällen ist die Wärmeleitfähigkeit ein Tensor. Hier verläuft der Temperaturgradient nicht parallel zu den Materialachsen und die Richtung des Wärmestroms weicht von der des Temperaturgradienten ab. In solchen Fällen hängt die Wärmestromdichte in einer Koordinatenachse nicht mehr nur von einem einzigen Temperaturgradienten ab, sondern von denen aller drei Koordinatenrichtungen!
Methode
$\begin{align} \vec{\dot q} = - \lambda \cdot grad \, t \rightarrow \vec{\dot q} & = - \begin{pmatrix} \lambda_{xx} & \lambda_{xy} & \lambda_{xz} \\ \lambda_{yx} & \lambda_{yy} & \lambda_{yz} \\ \lambda_{zx} & \lambda_{zy} & \lambda_{zz} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial t}{\partial x} \\ \frac{\partial t}{\partial y} \\ \frac{\partial t}{\partial z} \end{pmatrix}
\\ & = \begin{pmatrix} \lambda_{xx} \cdot \frac{\partial t}{\partial x} & \lambda_{xy} \cdot \frac{\partial t}{\partial y}& \lambda_{xz} \cdot \frac{\partial t}{\partial z}\\ \lambda_{yx} \cdot \frac{\partial t}{\partial x} & \lambda_{yy} \cdot \frac{\partial t}{\partial y} & \lambda_{yz} \cdot \frac{\partial t}{\partial z}\\ \lambda_{zx} \cdot \frac{\partial t}{\partial x} & \lambda_{zy} \cdot \frac{\partial t}{\partial y} & \lambda_{zz} \cdot \frac{\partial t}{\partial z} \end{pmatrix} \end{align} $
Ein häufig in der Literatur zitiertes Beispiel für die Darstellung der Wärmeleitfähigkeit bei anisotropen Material-verhalten ist die Wärmeleitfähigkeit von trockenem Kiefernholz mit einer Dichte von 450 $\frac{kg}{m^3}$, die in Holzfaserrichtung 0,26 $\frac{W}{m \; K}$ beträgt und senkrecht dazu 0,11 $\frac{W}{m \; K}$. Wählt man als x-Achse die Faserrichtung und die y- sowie z-Achse senkrecht dazu, lässt sich die Wärmeleitfähigkeit als Tensor zweiter Stufe in folgender 3,3-Matrix darstellen:
$\lambda = \begin{pmatrix} 0,26 & 0 & 0 \\ 0 & 0,11 & 0 \\ 0 & 0 & 0,11 \end{pmatrix} \frac{W}{m \; K} $
