Gesamtkrümmung

Wir wollen uns als Nächstes die Krümmung näher anschauen. Aus dem vorherigen Abschnitt haben wir die Krümmung bestimmt zu:

Setzen wir nun die lineare Dehnungsverteilung $ \epsilon_x = \frac{z}{p} $  in das Hookesche Gesetz ein $\sigma_x = E \cdot \epsilon_x $ so erhalten wir:   

$\frac{z}{p} = \frac{\sigma_x}{E}$ 

 
Auflösen nach $\frac{1}{p}$ und einsetzen von $\kappa = \frac{1}{p}$ ergibt dann:

$\kappa = \frac{\sigma_x}{E z}$

 
Mit Einsetzen der linearen Spannungsverteilung $\sigma_x = \frac{M_y}{I_{y}} z$ erhalten wir dann die Krümmung in Abhängigkeit vom Moment um die y-Achse:

Biegemoment $M_y$ und Krümmung $\kappa_M$ sind proportional zueinander. Der Proportionalitätsfaktor ist die Biegesteifigkeit $EI$.

Dabei ist $\kappa_M$ die Krümmung infolge des auftretenden Biegemoments $M_y$.

Krümmung infolge Temperaturdifferenz

Tritt zusätzlich zur reinen Biegung eine Temperaturdifferenz $\triangle T$ auf, so wird zwischen oberer und unterer Balkenseite ein zusätzlicher Krümmungsanteil erzeugt. 

In der folgenden Grafik sei der Temperaturverlauf eines Balkens gegeben. Die Ausgangstemperatur $T_0$ befindet sich dabei auf der Schwereachse. Am oberen Rand herrscht die Temperatur $T_o$ und am unteren Rand die Temperatur $T_u$. Die Höhe des Balkens betrage $h$:

Temperaturverlauf am Balken

Der Temperaturverlauf kann näherungsweise als linear angenommen und in zwei Teile zerlegt werden:

Zerlegung des Temperaturverlaufs

In der obigen Grafik ist der Temperaturverlauf in zwei Teile zerlegt worden. Diese beiden Anteile werden miteinander addiert und es resultiert wieder der Ausgangsverlauf.

Aufgrund der Temperaturdifferenz $\triangle T$ erfolgt eine konstante Dehnung im gesamten Querschnitt. Wir haben diesen Zusammenhang bereits im Abschnitt thermische Dehnung / Gesamtdehnung behandelt:

$\epsilon_{th} = \alpha_{th}\; \triangle T $

In Abhängigkeit von $z$ ergibt sich:

$\epsilon_{th} (z) = \alpha_{th}\;  T(z) $

Der lineare Temperaturverlauf $T(z)$ ist gegeben zu:

$T(z) = \frac{\triangle T}{h} z$

Einsetzen ergibt:

$\epsilon_{th} (z) = \alpha_{th}\;  \frac{\triangle T}{h} \cdot z $

Auf Höhe der Schwereachse (z = 0) ist der lineare Anteil der Dehnung gleich Null.

Wir betrachten als nächstes die Dehnung mit $\epsilon = \frac{z}{p} $ und Krümmung $\kappa = \frac{1}{p}$ und setzen die Krümmung in die Dehnung ein:

$\epsilon = \kappa \cdot z $

Auflösen nach $\kappa$ und einsetzen der Dehnung $\epsilon = \epsilon_{th}$ infolge einer Temperaturänderung ergibt:

Die gesamte Krümmung ergibt sich aus der Krümmung aufgrund der reinen Biegung und der Krümmung infolge einer Temperaturänderung zu:

Beispiel: Krümmung eines Balkens

Balken mit Streckenlast

Lösung:

Die Krümmung der Balkenachse ohne Temperaturunterschiede ergibt sich zu:

$\kappa_M  = \frac{M_y}{EI_{yy}} $

Zur Bestimmung der Krümmung wird das Biegemoment $M_y$ benötigt. Dieses kann aus den Schnittgrößen bestimmt werden. Bevor wir mit der Bestimmung des Biegemoments beginnen können, müssen zunächst die Auflagerkräfte berechnet werden:

Freischnitt

Aus den Gleichgewichtsbedingungen können wir die Auflagerkräfte berechnen:

(1) $\rightarrow : A_x = 0$

(2) $\uparrow : A_y + B_y - R_q = 0$

(3) $\curvearrowleft^A : -R_q \cdot \frac{l}{2} + B_y \cdot l = 0$

Aus (3):

$B_y \cdot l = R_q \cdot \frac{l}{2}$

$B_y = \frac{1}{2} R_q = \frac{1}{2} q_0 \cdot l $

Aus (2):

$A_y = R_q - B_y = q_0 \cdot l - \frac{1}{2} q_0 \cdot l  = \frac{1}{2} q_0 \cdot l$

Nachdem die Auflagerkräfte berechnet wurden, kann als nächstes das Biegemoment $M_y$ bestimmt werden:

Schnittmoment

Wir haben hier das linke Schnittufer gewählt, damit wird das Biegemoment als linksdrehend (positiv) angenommen. Aus der Momentengleichgewichtsbedingung können wir dieses dann berechnen:

$\curvearrowleft : M_y - A_y \cdot x + R_{qx} \cdot \frac{x}{2} = 0$

$M_y = A_y \cdot x - R_{qx} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{2} q_0 \cdot l \cdot x - q_0 \cdot x \cdot \frac{x}{2}$

$M_y = \frac{1}{2} q_0 \cdot l \cdot x - \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2$

$M_y = \frac{1}{2} q_0 \cdot ( lx  - x^2)$

Es kann als nächstes die Krümmung bestimmt werden (allgemein):

$\kappa_M = \frac{\frac{1}{2} q_0 \cdot (lx - x^2)}{EI_{yy}} $

 Einsetzen der Werte:

$\kappa_M = \frac{\frac{1}{2} 5 kN \cdot (10x - x^2)}{EI_{yy}} $

Für die Balkenmitte $x = \frac{l}{2} = 5$ zum Beispiel, ergibt sich dann eine Krümmung von:

$\kappa_M = \frac{62,5}{EI_{yy}} $