Differentialgleichung mit Schubanteil

Wir haben im vorangegangenen Abschnitt die Differentialgleichung der Biegelinie 2. und 4. Ordnung hergeleitet. Die dort aufgestellte Differentialgleichung gibt die Durchbiegung des Balkens in Abhängigkeit von $x$ an. Hierbei ist allerdings nur der reine Biegeanteil berücksichtigt worden. 

Wir betrachten in diesem Abschnitt also den Beitrag des Schubs zur Balkenverformung.

 Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab (vorheriger Abschnitt):

            
Der Index $B$ gibt an, dass es sich hierbei um die Durchbiegung des Balkens infolge Biegespannungen handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel $\varphi$ des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:

Wie groß ist der Fehler, wenn der Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt wird? 

Neben der Durchbiegung des Balkens infolge Biegespannungen haben auch die auftretenden Schubspannungen (ausgehend von einer Querkraftbiegung) Auswirkungen auf die Durchbiegung des Balkens. Wir haben bereits im Abschnitt Querkraftbiegung das Hookesche Gesetz der Schubbeanspruchung aufgeführt:

Dort haben wir auch herausgefunden, dass die mittlere Gleitung $\gamma$ sich wie folgt ergibt: 

$\gamma_m = w' + \varphi $ 

Die mittlere Gleitung kann ebenfalls durch die Querkraft, die Fläche $A$ und ein Schubfaktor $\kappa_s$ ausgedrückt werden:

Dabei ist $\kappa_s$ der Schubfaktor, welcher die ungleichförmige Verteilung von $\gamma$ berücksichtigt.

Gleichsetzen der Gleitungen führt zu:

$w' + \varphi = \frac{1}{G} \frac{Q}{\kappa_s A}$

Auflösen nach $w'$:

$w' = \frac{1}{G} \frac{Q}{\kappa_s A} - \varphi$

Hierbei ist $w'$ die gesamte Durchbiegung, also unter Berücksichtigung der Biegespannungen und der Schubspannungen. Wie oben bereits aufgeführt ist $w'_B = -\varphi$ (reiner Biegeanteil). Damit ist der erste Term auf der rechten Seite die Durchbiegung des Balkens infolge Schub:

$w'_S = \frac{1}{G} \frac{Q}{\kappa_s A}$

Das Produkt aus dem Schubmodul $G$ des Werkstoffs, der Querschnittsfläche $A$ und des querschnittsabhängigen Korrekturfaktor $\kappa$ ist die Schubsteifigkeit und wird verkürzt ausgedrückt zu:

Dabei berücksichtigt $\kappa_s$ die über den Querschnitt ungleichförmige Verteilung der Schubspannung $\tau$.

Unter Berücksichtigung der Schubsteifigkeit ergibt sich für die Differentialgleichung der Biegelinie 1. Ordnung infolge Schub:

Bei zusätzlicher Berücksichtigung des Schubanteil $w'_S$ darf dieser erst nach der 1. Integration der Differentialgleichung der Biegelinie $w''_B$ berücksichtigt werden. Die erste Ableitung ist gegeben zu:

$w'_B = \int -\frac{M_y}{EI_y} dx + C_1$    

Es ergibt sich demnach: