Strahlungsenergiebilanz und schwarze Strahlung

 Sieh dir dazu auch den kurzen Einstieg ins Gebiet der Schwarzen Körper an:

Alle festen, flüssige oder gasförmige Körper emittieren und absorbieren bei Temperaturen oberhalb von null Kelvin (T > 0) Energie als Wärmestrahlung. Physikalisch betrachtet man die Wärmestrahlung als einen im Wellenlängenspektrum 0,1 µm < λ < 1.000 µm gegebenen elektromagnetischen Schwingungsvorgang. Die phänomenologische Sicht darauf unterstellt, dass Emission und Absorption von Strahlung ausschließlich an Körperoberflächen stattfinden. Tatsächlich beruhen sowohl Emission als auch Absorption auf Vorgängen, die sich auf interatomarer Ebene im Körper abspielen und nicht an seiner Oberfläche, wenngleich für die Absorption Materialstärken von wenigen µm ausreichen können. Die in der Realität auftretenden Gesetzmäßigkeiten muss der Ingenieur nicht zwingend beherrschen, weil im Maschinenbau nur das Verhalten der Strahlung beim Verlassen oder Eindringen in den Körper interessiert. Die durch Strahlung emittierten Energieströme hängen lediglich von der Temperatur des strahlenden Körpers sowie von der Größe und Beschaffenheit seiner Oberfläche ab. Die Umgebung des Körpers nimmt keinen Einfluss auf die Tatsache, dass emittiert wird und in welcher Höhe. So sendet ein Körper kontinuierlich Strahlung aus, selbst wenn er sich mit seiner Umgebung im Temperaturgleichgewicht befindet.

Elektromagnetische Strahlung entsteht immer beim Beschleunigen elektrischer Ladungen. Die entsprechenden elektromagnetischen Schwingungen charakterisieren wir durch ihre Wellenlänge und in dem Wellenlängen-spektrum des sichtbaren Lichts (0,38 µm < λ < 0,78 µm) parallel dazu auch durch die vom menschlichen Auge wahrgenommenen Farben. Feste (und flüssige) Körper strahlen mit einem sehr breiten Spektrum elektromagnetischer Wellen. Die zugehörigen elektromagnetischen Schwingungen folgen allesamt den Gesetzen der transversalen Wellen, die senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung oszillieren und sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen. Umfasst werden dabei:

• die energiereiche kosmische Höhenstrahlung mit 10^–9 µm < λ < 10^–7 µm
• die bei nuklearen Reaktionen frei werdende Gammastrahlung mit 10^–7 µm < λ < 10^–5 µm
• die Röntgenstrahlung (beschleunigte Elektronen treffen auf Metalle) mit 10^–5 µm < λ < 10^–2 µm
• die thermisch angeregte Wärmestrahlung mit 10^–2 µm < λ < 10⁺³ µm
• Mikrowellen und Radar mit 10⁺³ µm < λ < 10⁺⁶ µm
• Hertz´sche Wellen (Radio, Fernsehen) mit 10⁺⁶ µm < λ < 10⁺¹⁰ µm

Die angegebene, grobe Unterteilung nach Wellenlänge mit Überlappungen in Übergangsbereichen orientiert sich an der Herkunft der Strahlung, an der Wahrnehmung unserer Augen sowie an den technischen Anwendungen.

Der Wellenlängenbereich der Wärmestrahlung ist im Hinblick auf bestimmte Fragestellungen noch einmal feiner unterteilt und reicht von ultravioletter Strahlung (UV-Strahlung) bis zur Infrarotstrahlung (IR-Strahlung).

