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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Balkenverformung infolge von Schub

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Balkenverformung infolge von Schub

In diesem Abschnitt wird auf die Balkenverformung infolge von Schub eingegangen. Im Kapitel Biegung ist bereits die Durchbiegung des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:

$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$

Es wurde hier nun der Index $B$ eingeführt, um zu zeigen, dass es sich bei dieser Gleichung nur um den reinen Biegeanteil handelt. Die 1. Integration dieser Gleichung gibt dabei den Zusammenhang zwischen Neigungswinkel des Querschnitts und der Steigung der Biegelinie an:

$w'_B = -\varphi$

In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, wie groß der Fehler ist, wenn man den Anteil des Schubs bei der Durchbiegung vernachlässigt und nur mit der obigen Gleichung arbeitet. 

Denn neben dem reinen Biegeanteil, hat auch der Schubanteil eine Auswirkung auf die Durchbiegung des Balkens. Die Betrachtung beschränkt sich hierbei auf Schubspannungen infolge von gerader Biegung. Im Folgenden werden die Gleichungen aus dem Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie herangezogen:

$\tau = G\gamma $            

$\gamma_m = w' + \varphi $ 

$Q = G (w' + \varphi) \cdot A_s$     mit  $A_s = \kappa_s \cdot A$

Einsetzen der zweiten Gleichung in die dritte Gleichung:

$Q = G \cdot \gamma_m \cdot \kappa_s \cdot A$

Auflösen nach $\gamma_m$:

$\gamma_m = \frac{Q}{G \cdot \kappa_s A}$

mit

$ Q$ =Querkraft

$ A$ = Fläche

$ \kappa_S$ =Schubfaktor (korrigiert eine ungleichförmige Verteilung von $\gamma $)

Fasst man nun alle bisherigen Erkenntnisse zusammen, liefern diese:

Methode

$\gamma_m = w'_s = w' +\varphi = \frac{1}{G} \frac{Q}{\kappa_S A} = \frac{1}{G} \frac{Q}{ A_S}$

Es gilt außerdem:

$w'_B = -\varphi$

Die Ableitung der Durchbiegekurve $w(x)$ entspricht der negativen Neigung des Balkenquerschnitts. Anstelle der Neigung des Querschnitts $\varphi $ setzt man die Steigung der Biegelinie $ w_B' $ in die obige Gleichung ein und erhält nach dem Auflösen nach $ w' $: 

$w'_s = w' + \varphi$

$w'_s = w' - w'_B$

Methode

$w' = w'_B + w'_s$

Diese Gleichung zeigt, dass sich die gesamte Balkenbiegung aus einem reinen Biegeanteil und einem Schubanteil zusammensetzt. Die nachfolgende Gleichung beschreibt diesen Zusammenhang für die Durchbiegung erneut:

Methode

$ w = w_B + w_S $ 

mit

$w_B$  Durchbiegung (siehe Anhang im Kapitel Balkenbiegung)

$w_S$  Verformung infolge der Querkraft


Die Durchbiegung aufgrund des Biegemoments $w_B$ wurde bereits im Abschnitt Balkenverformung bei einachsiger Biegung (und folgende Abschnitte) gezeigt. In der Tabelle im Anhang Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen ist für unterschiedliche Belastungen und Lagerungen die Durchbiegung gegeben. Die Durchbiegung $w_B$ kann man daraus ablesen bzw. mittels der Verfahren (welche in den Abschnitten erläutert sind) berechnen. Im Folgenden wird nochmals die Durchbiegung aufgrund des Biegemoments aufgeführt:

Methode

Zur Erinnerung:

$\ w'_B = - \int \frac{M}{EI}dx + C_1 $

$\rightarrow w_B = - \int [ \int \frac{M}{EI}dx] dx + C_1 x + C_2 $


Die Durchbiegung infolge der Querkraft wird wie folgt bestimmt:

Methode

$w_s' = \frac{Q}{GA_s}$

$\rightarrow \; w_s = \int \frac{Q}{GA_s}dx + C_S$

Anwendungsbeispiel: Beitrag des Schubs zur Balkenverformung

Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
Beispiel

Beispiel

In diesem Beispiel wird ein Balken in der Mitte durch eine Kraft F belastet. Der Balken ist auf einem Fest- und einem Loslager gelagert. Die Länge des Balkens sei definiert durch $ l $. Wie hoch ist die maximale Durchbiegung $ w_{max} $ ?
Reiner Biegeanteil

$ w_{B,max} = \frac{Fl^3}{48EI} $ 


Diese Gleichung für den maximalen reinen Biegeanteil kann entsprechend des vorliegenden Falls passend aus der Tabelle im Anhang (Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen) entnommen werden. In der Tabelle ist gegeben:

$w_{max} =  \frac{Fb}{9\sqrt{3}EI l} (l^2 - b^2)^{\frac{3}{2}}$

Da hier die Kraft $F$ mittig angreift, ist $b = \frac{l}{2}$:

$w_{max} =  \frac{F\frac{l}{2}}{9\sqrt{3}EI l} (l^2 - (\frac{l}{2})^2)^{\frac{3}{2}}$

