Beispiel
Ein Raum habe eine Länge von 4,5m, eine Breite von 5m sowie eine Höhe von 3,5m und sei vollständig mit Fliesen ausgelegt. Für die Fliesen, die eine einheitliche Temperatur von 18°C aufweisen, wurde ein Strahlungskoeffizient von 2,79 $\frac{W}{(m^2 \, K^4)}$ ermittelt. Die Lufttemperatur im Raum werde durch Heizen auf den konstanten Wert von 24°C gehalten. In der Mitte dieses Raumes befinde sich ein mit Heizkörperfarbe gestrichener Heizkörper, der eine Oberfläche von 3,25m2 mit einer konstanten Oberflächentemperatur von 140°C aufweise. Der Wärmeübergangskoeffizient für die freie Konvektion am Heizkörper betrage 7,5 $\frac{W}{(m^2 \, K)}$, der Strahlungskoeffizient für die diffus strahlende Heizkörperoberfläche sei mit 4,65 $\frac{W}{(m^2 \, K^4)}$ gegeben.
- Welcher Wärmestrom in kW wird durch freie Konvektion an die Luft im Raum übertragen?
- Welchen Wert besitzt das Emissionsverhältnis der Heizkörperoberfläche)
- Ermitteln Sie den durch Strahlung vom Heizkörper abgegebenen Wärmestrom in kW!
- Welche der folgenden Aussagen ist in Bezug auf die Messung der Raumtemperatur mit einem frei hängenden Thermometer richtig? (Begründung!)
A: Das Thermometer zeigt die Temperatur der Raumluft exakt an.
B: Das Thermometer zeigt die Temperatur der Raumluft zu niedrig an.
C: Das Thermometer zeigt die Temperatur der Raumluft zu hoch an.
Gegeben:
| Freie Konvektion: | α = 7,5 $\frac{W}{(m^2 \, K)}$ | tR = 24 °C | ||
| A = 3,25 m2 | tH = 140 °C | |||
| Strahlung: | ||||
| Heizkörper | Index 1: | C1 = ε1 · CS = 4,65 $\frac{W}{(m^2 \, K^4)}$ | T1 = 413,15 K | A1 = 3,25 m2 |
| Raum | Index 2: | C2 = ε2 · CS = 2,79 $\frac{W}{(m^2 \, K^4)}$ | T2 = 291,15 K | A2 Quader |
| (tW = 18°C) | (L= 4,5m, B= 5,0m, H= 3,5m) |
Lösung:
- übertragener Wärmestrom durch freie Konvektion
$\dot Q_{H,K} = \alpha \cdot A_1 \cdot (t_H - t_R) = 7,5 \frac{W}{(m^2 \, K)} \cdot 3,25 m^2 \cdot (140 °C - t24 °C) = 2,8275 kW$ - Emissionsverhältnis der Heizkörperoberfläche
$\epsilon_1 = \frac{C_1}{C_S} = \large{\frac{4,65 \frac{W}{(m^2 \, K^4)}}{2,79 \frac{W}{(m^2 \, K^4)}}} = 0,82$(entspricht den veröffentlichten Werten für einfache Heizkörperfarbe) - übertragener Wärmestrom durch Strahlung
Wandfläche: $A_2 = 2 \cdot (L \cdot H + B \cdot H + L \cdot B) = (4,5m \cdot 3,5m + 5,0m \cdot 3,5m + 4,5m \cdot 5,0m) = 111,5m^2$
Strahlungsaustauschkonstante C12 (Modell Hohlraum konzentrischer Kugeln) aus den gegebenen Strahlungskonstanten C1 und C2 als Näherungslösung für geringfügig abweichende Geometrien:
$C_{12} = \large{\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{A_1}{A_2}(\frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_S})} = \frac{1}{\frac{1}{4,65 \frac{W}{(m^2 \, K^4)}}+\frac{3,25 m^2}{111,5m^2}(\frac{1}{2,79 \frac{W}{(m^2 \, K^4)}} - \frac{1}{5,67 \frac{W}{(m^2 \, K^4)}})}} = 4,538 \frac{W}{(m^2 \, K^4)}$
Wenn man ferner vereinfachend annimmt $\frac{A1}{A2}$ → 0, würde man erhalten: C12 = C1 = 4,65 $\frac{W}{(m^2 \, K^4)}$. Dies ist im Hinblick auf die Unsicherheiten für die Höhe bei den Strahlungskonstanten noch akzeptabel!
Vom Heizkörper abgestrahlter Wärmestrom:
$\begin{align} \dot Q_{12} & = \dot q_{12} \cdot A_1 \\ & = C_{12} \cdot \Bigg[ \Big( \frac{T_1}{100} \Big)^4 - \Big( \frac{T_2}{100} \Big)^4 \Bigg] \cdot A_1 \\ & = 4,538 \frac{W}{(m^2 \, K^4)} \cdot \Bigg[ \Big( \frac{413,15K}{100} \Big)^4 - \Big( \frac{291,15K}{100} \Big)^4 \Bigg] \cdot 3,25 m^2 \\ & ≈ 3,132kW \end{align}$ - Raumtemperaturmessung mit frei hängenden Thermometer
Die Temperatur der Luft im Raum wird durch das Thermometer zu niedrig angezeigt, weil noch eine Abstrahlung an die kälteren Raumwände erfolgt. Deshalb ist es wichtig die Thermometerperle noch mit einer dünnen Metallumhüllung als Strahlungsschutzschirm auszustatten. Dieser Strahlungsschutzschirm vermindert die maßgebliche Abstrahlung an der Thermometerperle so stark, dass die tatsächliche Lufttemperatur im Raum weitgehend richtig angezeigt wird. Der Strahlenschutzschirm für das Thermometer verhindert auch eine unerwünschte Zustrahlung von den Wänden, wenn diese wärmer als die Raumluft sind.