Tabelle 10 zeigt die enge Verwandtschaft zwischen den einzelnen Wellenlängenbereichen der Wärmestrahlung. Deshalb unterstellt man, dass die für den Teilbereich sichtbares Licht bekannten Gesetze der Optik auch für die übrigen Teilbereiche Gültigkeit besitzen. Genau wie bei dem für menschliche Augen gut wahrnehmbaren Licht (optische Strahlung) treten also im gesamten übrigen Spektrum der Wärmestrahlung Spiegelung und Reflexion sowie geradlinige Fortpflanzung der Wellen auf. Das hilft bei der Veranschaulichung vieler Vorgänge bei der ansonsten nicht sichtbaren Wärmestrahlung. Das für Menschen wahrnehmbare Licht selbstleuchtender Körper geht zumeist auf seine (entsprechend hohe) Temperatur zurück, zum Beispiel bei der Sonne mit etwa 5800K Oberflächentemperatur. Die von der Sonne emittierte Strahlung liegt im Bereich zwischen 280nm und 3000nm (also ultraviolette bis infrarote Strahlung). Körper bei Raumtemperatur emittieren unsichtbare infrarote Strahlung, erst bei Temperaturen von über 1000°C geben feste Körper bei der Emission von Wärmestrahlung auch Anteile sichtbarer Strahlung ab. Der Wolframfaden in einer Glühbirne muss zur „Lichterzeugung“ zum Beispiel auf mehr als 3000°C aufgeheizt werden.

Bezeichnet $\dot E$ die von einem Oberflächenelement dA in den darüberliegenden Halbraum abgestrahlte Strahlungs-leistung, dann wird die von der thermodynamischen Temperatur abhängige Energiestromdichte $\dot e $ durch folgende Gleichung definiert:

Das Formelzeichen $\dot E$ anstelle von $\dot Q$ bringt zum Ausdruck, dass es hier ausschließlich um emittierte Energie in Form von elektromagnetischen Schwingungen geht, $\dot Q$ kann einen konvektiv übertragenen und/oder einen reflektierten Energiestrom einschließen.

Die emittierte Energiestromdichte wird auch Strahlungsintensität genannt und ist eine richtungsabhängige Größe und umfasst den gesamten Wellenlängenbereich der Wärmestrahlung sowie alle Richtungen des darüber aufgespannten Halbraums. Eine solche Strahlung nennt man hemisphärische Strahlung im Unterschied zu einer gerichteten Strahlung beim Strahlungsaustausch zwischen zwei strahlenden Flächen.

Jeder Punkt auf dem Flächenelement dA kann jeweils unterschiedlich hohe Energieströme emittieren, die gleich-zeitig auch in alle Richtungen verschieden hoch sein können. Daraus sind zwei Dinge zu schlussfolgern:

1. Geht man von einem endlichen, in Watt gemessenen Wert für die von dA ausgesendete Strahlungsleistung $\dot E$ aus, müsste auf einen einzelnen Punkt dieser Fläche ein Energiestrom von null Watt entfallen, weil es unendlich viele Punkte auf diesem Flächenelement gibt. Man kann also nicht den von einem Punkt des Flächenelements ausgehenden Energiestrom angeben, sondern betrachtet einen Energiestrom, der auf das Flächenelement bezogen wird, in dem der betreffende Punkt liegt. Dies ist die definierte Energiestromdichte $\dot e = \frac{d \dot E}{dA}$ gemessen in $\frac{W}{m^2}$.
2. Ebenso wenig kann man aussagen, welcher Energiestrom in eine konkrete Richtung ausgesendet wird, denn auch hier verteilt sich der endliche Wert auf unendlich viele denkbare Richtungen. Für jede einzeln ausgezeichnete Richtung würde sich wieder der Wert null Watt ergeben. Deshalb ist hier der Energiestrom $\dot E$ auf den zu der gewünschten Richtung gehörigen Raumwinkel Ω zu beziehen. Mit dem Raumwinkel wird in den Ingenieurwissenschaften selten gearbeitet. Deshalb ist es sinnvoll, sich mit dem Sachverhalt hier noch einmal kurz anhand Abbildung 13 vertraut zu machen:

Merke

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Abb.13 Strahlungsfluss $d \dot E$ über ein Raumwinkelelement d? in die von Polarwinkel ? und Azimutwinkel ? festgelegte Richtung.

Der in Radiant (rad) gemessene Winkel ω (Bogenmaß) entspricht im Einheitskreis mit dem Radius r = 1 der Bogenlänge b auf der Kreisumfangslinie des zugehörigen Kreissektors ω = b. Für einen Kreis mit einem beliebigen Radius r gilt $\omega \cdot r = b$ oder $\omega = \frac{b}{r}$. Diesem Vorgehen folgt auch die Definition des Raumwinkels Ω. Bei einer Kugel mit dem Radius r =1 entspricht der Raumwinkel Ω für eine vorgegebene Richtung der zugeordneten Fläche A auf der Kugeloberfläche. Für Kugeln mit beliebigem Radius r gilt $\Omega \cdot r^2$ oder $\Omega = \frac{A}{r^2}$. Die Maßeinheit des Raumwinkels Ω ist Steradiant (sr). Das Flächenstück dA_n auf der Kugeloberfläche errechnet sich nach Abbildung 12 aus $dA_n = (r \cdot sin \psi \cdot d \psi ) \cdot (r \cdot d \varphi))$.

