Aufgaben und Lösungen

Aufgabe 1: Schnittgrößen und Schnittgrößenverläufe

1. Freischnitt und Resultierende der Streckenlasten

Zunächst schneiden wir den Balken von seinen Lagern frei und bestimmen die Resultierenden der Streckenlasten:

Wir haben hier zwei Streckenlasten gegeben, eine rechteckige und eine dreieckige. Wir bestimmen also zunächst die Flächen beider Streckenlasten.

Dreieckige Streckenlast:

Für die dreieckige Streckenlast wird der Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmt.

$A_D = \frac{b \cdot h}{2}$

Hierbei ist $b$ die Breite von 4m, über welche die Streckenlast wirkt, und $h$ die Höhe der Streckenlast mit $q_1 = 3 kN/m$. Es ergibt sich demnach:

$F_{q1} = \frac{4m \cdot 3 kN/m}{2} = 6 kN$

Rechteckige Streckenlast:

Für die rechteckige Streckenlast wird der Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmt.

$A_R = b \cdot h$

Hierbei ist $b$ die Breite von 5m, über welche die Streckenlast wirkt, und $h$ die Höhe der Streckenlast mit $q_2 = 3 kN/m$. Es resultiert:

$F_{q2} = 5m \cdot 3 kN/m = 15 kN$

Nachdem die Resultierenden der Streckenlasten bestimmt sind, benötigen wir als nächstes die Angriffspunkte dieser.

Wir müssen also die Lage des Schwerpunktes entweder kennen oder berechnen. Für Rechteck und Dreieck ist die Lage der Schwerpunkte bekannt.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Schwerpunkt bei 1/3 der Fläche vom rechten Winkel ausgehend.

Bei einem Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte. 

In unserem Beispiel ist die Angabe der Lage der Schwerpunkte nur in Richtung der Balkenachse notwendig (x-Richtung). 

2. Bestimmung der Auflagerkräfte

Als Nächstes bestimmen wir die Auflagerkräfte.

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung:

$\sum F_{ix} = 0$:   $A_x = 0$

Es sind keine Kräfte in $x$-Richtung gegeben, deswegen wird die Auflagerkraft $A_x = 0$.

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:

$\sum F_{iy} = 0$: $A_y - F_{q1} - F_{q2} = 0$

$A_y = F_{q1} + F_{q2} = 6 kN + 15 kN = 21 kN$

Momentengleichgewichtsbedingung um A (linksdrehende Momente positiv):

$\sum M_i = 0$:  $-M_A - F_{q1} \cdot 4/3 m - F_{q2} \cdot (4m + 5/2m) = 0$

$M_A = - F_{q1} \cdot 4/3 m - F_{q2} \cdot (4m + 5/2m) $

$M_A = - 6 kN \cdot 4/3 m - 15 kN \cdot 13/2m $

$M_A = -8 kNm - 97,5 kNm = -105,5 kNm$

3. Bestimmung der Schnittgrößenverläufe (analytisch)

Bevor wir mit der Berechnung der Schnittgrößen beginnen, müssen wir uns überlegen, wo genau die Schnitte durchgeführt werden müssen. Geschnitten wird immer 

Wir haben hier statische Unstetigkeiten infolge der Streckenlasten. Wir müssen also je ein Schnitt durch jede Streckenlast durchführen:

In der obigen Grafik sind die beiden Schnitte eingezeichnet. Der 1. Schnitt wird zwischen $0 \ge x_1 \ge 4m$ durchgeführt, der 2. Schnitt zwischen $0 \ge x_2 \ge 5m$.

Wir haben das linke Schnittufer gewählt, d. h. die Normalkraft zeigt nach rechts, die Querkraft nach unten und das Moment ist ein Linksdrehendes. 

