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Baustatik 1

Auflager

Jedes Tragwerk besteht aus Tragelementen die dazu dienen die von außen auf das Tragwerk einwirkenden Kräfte in die Auflager zu leiten. 

Merke

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Die Auflager haben dann die Aufgabe, die wirkenden Kräfte in den Tragelementen an das Fundament zu übertragen.

Auflager (zwischen Fahrbahn und Pfeilern)
Auflager (zwischen Fahrbahn und Pfeilern)

 

Grundsätzlich unterscheidet man Lager durch ihre Freiheitsgrade bzw. Lagerreaktionen voneinander.

Freiheitsgrade

Freiheitsgrade sind einfach die Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers (zum Beispiel eines Balkens) im Raum bzw. in der Ebene. Für den Raum existieren insgesamt $f = 6$ Freiheitsgrade, d.h. 6 unabhängige Bewegungen:

  • 3 Translationsbewegungen: Verschiebung in Richtung der $x$-, $y$- und $z$-Achse
  • 3 Rotationsbewegungen: Drehung um die $x$-, $y$- und $z$-Achse

Für die Ebene existieren 3 Bewegungsmöglichkeiten des Körpers ($f= 3$):

  • 2 Translationsbewegungen: Bewegung in Richtung der $x$- und $y$-Achse
  • 1 Translationsbewegung: Drehung in der $x$,$y$-Ebene

Lagerreaktionen

Die Lagerreaktionen zeigen auf, welche Bewegungseinschränkung ein Körper erfährt. Lagerreaktionen reduzieren also die Freiheitsgrade und damit die Bewegungsmöglichkeiten des Körpers.

Betrachten wir also die Ebene in welcher ein Körper 3 Bewegungsmöglichkeiten aufweist und verbinden diesen Körper mit einem Lager mit der Lagerreaktion $r = 1$. Der Körper kann aufgrund der Lagerreaktion nur noch 2 Bewegungen in der Ebene ausführen. Das Lager beschränkt den Körper also in seiner Bewegungsmöglichkeit. Insgesamt besitzt der Körper nun also nur noch $f = 2$ Freiheitsgrade:

Methode

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$f = 6 - r$                   (Freiheitsgrade im Raum)

$f = 3 - r$                   (Freiheitsgrade in der Ebene)

Die Lager sind also dazu da, den Körper in seiner Bewegung zu beschränken. In der Statik werden ruhende Körper betrachtet, demnach werden Lager eingesetzt, die keine Bewegung des Körpers zulassen ($f = 0$).

Lagerarten

Die Auflager werden hinsichtlich ihrer Lagerreaktionen und Kraftübertragungen wie folgt voneinander unterschieden:

Lagerarten: Loslager, Festlager, feste Einspannung
Lagerarten

 

Verschiebliches Auflager (Loslager)

Das Loslager besitzt eine Lagerreaktion $r = 1$, d.h. es kann nur eine Kraft senkrecht zu seiner Verschiebung übertragen. In der obigen Grafik kann das Loslager sich also in x-Richtung verschieben, überträgt demnach nur eine Kraft in y-Richtung. Das bedeutet, dass das Loslager dafür sorgt, dass die Bewegung des Balkens in y-Richtung verhindert wird. 

Von 3 denkbaren Bewegungsmöglichkeiten in der Ebene sind bei diesem Auflager 2 Bewegungsmöglichkeiten des betrachteten Körpers weiter gegeben:

  • Verschiebung
  • Verdrehung im Gelenk

Ein Loslager unterbindet also eine Verschiebung und lässt die andere Verschiebung und die Verdrehung im Lager zu. Das Loslager beschränkt den betrachteten Körper also nur in einer einzigen Richtung, d.h. ein Freiheitsgrad ist durch die Lagerreaktion $r = 1$ gesperrt und der Körper besitzt nur noch $f = 3 - 1 = 2$ Freiheitsgrade.

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1 Freiheitsgrad ist gesperrt, deshalb entsteht 1 Lagerreaktion.