Der maximale Raumwinkel ist die Kugeloberfläche $4 \cdot \pi \cdot r^2$ . Für eine Kugel mit r =1 gilt wegen 0 ≤ Ω ≤ 4·π für den maximalen Raumwinkel Ω_max ≈ 12,556 sr.

Die Maßeinheiten Radiant für das Bogenmaß und Steradiant für den Raumwinkel werden beim Einsetzen der betreffenden Größen in Größengleichungen meist nicht mit aufgeführt, obwohl die Angabe von sr helfen würde, physikalische Größen mit Bezug auf den Raumwinkel zu erkennen. Korrekterweise müsste die Maßeinheit für die Strahlungsleistung $\dot E$ angegeben werden mit $[\dot E] = 1 \frac{W}{sr}$

Der von einem strahlenden Flächenelement dA ausgehende Energiestrom $d \dot E$ im darüber liegenden Halbraum verteilt sich auf alle Richtungen. Für bestimmte strahlende Flächen (schwarz strahlende Flächen und Flächen mit rauer, diffus strahlender Oberfläche) tritt ein Höchstwert des Energiestroms $\dot E$ in Richtung der Flächennormalen (Index n) auf. Der in den Halbraum mit dem Radius r vom Flächenelement in Mittelpunktslage dA abgestrahlte Energiestrom $d \dot E $ kann bestimmt werden durch den Ansatz

$d^2 \dot E = \dot e_n \cdot cos \psi \, dA \, d \Omega$

Die Integration über ein Doppelintegral liefert dann die einfache Beziehung:

Zur Formulierung der Energiebilanzen für die Wärmestrahlung betrachten wir ein thermodynamisches System, das aus einem strahlungsaktiven Körper besteht, der im Strahlungsaustausch mit anderen Körpern und im thermischen Kontakt mit seiner Umgebung steht. Über die Systemgrenze kann ein durch Temperaturdifferenzen zwischen Köper- und Umgebungstemperatur ausgelöster Wärmestrom $\dot Q$ treten, zum Beispiel durch einen konvektiven Wärmeübergang. Darüber hinaus steht der Körper mit anderen Körpern im Strahlungsenergieaustausch. Er emittiert nach Maßgabe seiner Temperatur T_K als Sender (Strahler) die Strahlungsleistung $\dot E$ und erhält von anderen Körpern als Empfänger die einfallende Strahlungsleistung $\dot F$, die an der Körperoberfläche zum Teil reflektiert ($\dot R$), zum Teil absorbiert ($\dot A$) und zum Teil durchgelassen ($\dot D$) werden kann. Für „durchgelassen“ wird ebenfalls der Begriff „transmittiert“ verwendet.

Zum Verständnis der Energiebilanzen strahlender Körper muss man sehr genau auf Begriffe und sprachliche Feinheiten achten. Scheinbar drücken Begriffe wie emittierter Energiestrom und ausgesendeter Energiestrom sprachlich dasselbe aus. Tatsächlich beschreiben diese beiden Begriffe physikalisch unterschiedliche Sachverhalte, dem auch durch unterschiedliche Formelzeichen Rechnung getragen wird. Der von einem Körper ausgesendete Strahlungsenergiestrom $\dot S$ umfasst:

• den von ihm selbst gemäß seiner Temperatur T emittierten Energiestrom $\dot E$,
• den reflektierten Anteil einfallender Strahlung von anderen Körpern $\dot R$ und
• dem durchgelassenen Anteil einfallender fremder Strahlung $\dot D$.

Geht man von der Gültigkeit der Gesetzmäßigkeiten der Optik für das gesamte Wellenlängenspektrum der Wärmestrahlung aus, wäre die ausgesendete Strahlungsleistung $\dot S$ als Flächenhelligkeit zu interpretieren.

Unter emittierter Strahlungsleistung $\dot E$ verstehen wir hingegen nur die ausgesendete Strahlungsleistung, die durch die thermische Anregung im Körper selbst entsteht.

