Innere Verschiebungsarbeit

Neben der inneren Eigenarbeit können die inneren Kraftgrößen auch innere Verschiebungsarbeit leisten. Die Verformung bzw. Verschiebung des Körpers erfolgt dann nicht durch die inneren Kraftgrößen selbst, sondern infolge anderer innerer Kraftgrößen.

Zur Veranschaulichung betrachten wir den Balken aus dem vorherigen Abschnitt, welcher durch die Kraft $F_1$ belastet wird. Die Kraft $F_1$ ist in diesem Fall bereits vollständig am Körper angebracht, wir haben also als Ausgangssystem einen bereits belasteten Balken gegeben:

Ausgangssystem

Das Ausgangssystem weist einen bereits vorhandenen Spannungszustand auf, für welchen die inneren Kraftgrößen $N_{1i}$, $Q_{1i}$ und $M_{1i}$ vorhanden sind:

Innere Kraftgrößen und Schnittgrößen am Ausgangssystem

Wir haben nun also als Ausgangssystem einen bereits belasteten Balken gegeben. Das bedeutet, dass die inneren Kraftgrößen und damit die äußeren Schnittgrößen bereits in voller Höhe gegeben und damit konstant sind. Bringen wir nun eine weitere Kraft $F_2$ an den Balken an, so verschieben sich die obigen inneren Kraftgrößen ($N_{1i}$, $Q_{1i}$ und $M_{1i}$) infolge der Kraft $F_2$ und leisten Verschiebungsarbeit. Da die inneren Kraftgrößen mit ihrer vollen Größe gegeben sind, ergibt sich die Verschiebungsarbeit der inneren Kraftgrößen des Ausgangssystems wie folgt:

$dW_{12} = -N_{1i} \cdot du_2$

$dW_{12} = -Q_{1i} \cdot dw_2$

$dW_{12} = -M_{1i} \cdot d\varphi_2$

Unter Berücksichtigung von Torsionsbeanspruchungen ergibt sich:

$dW_{12} = -M_{T1i} \cdot d\varphi_2$

Der Index $2$ besagt, dass die Verzerrungen und Verschiebungen infolge der Kraft $F_2$ entstehen, welche an den Balken aufgebracht wird. Die Schnittgrößen des Ausgangssystems mit dem Index $1$ verschieben/verzerren sich also infolge der Kraft $F_2$.

Wir können den Betrag der inneren Kraftgrößen wieder durch den Betrag der äußeren Kraftgrößen ersetzen und erhalten damit:

$dW_{12} = -N_{1} \cdot du_2$

$dW_{12} = -Q_{1} \cdot dw_2$

$dW_{12} = -M_{1} \cdot d\varphi_2$

$dW_{12} = -M_{T1} \cdot d\varphi_2$

Die gesamte innere Verschiebungsarbeit ergibt sich, indem die Summe aller Verschiebungsarbeiten der inneren Kraftgrößen gebildet wird:

(1) $dW_{12} = - N_{1} \cdot du_2 - Q_{1} \cdot dw_2 - M_{1} \cdot d\varphi_2 - M_{T1} \cdot d\varphi_2$

Aus dem Kapitel Verformungen sind uns die folgenden Zusammenhänge bekannt:

$\frac{du}{dx} = \epsilon$, $\frac{d\varphi}{dx} = \kappa$ und  $\frac{dw}{dx} = \gamma$, $\frac{d\varphi}{dx} = \varphi' = \vartheta$

Einsetzen in (1) ergibt:

(2) $-dW_i =  N_1 \cdot \epsilon_2 \; dx + Q_1 \cdot \gamma_2 \; dx + M_1 \cdot \kappa_2 \; dx + M_{T1} \cdot \vartheta_2 \; dx$ 

Wir kennen ferner die folgenden Zusammenhänge aus dem Kapitel Verformungen. Hierbei werden die Temperaturanteile mitberücksichtigt, weil Verschiebungsarbeit auch infolge Temperaturbeanspruchungen erfolgen kann (siehe Abschnitt äußere Verschiebungsarbeit):

Gesamtdehnung: $\epsilon_2 = \frac{N_2}{EA} + \alpha_{th} \cdot \triangle T$ 

Gesamtkrümmung: $\kappa_2 = \frac{M_2}{EI} + \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$ mit $\triangle T = T_u - T_o$.

Gleitung: $\gamma_2 = \frac{Q_2}{GA_s}$ mit $A_s = A \cdot \kappa_s$, wobei $\kappa_s$ der Korrekturfaktor der ungleichmäßigen Verteilung von $\gamma$ ist.

Verdrillung: $\vartheta_2 = \varphi' = \frac{M_{T2}}{G I_P} $

Wir setzen diese Zusammenhänge in (2) ein:

$-W_i = \int [N_1 \cdot (\frac{N_2}{EA} + \alpha_{th} \cdot \triangle T) \; dx$

           $+ Q_1 \cdot \frac{Q_2}{GA_s} \; dx$

           $+ M_1 \cdot (\frac{M_2}{EI} + \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}) \; dx$

           $+ M_{T1} \cdot \frac{M_{T2}}{G I_P} \; dx]$

Zusammenfassen ergibt sich die gesamte innere Verschiebungsarbeit:

$-W_i = \int [ \frac{N_1N_2}{EA} + N_1 \alpha_{th} \cdot \triangle T $

           $+ \frac{Q_1 Q_2}{GA_s} $

           $+ \frac{M_1 M_2}{EI} + M_1 \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$

           $+ \frac{M_{T1} M_{T2}}{G I_P}] dx$

Wir können die Indizes auch allgemein angeben mit $j$ und $k$, wobei die Kraftgrößen mit $j$ die bereits vorhandenen Kraftgrößen am Ausgangssystem darstellen: