Gelenke

Dachkonstruktion mit Gelenken

Mehrteilige Tragwerke bestehen aus mehreren miteinander gelenkig verbundenen Teiltragwerken, welche durch Lager mit ihrer Umgebung verbunden sind. 

Ein Gelenk ermöglicht die Übertragung von Kräften und Momenten von einem Tragwerk auf ein anderes. Gelenke besitzen Gelenkreaktionen, welche die Bewegung der Tragwerke einschränken können. Wollen wir die Gelenkreaktionen sichtbar machen, so müssen wir einen Schnitt durch das Gelenk durchführen. Die Gelenkreaktionen müssen nach dem Wechselwirkungsprinzip abgetragen werden. Das bedeutet gleichzeitig, dass sich die Gelenkreaktionen innerhalb des Gelenks gegenseitig aufheben (das System muss im Gleichgewicht sein).

Gelenkarten

Es gibt unterschiedliche Gelenkarten, welche für die Verbindung von Tragwerken eingesetzt werden können. Es werden die folgenden Gelenke voneinander unterschieden:

Gelenkarten

• Das Momentgelenk überträgt am Knotenpunkt die Querkraft und die Normalkraft. Momente werden nicht übertragen.
• Das Querkraftgelenk überträgt eine Normalkraft und ein Moment. Auf eine von außen wirkende Querkraft weicht es aus (überträgt diese also nicht).
• Das Normalkraftgelenk überträgt eine Querkraft und ein Moment. Auf eine von außen wirkende Normalkraft weicht es aus.

Wichtig: Für das Querkraftgelenk wird die Normalkraft immer in Richtung der Balkenachsen abgetragen, d. h. also bei einem schrägen Balken mit einem Winkel $\alpha$ zur Horizontalen verläuft auch die Normalkraft schräg mit dem Winkel $\alpha$. Für das Normalkraftgelenk gilt, dass die Querkraft immer senkrecht zur Balkenachse abgetragen wird. Beim Momentengelenk hingegen können die Normal- und Querkräfte immer horizontal und vertikal abgetragen werden.

Gelenkreaktionen: Balkenachse mit Winkel

Wir wollen im Folgenden zeigen, wie ein Gelenk in einem Fachwerk freigeschnitten wird und die Gelenkkräfte abgetragen werden. Hierzu betrachten wir das in der unteren Grafik gegebene mehrteilige Tragwerk, welches durch zwei Kräfte belastet wird:

Beispiel: Mehrteiliges Tragwerk

Das obige Tragwerk besteht aus zwei mit einem Momentengelenk verbundenen Balken. Das Tragwerk ist auf zwei Festlagern gelagert, die wir mit $A$ und $B$ bezeichnen. Wir können zusätzlich zu den Lagerkräften die Kräfte in dem Gelenk bestimmen. Hierzu lösen wir das Tragwerk von den Lagern und tragen die Lagerkräfte an. Zusätzlich dazu trennen wir die beiden Balken voneinander und tragen die Gelenkkräfte an:

Mehrteiliges Tragwerk: Freischnitt

Das obige Gelenk ist ein Momentengelenk und überträgt zwei Kräfte, eine Vertikalkraft und eine Horizontalkraft (keine Momente). Beim Freischneiden muss das Wechselwirkungsprinzip angewendet werden. Die Gelenkkräfte am linken Balken wirken genau entgegengesetzt auf derselben Wirkungslinie am rechten Balken. Werden die beiden Balken wieder zusammengefügt, so heben sich die Gelenkkräfte gegenseitig auf. 

Das Trennen beider Balken voneinander führt zu zwei statisch unabhängigen Systemen. Für jedes der beiden Teilsysteme stehen die 3 Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene zur Verfügung. Demnach stehen 6 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, mit denen die 6 unbekannten Kräfte bestimmt werden können.