1. Schnitt

Wie deutlich zu erkennen ist, ist bei dem 1. Schnitt die gegebene Teilstreckenlast nun nicht mehr dreieckig. Wir benötigen aber hier die Fläche dieser Teilstreckenlast (Berechnung der Querkraft) sowie die Lage des Schwerpunktes (Berechnung des Moments) für die Berechnungen der Schnittgrößen. Wir können die Streckenlast bei der Querkraft und beim Biegemoment wie folgt berücksichtigen:

Um die Formeln oben anwenden zu können, benötigen wir zunächst den Verlauf $q(x)$. Dafür verwenden wir die Geradengleichung:

$f(x) = mx + b$ und für unseren Fall: $q(x) = mx + b$

Dabei ist $q(x)$ die Ausgangsstreckenlast. Dazu betrachten wir diese in einem Koordinatensystem:

Dabei ist $b$ der Beginn der Funktion auf der $y$ bzw. $q(x_1)$ Achse und $m$ die Steigung (negativ) der rot eingezeichneten Funktion. 

Die Geradengleichung ergibt sich dann wie folgt:

$q(x) = mx + b$

Als Nächstes bestimmen wir die Schnittgrößen. Die Normalkraft wird aus der Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung bestimmt.

$\rightarrow: N_1 = 0$: 

Die Normalkraft wird Null, weil keine horizontalen Kräfte an den Balken angreifen.

Die Querkraft wird aus der Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung bestimmt. Hierbei geht auch die Teilstreckenlast ein:

$\uparrow:  A_y - Q_1 - \int q(x_1) dx_1 = 0$

$Q_1 = A_y - \int q(x_1) dx_1$

Einsetzen von $q(x_1) =  - \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 + 3 kN/m$:

$Q_1 = A_y - \int [- \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 + 3 kN/m]  dx_1$

$Q_1 = A_y + \int [\frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 - 3 kN/m] dx_1$

Die Grenzen des Integrals müssen der Teilstreckenlast entsprechend angepasst werden:

$Q_1 = A_y + \int_0^{x_1} [\frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 - 3 kN/m] dx_1$

Integration durchführen:

$Q_1 = A_y + [\frac{3}{4} kN/m^2 \cdot \frac{1}{2} x_1^2 - 3 kN/m \cdot x_1]_0^{x_1} $

Grenzen einsetzen:

$Q_1 = A_y + \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot \frac{1}{2} x_1^2 - 3 kN/m \cdot x_1 $

Einsetzen von $A_y = 21 kN$:

$Q_1 = 21 kN + \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot \frac{1}{2} x_1^2 - 3 kN/m \cdot x_1 $

Zusammenfassen:

Das Biegemoment wird mittels der Momentengleichgewichtsbedingung bestimmt. Dabei wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt gelegt. Für die Streckenlast wird die zweimalige Integration durchgeführt:

$\curvearrowleft :   -M_A - A_y \cdot x_1 + \int_0^{x_1} \int_0^{x_1} q(x_1) \; dx_1 dx_1+ M_1 = 0$

$M_1 = M_A + A_y \cdot x_1 - \int_0^{x_1} \int_0^{x_1} q(x_1) \; dx_1 $

Einsetzen von $q(x_1) = - \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 + 3 kN/m$:

$M_1 = M_A + A_y \cdot x_1 - \int_0^{x_1} \int_0^{x_1} [- \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 + 3 kN/m] dx_1 $

$M_1 = M_A + A_y \cdot x_1 + \int_0^{x_1} \int_0^{x_1} [ \frac{3}{4} kN/m^2 \cdot x_1 - 3 kN/m] dx_1 $

Erste Integration:

$M_1 = M_A + A_y \cdot x_1 + \int_0^{x_1} [ \frac{3}{8} kN/m^2 \cdot x_1^2 - 3 kN/m \cdot x_1] dx_1 $

Zweite Integration:

$M_1 = M_A + A_y \cdot x_1 +  [ \frac{3}{8} kN/m^2 \cdot \frac{1}{3} x_1^3 - 3 kN/m \cdot \frac{1}{2} x_1^2]  $

Zusammenfassen:

$M_1 = M_A + A_y \cdot x_1 +  \frac{1}{8} kN/m^2 \cdot  x_1^3 - \frac{3}{2} kN/m \cdot  x_1^2 $

Einsetzen von $M_A = -105,5 kNm$ und $A_y = 21 kN$:

Probe: Die Ableitung des Biegemoments ergibt die Querkraft

$\frac{dM_1}{dx_1} = 21 kN +  \frac{3}{8} kN/m^2 \cdot x_1^2 -  3 kN/m \cdot x_1 = Q_1$

Für den ersten Schnitt sind nun alle Schnittgrößen bestimmt. 

