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Baustatik 1 - Normalenhypothese von Bernoulli

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Baustatik 1

Normalenhypothese von Bernoulli

Ebene Querschnitte der Trägerelemente einer Brücke (Speicherstadt Hamburg)
Ebene Querschnitte der Trägerelemente einer Brücke (Speicherstadt Hamburg)

 

Ziel ist es die Verteilung der Normalspannung $\sigma_x$ bei reiner Biegung zu bestimmen. Hierzu betrachten wir die Normalenhypothese von Bernoulli

Merke

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Normalenhypothese von Bernoulli

Alle Querschnitte bleiben eben und stehen auch nach einer Verformung senkrecht auf der anschließend gekrümmten Balkenachse. Diese Balkenachse wird als neutrale Faser bezeichnet, da diese ihre Länge nicht verändert, also neutral gegenüber reiner Biegungen bleibt. 

 

Das bedeutet also, dass die neutrale Faser diejenige Linie ist, deren Länge sich beim Biegevorgang nicht ändert. Die weiter außen liegenden Fasern werden beim Biegen gedehnt, die weiter innen liegenden hingegen gestaucht.  Bei symmetrischen Querschnitten (Quadrat, Rechteck, Kreis) liegt die neutrale Faser genau in der Mitte des Bauteils.

Unverformter Balken mit mehreren Querschnitten
Unverformter Balken mit mehreren Querschnitten

 

In der obigen Grafik ist der unverformte Balken mit mehreren Querschnitten zu sehen. Die neutrale Faser (gestrichelte Linie) liegt auf der Balkenachse. Diese Faser ändert ihre Länge bei Verformung nicht und die Querschnitte stehen auch nach der Verformung senkrecht (im 90° Winkel) auf dieser:

Neutrale Faser
Normalenhypothese von Bernoulli

 

In der obigen Grafik ist die neutrale Faser (gestrichelt) zu sehen. Bei der Biegung des Balkens wird diese in ihrer Länge nicht verändert und die Querschnitte stehen weiterhin im 90°-Winkel zu dieser Faser (wie beim unverformten Balken). Betrachtet man die einzelnen Abschnitte des Kreisbogens im Vergleich zum Ausgangsbalken, so sieht man, dass im unteren Bereich $\downarrow$ [ z > 0 ] die Randfaser des Balkens gedehnt wird, wohingegen im oberen Bereich $\uparrow $[z < 0 ] die Randfaser des Balkens im gleichen Umfang gestaucht wird. 

Im nachfolgenden Abschnitt kann mit Annahme dieser Hypothese die Verteilung und Höhe der Spannung $\sigma_x$ berechnet werden.