Mit Formeln ausgedrückt kann man für die Energiebilanz relevanten Größen an der Körperoberfläche so zusammenfassen:

Aus der stationären Energiebilanz für einen Körper mit konstanter Gleichgewichtstemperatur T_K kann auch die Bedingung für das sogenannte Strahlungsgleichgewicht abgeleitet werden:

Die Gleichung für die den Körper als Empfänger treffende Strahlung kann auch dimensionslos formuliert werden:

Die von einem Körper (Strahler, Sender) ausgesendeten elektromagnetischen Schwingungen werden in Abhängigkeit von ihrer Wellenlänge λ beim Auftreffen auf einen anderen Körper (Empfänger) zum einen Teil reflektiert und treten zum anderen Teil in diesen ein. Bei der eingedrungenen Strahlung ist der absorbierte vom durchgelassenen (transmittierten) Anteil zu unterscheiden. Die absorbierte Strahlung wird im Körper in innere Energie umgewandelt. Unter „ausgesendete Strahlung“ wird im Unterschied zur „emittierten Strahlung“ neben dem durch thermische Anregung bei Temperaturen oberhalb null Kelvin entstehenden emittierten Energiestrom noch der Anteil der von fremden Körpern eingefallenen Strahlung, der durchgelassen und an der Oberfläche reflektiert wird, verstanden.

Bezüglich der aus dem Gesamtspektrum aller Wellenlängen folgenden Eigenschaften heißen Körper:

• idealer Reflektor („weiße“ Fläche bei vollständig diffuser Reflexion): r = 1
• diathermanes Medium (optische Entsprechung: vollständig lichtdurchlässig): d = 1
• opakes Medium (optische Entsprechung: lichtundurchlässig): d = 0
• „schwarzer“ Körper (vollständige Absorption aller Wellenlängen): a = 1

Diese Körper kommen in der Natur nicht vor, sind aber für Modellbildungen wichtige theoretische Grenzfälle.

Bei der Reflexion ist die reguläre von der diffusen Reflexion zu unterscheiden. Bedingung für die reguläre, dem einfachen Reflexionsgesetz der Optik gehorchende Reflexion, ist eine glatte Körperoberfläche, deren Unebenheiten klein gegenüber der Wellenlänge der auftreffenden Strahlen sind. Werden dabei alle einfallenden Strahlen bezogen auf die Flächennormale unter gleichem Winkel reflektiert, heißt die Oberfläche spiegelnd. Diffuse Reflexion erfolgt an matten Oberflächen, an denen auftreffende Strahlen in alle Richtungen des Halbraumes gleichmäßig reflektiert werden, so dass die Oberfläche als weiße Fläche erscheint.

Ist die Schichtdicke des Körpers deutlich kleiner als die für die Absorption erforderliche Materialstärke, geht der größte Teil der Strahlung durch den Körper hindurch und tritt seiner Natur nach unverändert aus ihm aus. Der Absorptionsgrad der nicht reflektierten Strahlung ist in hohem Maße von den Eigenschaften des betreffenden Stoffes abhängig. Zum Beispiel reflektiert ein hochglänzendes Metall alle einfallende Strahlung bis auf einen kleinen Teil, aber die in den Körper eingedrungene Strahlung wird schon in sehr kleiner Eindringtiefe (1 bis 2 μm) vollständig absorbiert und in innere Energie umgewandelt. So hat blank poliertes Metall eine sehr starke Absorptionsfähigkeit, obwohl es ein schlechter Absorber ist, da der größte Teil der auftreffenden Strahlung reflektiert wird. Nichtmetalle hingegen können einen bestimmten Teil der in das Material eindringenden Strahlung durchlassen. Hier ist teilweise eine wesentlich größere Dicke als bei Metall erforderlich, um die Strahlung im Inneren zu absorbieren und in innere Energie umzuwandeln. Bei einem Glasfenster zum Beispiel dringt die Strahlung leicht durch seine Oberfläche ein, aber da es ein schlechter Absorber für sichtbare Strahlung ist, wird dieses Spektrum der Strahlung weitgehend hindurchgelassen. Um für einfallende Strahlung ein guter Absorber zu sein, muss ein Material einen niedrigen Reflexionsgrad an der Oberfläche und im Inneren einen hohen Absorptionsgrad haben, damit die Strahlung am Durchgang gehindert wird. Sind an der Metalloberfläche sehr feine Partikel angebracht, so erhält man eine Oberfläche mit niedrigem Reflexionsgrad. Die den Körper treffende Strahlung wird dann weitgehend absorbiert.