Festes Auflager (Festlager)

Das Festlager besitzt zwei Lagerreaktion $r = 2$, d.h. es überträgt zwei Kräfte und bergrenzt damit die Bewegungsmöglichkeit des betrachteten Körpers auf einen Freiheitsgrad. Das Festlager überträgt eine Kraft parallel zur Ebene mit welcher es verbunden ist (in der obigen Grafik die $x$-Richtung) und eine Kraft senkrecht dazu (y-Richtung). Der Balken kann sich also nicht in $x$- und $y$-Richtung bewegen.

Von 3 denkbaren Bewegungsmöglichkeiten ist bei diesem Auflager nur 1 Bewegungsmöglichkeit des betrachteten Körpers gegeben: 

  • Verdrehung im Gelenk

Ein Festlager unterbindet alle Verschiebungen und ermöglicht die Verdrehung im Lager. Das Festlager beschränkt den betrachteten Körper also in zwei Richtung, d.h. zwei Freiheitsgrade sind durch die Lagerreaktionen $r = 2$ gesperrt und der Körper besitzt nur noch $f = 3 - 2 = 1$ Freiheitsgrad.

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2 Freiheitsgrade sind gesperrt, deshalb entstehen 2 Lagerreaktionen.

Einspannung

Die Einspannung besitzt drei Lagerreaktion $r = 3$, d.h. sie überträgt drei Kräfte und bergrenzt damit die Bewegungsmöglichkeit des betrachteten Körpers auf null Freiheitsgrade.

Von 3 denkbaren Bewegungsmöglichkeiten sind bei diesem Auflager keine Freiheitsgrade frei.

Die Einspannung beschränkt den betrachteten Körper also in alle drei Richtungen, d.h. drei Freiheitsgrade sind durch die Lagerreaktionen $r = 3$ gesperrt und der Körper besitzt $f = 3 - 2 = 0$ Freiheitsgrade.

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3 Freiheitsgrade sind also gesperrt, deshalb entstehen 3 Lagerreaktionen.

Beispiel: Einspannung

Lagerkräfte Einspannung Beispiel
Beispiel: Einspannung

Beispiel

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Gegeben sei der obige Kragbalken der durch die Kraft $F$ belastet wird. Bestimme die Auflagerkräfte!

Gegeben:

$a = 20m$

$F = 0,5 kN$

Wir schneiden den Balken frei und tragen die Lagerkräfte an:

Einspannung Balken Freischnitt
Freischnitt

Die Einspannung überträgt drei Lagerreaktionen: die Vertikalkraft, die Horizontalkraft und das Moment. 

Wir können aus den Gleichgewichtsbedingungen die Lagerkräfte bestimmen:

$\rightarrow: A_h = 0$

Die Auflagerkraft $A_h$ ist gleich Null, weil keine horizontalen Kräfte auf den Balken wirken und demnach das Auflager auch keine horizontale Reaktion übertragen muss. 

$\uparrow: A_v - F = 0$

$A_v = F = 0,5 kN$

Die Auflagerkraft $A_v$ muss die gesamte Kraft $F$ ausgleichen, damit sich der Balken im Gleichgewicht befindet.

Für das Momentengleichgewicht legen wir den Bezugspunkt in das Lager $A$, weil dann $A_v$ und $A_h$ herausfallen und wir $M_A$ berechnen können.

$\curvearrowleft (A) : - F \cdot a - M_A = 0$

$M_A = -F \cdot a = 0,5 kN \cdot 2m = 1 kNm$

Das Einspannmoment $M_A$ wirkt genau entgegengesetzt zur angenommenen Richtung. Wir haben ein rechtsdrehendes Moment angenommen, tatsächlich ist das Einspannmoment ein linksdrehendes Moment. Aus der reinen Überlegung heraus kann man das auch deutlich erkennen. Die Kraft $F$ drückt den Balken nach unten, also in einer Rechtsdrehung um das Lager $A$. Demnach muss das Lager diesem rechtsdrehenden Moment ein linksdrehendes Moment entgegen setzen, damit sich der Balken im Gleichgewicht befindet.