2. Schnitt 

Für den zweiten Schnitt betrachten wir die Laufkoordinate $x_2$ und beginnen bei $x_2 = 0$, also am Anfang der rechteckigen Streckenlast.

Wir wenden auch hier die Integration an. Die Alternative dazu folgt weiter unten.

Hier ist die Funktion $q(x_2)$ konstant. Es ergibt sich also mit $b = 3 kN/m$ und $m = 0$ (es gibt keine Steigung):

Wir beginnen mit der Normalkraft, welche wir aus der Gleichgewichtsbedingung in $x$-Richtung berechnen:

$\sum F_{ix} = 0$:  

Es existiert keine Normalkraft, weil keine horizontalen Kräfte an den Balken angreifen.

Die Querkraft berechnen wir aus der Gleichgewichtsbedingung in $y$-Richtung:

$\sum F_{iy} = 0$:  $A_y - F_{q1} - Q_2 - \int_0^{x_2} q(x_2) dx_2 = 0$

$Q_2 = A_y - F_{q1} - \int_0^{x_2} q(x_2) dx_2 $

Einsetzen von $q(x_2) = 3 kN/m$:

$Q_2 = A_y - F_{q1} - \int_0^{x_2} 3 kN/m \;  dx_2 $

Integration durchführen:

$Q_2 = A_y - F_{q1} -  3 kN/m \cdot x_2 $

Einsetzen von $A_y = 21 kN$ und $F_{q1} = 6 kN$

$Q_2 = 21 kN - 6 kN - 3 kN/m \cdot x_2 $

Zusammenfassen:

Für die Berechnung des Biegemoment wenden wir die Momentengleichgewichtsbedingung an:

$\sum M_i = 0$:    $-M_A - A_y \cdot (4m + x_2) + F_{q1} \cdot (\frac{8}{3}m + x_2) + \int_0^{x_2} \int_0^{x_2} q(x_2) dx_2 dx_2 + M_2 = 0$

$M_2 = M_A + A_y \cdot (4m + x_2) - F_{q1} \cdot (\frac{8}{3}m + x_2) - \int_0^{x_2} \int_0^{x_2} q(x_2) dx_2 dx_2$

1. Integration:

$M_2 = M_A + A_y \cdot (4m + x_2) - F_{q1} \cdot (\frac{8}{3}m + x_2) - \int_0^{x_2} 3 kN/m \cdot x_2 dx_2 $

2. Integration:

$M_2 = M_A + A_y \cdot (4m + x_2) - F_{q1} \cdot (\frac{8}{3}m + x_2) -  3 kN/m \cdot \frac{1}{2} x_2^2 $

Einsetzen von $M_A = -105,5 kNm$, $A_y = 21 kN$ und $F_{q1} = 6kN$:

$M_2 = -105,5 kNm + 21 kN \cdot (4m + x_2) - 6kN \cdot (\frac{8}{3}m + x_2) - 3 kN/m \cdot \frac{1}{2} x_2^2 $

Zusammenfassen:

$M_2 = -105,5 kNm + 21 kN \cdot 4m + 21 kN \cdot x_2 - 6kN \cdot \frac{8}{3}m - 6 kN \cdot x_2 - \frac{3}{2} kN/m \cdot  x_2^2 $

$M_2 = -105,5 kNm + 84 kNm + 21 kN \cdot x_2 - 16 kNm - 6 kN \cdot x_2 - \frac{3}{2} kN/m \cdot x_2^2 $

Probe: Ableitung des Biegemoments ergibt die Querkraft

$\frac{dM_2}{dx_2} =   15 kN  - 3 kN/m \cdot x_2  = Q_2$

4. Bestimmung der Schnittgrößenverläufe (grafisch)

In der nachfolgenden Grafik sind die Schnittgrößenverläufe veranschaulicht:

Schnittgrößenverläufe grafisch