Gewöhnlich tritt elektromagnetische Strahlung als Kombination verschiedener Wellenlängen oder Frequenzen auf. Erinnert sei an die aus dem Physikunterricht bekannte Zerlegung des Sonnenlichts in seine Spektralfarben durch ein Prisma. Weißes Licht enthält alle vom menschlichen Auge wahrnehmbaren Farben. Nach dem Sinneseindruck unserer Augen nennt man außerdem eine elektromagnetische Strahlung aussendende Fläche:

• grau (auftreffende Strahlung wird im gesamten Wellenlängenspektrum zum gleichen Anteil absorbiert)
• farbig, (ein bestimmter Teil des Wellenlängenspektrums (stellvertretend für eine bestimmte Farbe) wird bevorzugt reflektiert).

Wir haben oben darauf hingewiesen, dass Reflexionsgrad r, Absorptionsgrad a und Durchlassgrad d keine Konstanten sind, sondern von Wellenlänge λ und Temperatur T abhängen. Obwohl alle in Tabelle 10 aufgeführten elektromagnetischen Wellen dem Grunde nach gleicher Natur sind, unterscheidet sich das Verhalten der verschiedenen Wellenlängenbereiche in Bezug auf die reflektierten, absorbierten und transmittierten Energieanteile in der Bilanzgleichung r + a + d = 1 erheblich. Das führt in Verbindung mit der Beschaffenheit der strahlenden Flächen zu einer Vielzahl interessanter Effekte, von denen wir einige schon aus unserem Alltag kennen.

Die solare Aufheizung von Treibhäusern im Gartenbau beruht auf bezüglich der Strahlung sehr ausgeprägten Eigenschaften des Werkstoffes Glas. Bekannt ist die hohe Lichtdurchlässigkeit für Glas, UV-Strahlen werden im Glas dagegen weitgehend absorbiert und die langwelligen Infrarotstrahlen reflektiert. Im Treibhaus trifft das durchgelassene sichtbare Licht (Intensitätsmaximum der Sonnenstrahlen) auf den Boden und die Wandkonstruktionen. Die absorbierte elektromagnetische Strahlung übt Kräfte auf die Teilchen in den festen Körpern aus, die dadurch zu stärkeren Schwingungen angeregt werden. Damit erhöht sich die innere Energie der Festkörper, die nun ihrerseits durch Konvektion und Strahlung im Infrarotbereich Energie an die Luft im Treibhaus abgeben. Die sehr gute Reflexion der Infrarotstrahlen an den Glasscheiben bewirkt dann den zunehmenden Wärmestau im Gewächshaus.

Die Sonnenstrahlung wird in der Luftatmosphäre durch Spuren von vorhandenem Ozon, Wasserdampf, Kohlendioxid, Methan und diversen weiteren Treibhausgasen sowie durch Staub ähnlich wie im Werkstoff Glas zu einem gewissen Teil absorbiert und reflektiert. Über diesen Effekt entstehen in der Erdatmosphäre Temperaturen, die das Leben auf der Erde ermöglichen. Staub und Treibhausgase bilden ihrerseits in der Atmosphäre einen Körper, der auf die Erde strahlt. Die für die Himmelsstrahlung maßgebliche Temperatur hängt von klimatischen Bedingungen ab. Man kann für einen klaren, kalten Nachthimmel von ca. 230K ausgehen, bei Bewölkung und Temperaturen, die wir als warm empfinden, von 285K. Der aktuell sehr intensiv diskutierte Treibhauseffekt in der Erdatmosphäre, der zu ihrer zusätzlichen Aufwärmung und damit zum Klimawandel führt, ist die Folge eines durch menschliche Eingriffe (anthropogene Einflüsse) verursachten Übermaßes bestimmter Treibhausgase (Kohlendioxid, Methan und Wasserdampf) in der Atmosphäre. Kurzwellige Solarstrahlung (Oberflächentemperatur der Sonne ca. 5800 K) wird in der Atmosphäre weitgehend durchgelassen, die langwellige Rückstrahlung der Erdoberfläche (Temperatur im Durchschnitt ca. 300K) in hohem Maße absorbiert und reflektiert.

Ähnliche Effekte beobachtet man auch in anderen Wellenlängenbereichen. Das Erhitzen von Nahrungsmitteln im Mikrowellengerät beruht auf der Eigenschaft der im Bereich von 100 μm und 100.000 μm liegenden Mikrowellen, von Glas und Kunststoff gut durchgelassen, an Metalloberflächen aber fast vollständig reflektiert und von Nahrungsmitteln (vor allem von Wasser) absorbiert zu werden. Das Mikrowellengerät wandelt elektrische Energie in Mikrowellen um. Das in den Lebensmitteln gebundene Wasser absorbiert diese Mikrowellen, was so zur Temperaturerhöhung in den Nahrungsmitteln beiträgt.

Speziell für den Bereich der optischen Strahlung im Wellenlängenspektrum der Wärmestrahlung ist festzuhalten, dass Körper nicht nur durch eine entsprechende Erhöhung der Temperatur optische Strahlung emittieren können, sondern es noch einen anderen Mechanismus gibt, die Lumineszenz als „kaltes Leuchten“. Je nachdem, wie die Energie in Strahlung umgesetzt wird, sind Lichtquellen also in Wärmestrahler oder Lumineszenzstrahler zu unterteilen. Ein auf entsprechend höhere Temperatur gebrachter Körper strahlt thermische Strahlung in einem kontinuierlichen und breiten Wellenlängenspektrum ab. Auf das sichtbare Licht entfällt dabei meist nur ein kleiner Anteil, so dass der Wirkungsgrad für diese Art der Lichtbereitstellung sehr gering bleibt. Lumineszenzstrahler emittieren hohe Leistungen in Linien oder engen Spektralbereichen (farbiges Licht).

Je nach Art der Anregung müssen bei den Lumineszenzstrahlern unterschieden werden:

• Elektrolumineszenz (elektrische Anregung bei Gasentladung und in Leuchtdioden)
• Photolumineszenz (Anregung durch elektromagnetische Strahlung, zum Beispiel bei Phosphoreszenz und Fluoreszenz)
• Radiolumineszenz (Anregung durch atomare Strahlung)
• Biolumineszenz (biologisch-chemische Reaktionen in lebenden Organismen, Leuchtkäfer)

Die entscheidende Bezugsgröße für die Berechnung der Wärmestrahlung ist die Strahlung des schwarzen Körpers, weil nur hierfür ein physikalisch gut begründetes und praktisch handhabbares Modell existiert. Die Gesetze für die Wärmestrahlung eines Körpers sind einfach abzuleiten, wenn dessen Oberfläche die Strahlung nicht reflektiert, sondern vollständig absorbiert. Der Begriff schwarz wurde nach dem Vorbild von Erscheinungen in der Optik gewählt. Das Flugloch eines Vogelnistkastens erscheint gegenüber der Umgebung als tiefschwarz, weil nach Abbildung 14 das einfallende Licht fast vollständig absorbiert wird. Man kann den abgebildeten Hohlkörper theoretisch aber auch stark erwärmen, so dass die Einflugöffnung nicht mehr als schwarze Fläche erscheint. Daher wird gelegentlich auch die sich weniger an die Wahrnehmung unserer Augen anlehnende Bezeichnung Hohlraumstrahler verwendet. Eine für die Wärmestrahlung schwarze Fläche absorbiert nicht immer automatisch das vollständige Wellenspektrum. Ein mit weißem Ofenlack gestrichener Heizkörper kann im Infrarotbereich eine schwarze Oberfläche haben, Lichtstrahlen hingegen werden diffus reflektiert.

Abb.14

Um die von einem schwarzen Strahler im Vakuum ausgehende Energiestromdichte $\dot e_s (T)$ zu berechnen, geht man vom Planck´schen Strahlungsgesetz für die spektrale Strahlungsintensität $\dot e_{\lambda ,b} (\lambda ,T)$ aus. Dieses Gesetz gibt an, welche Energiestromdichte ein schwarzer Strahler der Temperatur T bei der Wellenlänge λ abstrahlt. Der Index „λb“ zeigt an, dass sich die Energiestromdichte auf einen ganz bestimmten Wellenlängenbereich bezieht.

