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Technische Mechanik 3: Dynamik - Translation/Rotation

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Translation/Rotation

Inhaltsverzeichnis

In diesem Abschnitt soll näher auf die Translationsbewegung und auf die Rotationsbewegungen eingegangen werden, die ein starrer Körper als Bewegungsmöglichkeiten zur Verfügung stehen. Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt, besitzt der starre Körper im Raum drei Translationen und drei Rotationen, insgesamt also sechs Freiheitsgrade.

Merke

Ein starrer Körper besteht aus unendlich vielen Massenpunkten, deren Abstände sich untereinander nicht ändern!

Translation

Bei der Transaltion handelt es sich um eine Bewegung, bei welcher die Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten $A$ und $B$ eines Körpers ihre Richtungen nicht ändern. Das bedeuetet, dass alle Punkte des betrachteten Körpers in der Zeit $dt$ dieselbe Verschiebung $dr$ erfahren. Das wiederum bedeutet, dass die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen für alle Punkte des betrachteten Körpers identisch sind:

Methode

$v = \frac{dr}{dt}$,   $a = \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{dv}{dt}$

Die allgemeine Geschwindigkeit bestimmt sich durch Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$. Die Beschleunigung bestimmt sich durch die zweite Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$ bzw. durch die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit $t$. 

Translation starrer Körper

Da die Verschiebung $dr$ innerhalb der Zeit $dt$ für beide Punkte $A$ und $B$ des starren Körpers gleich ist, sind auch die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen für beide Körper gleich:

$v_A = v_B = \frac{dr}{dt}$

$a_A = A_B = \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{dv}{dt}$.

Das bedeutet also, dass alle Punkte eines starren Körpers bei einer rein translatorischen Bewegung dieselbe Geschwindigkeit und Beschleunigung aufweisen. Folglich gilt die Kinematik des Massenpunktes, welche im 1. Kapitel behandelt wurde, auch für einen starren Körper mit rein translatorischer Bewegung. 

Merke

Bei der Translation ist die Bewegung eines beliebigen Körperpunktes repräsentativ für die Bewegung des ganzen Körpers (= Kinematik des Massenpunktes). 
Translationsbewegung. allgemeine und geradlinige
  • Ein starrer Körper kann zwei Arten von Translationsbewegung ausführen (siehe obige Grafik). Bei der geradlinigen Tanslation folgen alle Punkte parallelen geradlinigen Bahnen. Bei der allgemeinen Translationsbewegung folgen alle Punkte gekrümmten Bahnen, welche die gleiche Form aufweisen und äquidistant (= gleiche Abstände aufweisend) zueinander sind. 
  • Alle Punkte eines rein (keine Rotation) translatorischen Körpers besitzen dieselbe Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Rotation

Bei einer Rotation bewegen sich alle Punkte eines Körpers um eine gemeinsame Drehachse, außer diejenigen Punkte, die sich auf dieser Drehachse befinden. Ist die Lage der Achse im Raum unveränderlich, so spricht man von der Rotation um eine feste Achse. Geht die Drehachse dagegen nur durch einen raumfesten Punkt des starren Körpers, und verändert ihre Richtung mit der Zeit, so bezeichnet man dies als Rotation um einen Fixpunkt (Kreiselbewegung). 

Rotation um eine feste Achse
Rotation um eine feste Achse

In den folgenden zwei Abschnitten wird die Rotation um eine feste Drehachse und die Rotation um einen Fixpunkt näher betrachtet.