Pendelstab

Ein Pendelstab ist ein gerader Stab bzw. ein stabförmiges Bauteil, welcher an beiden Enden gelenkig gelagert ist. Ein Pendelstab zeichnet sich dadurch aus, dass nur Kräfte in Richtung seiner Stabachse angreifen. Der Stab erfährt somit keine Biegung und keine Querkraft. Er wird nur gezogen oder gedrückt (Zugstab, Druckstab), erfährt also nur eine Kraft in seiner Längsrichtung. Wir betrachten das nachfolgende mehrteilige Tragwerk, welches aus zwei Trägern die gelenkig miteinander verbunden sind, besteht:

Beispiel: Pendelstab

Der rechte Träger ist ein Pendelstab, weil nur die Gelenkkräfte bzw. Auflagerkräfte an den Enden angreifen. Beim Freischnitt werden die Kräfte nun so angetragen, dass diese in Richtung der Stabachse wirken. Wir können hier entweder Zug oder Druck annehmen, d. h. die Kräfte vom Pendelstab weg einzeichnen oder zum Stab hin. Sowohl der Betrag der Kraft als auch die Wirkungslinie der Kräfte an den beiden Enden ist identisch:

Pendelstab: Freischnitt

In der obigen Grafik ist nun ein Druckstab angenommen worden, d. h. die Kräfte zeigen an beiden Enden auf den Pendelstab. Die Kräfte an den Enden sind betragsmäßig gleich groß und liegen auf derselben Wirkungslinie, werden aber genau entgegengesetzt zueinander eingezeichnet. Damit ergibt sich für den Betrag der Gelenkkraft $G$, dass dieser gleich der Auflagerkraft $B$ sein muss. 

Ob nun ein Druck- oder Zugstab angenommen wird, ist beim Freischnitt beliebig wählbar. Ist das Ergebnis der Berechnungen positiv, so wirken die Kräfte in die angenommene Richtung. Resultiert hingegen ein negativer Wert, so wirken die Kräfte tatsächlich genau in entgegengesetzter Richtung (um 180° gedreht).

Biegesteife Ecke

Eine biegesteife Ecke ist steif und kann damit Vertikalkräfte, Horizontalkräfte und Momente übertragen. Bei biegesteifen Ecken ist damit kein Freiheitsgrad und damit keine Bewegungsmöglichkeit mehr vorhanden.

Biegesteife Ecke

Gelenke wie auch Lager führen grundsätzlich zur Schwächung der Konstruktion. Gelenke sind kostenintensiv und in ihrer Dauerhaftigkeit begrenzt. Lager und Gelenke müssen demnach so ausgewählt werden, dass diese über die Nutzungsdauer des Tragwerks funktionieren. 

Beispiel: Bestimmung von Gelenkkräften

Beispiel: Bestimmung von Lager- und Gelenkkräften

Wir prüfen zunächst, ob in diesem Tragwerk ein Pendelstab gegeben ist. Beide Träger werden zusätzlich zu den Enden auch noch durch eine weitere vertikale Kraft belastet. Demnach liegt hier kein Pendelstab vor. Wir müssen also sowohl die horizontalen als auch die vertikalen Lager- und Gelenkkräfte berücksichtigen. 

Danach wird geprüft, ob die Lagerkräfte am gesamten Tragwerk berechnet werden können. Insgesamt sind 4 unbekannte Lagerkräfte gegeben (nachfolgende Grafik). Es stehen für das gesamte Tragwerk aber nur 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, aus denen 3 unbekannte Kräfte berechnet werden können. Es ist demnach nicht möglich, die Lagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen am gesamten Tragwerk zu berechnen:

Lagerkräfte bestimmen

Deswegen müssen wir in einem nächsten Schritt das Tragewerk in zwei Teilsysteme zerlegen. Hierfür lösen wir die beiden Träger am Gelenk voneinander und tragen die Gelenkkräfte an:

Gelenkkräfte bestimmen

Für jedes der obigen Teiltragwerke stehen je 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Wir haben demnach 6 Gleichgewichtsbedingungen und insgesamt 6 unbekannte Kräfte. 

Teiltragwerk links:

Aus der Gleichung (3) kann zunächst die Lagerkraft  $A_v$ berechnet werden:

$A_v =  \frac{F_1 \cdot (c - a)}{c} = \frac{2 kN \cdot (2m-1,8m)}{2m} = 0,2 kN$

Die Lagerkraft $A_v$ wird in die Gleichung (2) eingesetzt und $G_v$ bestimmt:

$G_v = A_v - F_1 = 0,2 kN - 2 kN =  -1,8 kN$

Teiltragwerk rechts:

Aus der Gleichung (6) kann die Gelenkkraft $G_h$ bestimmt werden (Gelenkkraft $G_v$ ist bereits bestimmt worden):