$\dot e_{\lambda ,b} (\lambda,T) = \large{\frac{c_1}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{c_2}{\lambda\cdot T}} - 1}}$

Eine Integration über das gesamte Wellenlängenspektrum liefert die Energiestromdichte (Strahlungsintensität) des schwarzen Körpers:

$\dot e_s (T) = \displaystyle \int \limits^{\infty}_{\lambda = 0} \frac{c_1}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{c_2}{\lambda\cdot T}} - 1} d \lambda = \frac{6 \pi^4 c_1}{90c^4_2} \cdot T^4 = \frac{2 \pi^5 \cdot k^4}{15c^2_0 \cdot h^3} \cdot T^4 = \sigma_s \cdot T^4$

Mit $c_1 = 2 \pi \cdot h \cdot c_0^2 ≈ 0,3741774873 \cdot 10^{-15} Wm^2$ und $c_2 = \frac{(h \cdot c_0)}{k} ≈ 1,43876866 \cdot 10^{-2}mK$ enthält das Planck´sche Strahlungsgesetz die beiden Planck´schen Strahlungskonstanten, wobei für die einzelnen Konstanten folgende Werte verwendet wurden:

Die Integration des Planck´schen Strahlungsgesetzes verdeutlicht, dass die Energiestromdichte eines schwarzen Strahlers von der vierten Potenz der thermodynamischen Temperatur und außerdem von einer Konstanten abhängt, deren Größe wir durch Koeffizientenvergleich ermitteln zu:

$\sigma_s = \large{\frac{2 \pi^5 \cdot k^4}{15 \cdot c_0^2 \cdot h^3}} = 5,670508538 \cdot 10^{-8} \frac{W}{m^4 \, K^4} ≈ 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{W}{m^4 \, K^4}$ Stefan-Boltzmann-Konstante

Die errechnete Konstante nennt man Stefan-Boltzmann´sche Konstante und das Integral des Planck´schen Strahlungsgesetzes Stefan-Boltzmann´sches Gesetz. Achte bitte auf den Bindestrich zwischen Stefan und Boltzmann! Josef Stephan hat als erster den Zusammenhang ~ T4 entdeckt und den Proportionalitätsfaktor experimentell bestimmt. Ludwig Boltzmann lieferte 5 Jahre später eine theoretische Begründung dafür noch bevor Max Planck im Jahre 1901 die Integration des Planck´schen Strahlungsgesetzes gelang.

Wertet man das Planck´sche Strahlungsgesetz für die Wellenlängen im Spektrum der Wärmestrahlung und vorgegebene Temperaturen des schwarzen Strahlers aus, zeigt sich wie in Abbildung 15 dargestellt, dass mit höheren Temperaturen nicht nur die Intensitätsmaxima eines schwarzen Strahlers zu immer kleineren Wellenlängen verschoben werden, sondern auch die Strahlungsintensität selbst stark steigt.

Die Bestimmung von Wellenlängen λ_opt für festgehaltene Temperaturen, bei denen die Strahlungsintensität des schwarzen Strahlers ein Maximum annimmt, folgt aus

Diese aus dem Planck´schen Strahlungsgesetz abgeleitete Bestimmungsgleichung für das Intensitätsmaximum wird nach Wilhelm Wien, Professor für Physik und Nobelpreisträger 1911, Wien´sches Verschiebungsgesetz genannt. Je höher die Temperaturen eines Körpers, desto kleiner werden die Wellenlängen, für die die Temperaturstrahlung das Intensitätsmaximum annimmt. Bei annähernd schwarzer Strahlung können wir aus der gemessenen Wellenlänge λ_opt einer strahlenden Oberfläche auf ihre Temperatur schließen.

