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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmeempfinden menschlicher Haut bei grauer Strahlung

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeempfinden menschlicher Haut bei grauer Strahlung

Beispiel

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Eine flach geöffnete Hand (modelliert als Kreisscheibe mit 12 cm Durchmesser) befinde sich in

  1. 10 cm und 
  2. 25 cm

Abstand über einer Herdplatte mit 20 cm Durchmesser und einer Temperatur von 500 °C. Das Emissionsverhältnis der keramischen Herdplatte betrage 0,9.

Welche Wärmeleistung in Watt empfängt die Hand von der Herdplatte und welches Wärmeempfinden stellt sich ein?

Gegeben:

Herdplatte:T1 = 773,15 Kε1 = 0,9 (keramische Herdplatte = graue Strahlung)
Geometrie:r1 = 0,1 mr2 = 0,06 m(a) h = 0,1 m(b) h = 0,25 m

Lösung:

Die Höhe des ausgetauschten Wärmestroms zwischen der Herdplatte (Index 1) und der Handoberfläche (Index 2) kann mit dem Stefan-Boltzmann´schen Gesetz unter Berücksichtigung der entsprechenden Sichtfaktoren (siehe Abb.20, rechts) berechnet werden.

  1. Schritt: Bestimmung der Flächengrößen A1 und A2 sowie des Sichtfaktors F12
    $A_1 = \pi \cdot r_1^2 = \pi \cdot 0,1^2m = 0,0314159m^2 \;\;\;\;\; A_2 = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot 0,06^2m = 0,011309733m^2 $

    1. $x = \frac{r_1}{h} = \frac{0,1 m}{0,1 m} = 1\,\;\;$ $y = \frac{r_2}{h} = \frac{0,06 m}{0,1 m} = 0,6 \,\;\;$ $z = 1 + \frac{1 + y^2}{x^2} = 1 + \frac{1 + 0,6^2}{1^2} = 2,36$

      $\begin{align} F_{12} & = \frac{1}{2} \cdot \Bigg[ z - \sqrt{z^2 - 4\Big( \frac{y}{x}\Big)^2} \Bigg] \\ & = \frac{1}{2} \cdot \Bigg[ 2,36 - \sqrt{2,36^2 - 4\Big( \frac{0,6}{1}\Big)^2} \Bigg] \\ &= \frac{1}{2} \cdot \Bigg[ 2,36 - \sqrt{5,5696 - 4\cdot 0,36} \Bigg] \\& = 0,1639291 \end{align} $

    2. $x = \frac{r_1}{h} = \frac{0,1 m}{0,25 m} = 0,4 \,\;\;$ $y = \frac{r_2}{h} = \frac{0,06 m}{0,25 m} = 0,24 \,\;\;$ $z = 1 + \frac{1 + y^2}{x^2} = 1 + \frac{1 + 0,24^2}{0,4^2} = 7,61$

      $\begin{align} F_{12} & = \frac{1}{2} \cdot \Bigg[ z - \sqrt{z^2 - 4\Big( \frac{y}{x}\Big)^2} \Bigg] \\ & = \frac{1}{2} \cdot \Bigg[ 7,61 - \sqrt{7,61^2 - 4\Big( \frac{0,24}{0,4}\Big)^2} \Bigg] \\ &= \frac{1}{2} \cdot \Bigg[ 7,61 - \sqrt{57,9121 - 4\cdot 0,36} \Bigg] \\& = 0,04760396\end{align} $

  2. Schritt: Berechnung von $\dot Q_1$


    1. $\begin{align} \dot Q_1 & = F_{12} \cdot A_1 \dcot \epsilon_1 \cdot C_S \cdot \Big( \frac{T_1}{100} \Big)^4 \\ & = 0,1639291 \cdot 0,0314159m^2 \dcot 0,9 \cdot 5,67 \frac{W}{m^2 \, K^4} \cdot \Big( \frac{773,15K}{100} \Big)^4 \\ & ≈ 93,9W \end{align}$


    2. $\begin{align} \dot Q_1 & = F_{12} \cdot A_1 \dcot \epsilon_1 \cdot C_S \cdot \Big( \frac{T_1}{100} \Big)^4 \\ & = 0,04760396 \cdot 0,0314159m^2 \dcot 0,9 \cdot 5,67 \frac{W}{m^2 \, K^4} \cdot \Big( \frac{773,15K}{100} \Big)^4 \\ & ≈ 27,27W \end{align}$


  3. Schritt: Interpretation Wärmeempfinden

    1. $\dot q_1 = \farc{\dot Q_1}{A_1} = \farc{93,9W}{0,0314159m^2} ≈ 2.989 \farc{W}{m^2} $

    2. $\dot q_1 = \farc{\dot Q_1}{A_1} = \farc{27,27W}{0,0314159m^2} ≈ 868 \farc{W}{m^2} $

    Wärmestrahlung wird ab 40 $\frac{W}{m^2}$ wahrgenommen, die Schmerzgrenze liegt wie im einleitenden Abschnitt schon erwähnt je nach Hauttyp bei 2.000 bis 2.500 $\frac{W}{m^2}$. Die Intensität der Abstrahlung von der heißen Herdplatte liegt bei 10 cm Abstand zur Handfläche deutlich über dem Schmerzempfinden der menschlichen Haut! Bei 25 cm Abstand von der heißen Herdplatte nimmt man den abgestrahlten Wärmestrom sehr deutlich wahr, kann das aber noch gut aushalten!