$ G_h =  \frac{ - G_v \cdot d + F_2 \cdot (d - b)}{H} = \frac{ - (-1,8 kN) \cdot 1,5m + 0,5 kN \cdot (1,5m - 0,75m)}{0,4m} = 7,69 kN$

Aus der Gleichung (5) wird dann die Lagerkraft $B_v$ berechnet:

$B_v = F_2 - G_v = 0,5 kN - (-1,8 kN) = 2,3 kN$

Aus der Gleichung (4) kann die Lagerkraft $B_h$ bestimmt werden:

$B_h = G_h = 7,69 kN$

Aus der Gleichung (1) kann die Lagerkraft $A_h$ bestimmt werden:

$A_h = G_h = 7,69 kN$

Zusammenfassung der Ergebnisse

In diesem Beispiel wirkt also die Gelenkkraft $G_v$ genau entgegengesetzt: Am linken Teilbalken vertikal nach oben und am rechten Teilbalken vertikal nach unten gerichtet.

Beispiel: Pendelstab

Beispiel: Pendelstab

Zunächst prüfen wir, ob im mehrteiligen Tragwerk ein Pendelstab vorhanden ist. Der rechte Träger ist ein Pendelstab, weil dieser nur an den Enden gelenkig gelagert ist (Festlager $B$ und Gelenk) und nur eine Kraft angreift, die in Richtung seiner Stabachse wirkt. Beim Freischneiden berücksichtigen wir also den Pendelstab und zeichnen die Kräfte an diesem entlang seiner Stabachse ein. Wenn wir mit diesem Wissen nun das Gesamtsystem betrachten, so erkennen wir, dass hier 3 unbekannte Lagerkräfte gegeben sind, die mittels der 3 Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden können. 

Wir berechnen also zunächst die Lagerkräfte am Gesamtsystem. Hierfür lösen wir das Gesamtsystem von seinen Lagern und tragen stattdessen die Lagerkräfte an (Lagerkraft $B$ in Richtung der Stabachse):

Freischnitt: Gesamtsystem

Wir haben drei Lagerkräfte gegeben und uns stehen drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, um diese zu bestimmen. Wir müssen die Lagerkraft $B$ aber noch in ihre Horizontal- und Vertikalkomponente zerlegen. Dazu benötigen wir den Winkel der Kraft zur Horizontalen (oder Vertikalen). Dies können wir mit der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck erreichen:

$\tan(\alpha) = \frac{0,4 m}{1,5 m} $

$\alpha = arc\tan(\frac{1,5m}{0,4m}) = 14,93 °$ 

Die Kräftezerlegung der Kraft $B$ sieht dann wie folgt aus:

$B \cdot \cos(14,93°) $   nach links gerichtet

$B \cdot \sin(14,93 °) $  nach oben gerichtet

Danach können wir die Gleichgewichtsbedingungen anwenden:

(1) $\rightarrow : A_h - B \cdot \cos(14,93°) = 0$

(2) $\uparrow : A_v - F_1 + B \cdot \sin(14,93°) = 0$

(3) $\curvearrowleft_A : -F_1 \cdot a + B \cdot \sin(14,93°) \cdot (c + d) = 0$

Wir können aus (3) die Lagerkraft $B$ berechnen:

$B = \frac{F_1 \cdot a}{\sin(14,93°) \cdot (c + d)} = \frac{2  kN \cdot 1,8m}{\sin(14,93°) \cdot (2m + 1,5m)} \approx 4 kN$.

Aus (2) wird die Lagerkraft $A_v$ und aus (1) die Lagerkraft $A_h$ bestimmt:

$A_v = F_1 - B \cdot \sin(14,93°) = 2 kN - 4  kN \cdot \sin(14,93°) = 0,97 kN$

$A_h = B \cdot \cos(14,93°) = 4 kN \cdot \cos(14,93°) = 3,86 kN$

Um die Gelenkkräfte zu bestimmen, müssen als Nächstes die beiden Träger vom Gelenk freigeschnitten und die Gelenkkräfte abgetragen werden:

Freischnitt: Teilsysteme

Der Pendelstab (rechts) zeigt deutlich, dass die Gelenkkraft und die Kraft $B$ auf derselben Wirkungslinie liegen. Damit sich der Pendelstab im Gleichgewicht befindet, müssen die beiden Kräfte auch dieselbe Größe besitzen:

$G = B = 4 kN$.

Zusammenfassung der Ergebnisse