Die in Abbildung 15 für die Strahlungsintensität eines schwarzen Strahlers gezeichnete Linie der Intensitätsmaxima verschiedener, ausgewählter Temperaturen entspricht der Gleichung des Wien´schen Verschiebungsgesetzes. Zusätzlich ist der begrenzte Bereich des Wellenlängenspektrums grau unterlegt, der unserem Auge als Licht wahrgenommen werden kann. Es ist erkennbar, dass bei Temperaturen oberhalb von 1000K ein Teil der Strahlung in den sichtbaren Bereich zu fallen beginnt, so dass diese Körper anfangen, dunkelrot entsprechend der zugehörigen Wellenlängen zu leuchten. Mit zunehmender Temperatur wird das von dem strahlenden Körper ausgehende Licht immer heller. Wir haben in dieser Darstellung einmal die Oberflächentemperatur der Sonne mit 5780K unterstellt. Der Hellempfindlichkeitsgrad der Netzhaut unserer Augen ist gut an das Sonnenlicht angepasst. Selbst für diesen engen Spektralbereich reagiert das Auge auf verschiedene Wellenlängen unterschiedlich empfindlich. So erscheint bei gleicher Strahlungsleistung eine grüne Lichtquelle mit λ = 0,555µm circa 15mal heller als eine rote mit λ = 0,760µm. Auch im kontinuierlichen Spektrum der Sonne nehmen wir im grün-gelben Bereich eine größere Helligkeit wahr. Schließlich hat man in aufwendigen Versuchsreihen festgestellt, dass für die meisten Menschen das Maximum der Hellempfindlichkeit für das Tagsehen bei einer Wellenlänge von 0,555µm, für das Nachtsehen bei 0,507µm liegt.

Abb.15

Eine Wärmestrahlung emittierender Körper kann Licht jeder Wellenlänge abstrahlen, sobald er die dafür erforderliche Temperatur aufweist. Je heißer der Körper und je kürzer die Wellenlänge des vorwiegend ausgestrahlten Lichts ist, desto intensiver ist seine Lichtabstrahlung. Abbildung 15 regt auch an, sich an die temperaturabhängigen Glühfarben von Stahl zu erinnern, für die gedruckte Farbskalen von beginnender Rotglut etwa ab 525°C über dunkelrot (etwa ab 700°C, Lichtstärke 1,5 cd) bis weißglühend (ab 1300°C und 16.000 cd) existieren. Aus dem Vergleich der Farbe des glühenden Stahls mit der Farbe auf der Farbskala wird die Temperatur des Stahlstücks abgeschätzt.

Auf dem Wien´schen Verschiebungsgesetz fußt auch die so genannte Lichttemperatur, die für die Lichtplanung in Gebäuden bedeutsam ist. Ähnlich wie das Sonnenlicht beeinflusst die auf den Verpackungen von Leuchtmitteln ausgewiesene Lichttemperatur (oder auch Farbtemperatur des Lichtes) unser Befinden. Je nach Art der Lichtquelle wird ein bestimmtes Wellenlängenspektrum mit mehr oder weniger großen Anteilen sichtbaren Lichts emittiert. Ein Licht über dieses Wellenlängenspektrum zu charakterisieren, ist jedoch schwer. Daher orientiert man sich an der thermodynamischen Temperatur für die Wellenlänge mit dem Maximum für die Strahlungsintensität. Die Spanne reicht vom „warmen“ Licht (Kerzenlicht, 1500K) bis zum „kalten“ Licht (strahlend blauer Himmel ca. 10.000K). Dem Lichtwellenlängenspektrum der Mittagssonne wurde die Lichttemperatur von 5.200K zugeordnet. Als behaglich wird warm-weißes Licht mit 3.300K empfunden, neutral-weißes Licht im Bereich von 3.300K bis 5.300K soll auf Menschen eine aktivierende Wirkung ausüben und kommt für die Beleuchtung von Arbeitsplätzen zum Einsatz. Büroleuchten mit tageslicht-weißem Licht (7.000 bis 10.000K) sollen förderlich für die Konzentration sein, für die Beleuchtung des Arbeitsplatzes eines Fotografen wird eine Lichttemperatur von 8000K empfohlen.

Bisher sind wir auf die Richtungsabhängigkeit der Energiestromdichte  noch nicht eingegangen, sondern haben nur der hemisphärischen Strahlung in den Halbraum gesprochen. Für die schwarze Strahlung tritt ein Höchstwert des Energiestroms in Richtung der Flächennormalen (Index n) auf. In Richtung des Winkels φ  gegen die Flächennormale verringert sich der Energiestrom nach dem Lambert´schen Kosinusgesetz auf:

Dieser Ansatz führt für die Flächennormale mit φ = 0 und cosφ = 1 auf den Maximalwert $\dot e_{n}$ und für die mit der Fläche selbst zusammenfallende Richtung mit φ = $\frac{p}{2}$ und cosφ = 0 auf den Wert null.