Beispiel
Der Wolframfaden einer Glühlampe besitze einen Durchmesser von 0,02 mm und sei 55 cm lang. Über seinen elektrischen Widerstand werde er auf 3000 °C erhitzt. Welcher Energiestrom in Watt wird jeweils emittiert, wenn man für die Emission näherungsweise das Modell schwarzer Strahler verwendet oder die Emission als graue Strahlung mit einem Emissionsverhältnis von 0,45 betrachtet?
Gegeben:
| Wolframwendel: | d = 0,02 mm = 2·10–5 m | l = 0,55 m | ε = 0,45 |
| Körpertemperatur: | t = 3000 °C | T = 3273,15 K |
Lösung:
Strahlende Fläche = Mantelfläche des Wolframfadens $A_O = \pi \cdot d \cdot l = \pi \cdot 2 \cdot 10^{-5}m \cdot 0,55m = 3,455751919 \cdot 10^{-5}m^2$
Schwarzer Strahler:
$\begin{align} \dot e_S & = C_S \cdot \Big( \frac{T}{100} \Big)^4
\\ & = 5,67 \frac{W}{m^2 \, K^4} \cdot 32,7315^4 K^4 = 6.508.446,351 \frac{W}{m^2}
\\
\\ \dot E_S & = \dot e_S \cdot A_O
\\ & = 6.508.446,351 \frac{W}{m^2} \cdot 3,455751919 \cdot 10^{-5}m^2 = 224,92 W \end{align}$
Grauer Strahler:
$\begin{align} \dot e_S & = \epsilon \cdot C_S \cdot \Big( \frac{T}{100} \Big)^4
\\ & = 0,45 \cdot 5,67 \frac{W}{m^2 \, K^4} \cdot 32,7315^4 K^4 = 2.928.800,858 \frac{W}{m^2}
\\
\\ \dot E_S & = \dot e_S \cdot A_O
\\ & = 2.928.800,858 \frac{W}{m^2} \cdot 3,455751919 \cdot 10^{-5}m^2 = 101,21 W \end{align}$
Das Modell schwarzer Strahler überschätzt die von der Glühlampe aufgenommene elektrischer Leistung zur Lichterzeugung, die für den grauen Strahler liefert hingegen einen realistischen Wert. Allerdings liefert die dort errechnete Strahlungsleistung nur zu einem sehr geringen Teil Licht, der Löwenanteil der Strahlungsemission liegt im Bereich der nicht sichtbaren Infrarotstrahlung. Den Anteil der Strahlungsemission für das sichtbare Licht ALicht könnte man mit den beiden Planck´schen Strahlungskonstanten c1 und c2 berechnen aus:
$A_{\text{Licht}} = \large{\frac{\epsilon \cdot \int \limits^{0,78 \mu m}_{0,38 \mu m} \frac{c_1}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{c_2}{\lambda \cdot T}}} d \lambda}{\dot e}}$
Die numerische Auswertung des Integrals ist aber nicht einfach, mit der SOLVE-Funktion des Taschenrechners aber bei Bedarf verfügbar. Für dieses Beispiel würden wir hier rechnerisch ca. 7,64 % erhalten. Die tatsächliche Helligkeitsausbeute von Glühlampen liegt häufig unter 5 %.