$w_{max} =  \frac{F}{18\sqrt{3}EI} (\frac{3}{4}l^2)^{\frac{3}{2}}$

$w_{max} =  \frac{F}{18\sqrt{3}EI} (\frac{3}{4})^{1,5}l^3$

$w_{max} =  \frac{F (\frac{3}{4})^{1,5} \cdot l^3}{18 \cdot 3^{0,5} EI}$

$w_{max} =  \frac{F 3^{1,5} \cdot l^3}{144 \cdot 3^{0,5} EI}$

$w_{max} =  \frac{F 3 \cdot l^3}{144 EI}$

$w_{max} =  \frac{F l^3}{48 EI}$

Schubanteil

Um nun auch den zweiten Anteil, also den Schubanteil bestimmen zu können, muss dieser mit Hilfe von Integration hergeleitet werden:

Ausgehend von der obigen Gleichung ist bekannt, dass

$\ w_s' = \frac{Q}{GA_s} $.

Der neue Index $s$ dient der Orientierung und steht für die Biegung durch Schub. Nach der Integration dieser Gleichung und unter der Annahme, dass die Querkraft stückweise konstant ist, erhält man für den Schubanteil:

$\ w_s = \frac{Q}{GA_s} x + C_s $.

Die Integrationskonstante $C_s$ kann mittels der Randbedingungen im Abschnitt Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle bestimmt werden. Für das Festlager ist aus diesem Abschnitt abzulesen, dass $w (x = l) = 0$ ist (Festlager ist in der Tabelle rechts). Da hier das Festlager links ist, also bei $x = 0$, gilt $w(x = 0) = 0$. Das bedeutet, wenn $x = 0$ und $w_s = 0$ gesetzt werden:

$C_s = 0$

Die Querkraft kann bestimmt werden, indem als erstes die Lagerkräfte am ungeschnittenen Balken (Grafik a) bestimmt werden. Danach wird ein Schnitt in der Mitte (dort wo die Kraft $F$ angreift) durchgeführt und für die linke Balkenhälfte die Querkraft berechnet (Grafik b).

Balkenverformung durch Schub
Berechnung der Lagerkräfte und der Querkraft

$\curvearrowleft{A}: B \cdot l - F \cdot \frac{l}{2} \; \rightarrow B = \frac{F}{2}$

$\curvearrowleft{B}: -A_v \cdot l + F \cdot \frac{l}{2} \; \rightarrow A = \frac{F}{2}$

Schnitt in der Mitte:

$\uparrow: -Q + A_v = 0 \; \rightarrow Q = A_v = \frac{F}{2}$.

(Man darf bei dem Schnitt im Abstand $x$ nicht vergessen, dass auch noch ein linksdrehendes Moment $M$ und eine Normalenkraft $N$ in $x$-Richtung auftreten. Diese wurden hier allerdings vernachlässigt, da sie nicht Gegenstand der Betrachtung sind.)

Daraus folgt für die Durchbiegung $w_s$:

$\ w_S = \frac{F}{2GA_S}\cdot x $ 

Mit dieser Gleichung und der vorher bestimmten Gleichung für den Biegeanteil erhält man schließlich die Gleichung für die Gesamtdurchbiegung:

$ w_{max} = w_{B,max} + w_{S,max} = \frac{Fl^3}{48EI} + \frac{F}{2GA_S} x $

Da die Kraft in der Balkenmitte angreift, wird für $ x = \frac{l}{2} $ eingesetzt und man erhält schließlich:

Methode

$ w_{max} = w_{B,max} + w_{S,max} = \frac{Fl^3}{48EI} + \frac{Fl}{4GA_S} $

Trägheitsradius und Schlankheitsgrad

Formt man die obige Gleichung um, so erkennt man, dass der Zusatzterm vom Verhältnis zwischen Biegesteifigkeit zu Schubsteifigkeit geprägt wird und zudem die Länge des Balkens Auswirkungen auf die Höhe des Schubverformungsanteils hat. Dieser wird durch eine Erhöhung der Länge ($l^2$ im Nenner) entsprechend geringer:

$\ w_{max}= \frac{Fl^3}{48EI} + \frac{Fl}{4GA_S} \rightarrow w_{max} = \frac{Fl^3}{48EI} (1 + \frac{12EI}{GA_S l^2})$. 

$\ G= \frac{E}{2(1+ \vartheta)} $

Gleichzeitig lässt sich das Verhältnis von Flächenträgheitsmoment und Fläche durch den Trägheitsradius $i$ beschreiben:

Methode

$\ i^2 = \frac{I}{A} $                                                       Trägheitsradius


Ergänzt wir dies zusätzlich durch den Schlankheitsgrad $\lambda $ des Stabes, welcher sich aus dem Verhältnis von Stablänge und Trägheitsradius ergibt:

Methode

$\lambda = \frac{l}{i} $                                                   Schlankheitsgrad

Durchbiegung

Übernimmt man diese drei Gleichungen und überträgt sie in Gleichung der Durchbiegung, so ändert sich letztere zu:

$\ w_{max} = \frac{Fl^3}{48EI}(1 + \frac{24(1 + \vartheta)}{\kappa_s} \frac{ i^2}{l^2}) $

$\rightarrow w_{max} = \frac{Fl^3}{48EI}(1 + \frac{24(1 + \vartheta)}{\kappa_s} \frac{ 1 }{\lambda^2})$