ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 2: Elastostatik - Normalspannung bei reiner Biegung

Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Normalspannung bei reiner Biegung

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Normalspannung bei reiner Biegung

Merke

In diesem Abschnitt wird die Normalspannung für eine einachsige reine Biegung hergeleitet.

Bei der reinen Biegung tritt keine äußere Kraft und damit auch keine Querkraft auf. Da sich die Querkraft aus der Ableitung des Biegemoments berechnet (siehe technische Mechanik I), gilt hier, dass bei einem konstanten Moment die Querkraft den Wert null annimmt:

Methode

$M(x) = const.$   $\rightarrow \; M'(x) = 0$

$M'(x) = Q(x) \; \rightarrow \; Q(x) = 0$ .

Alternativ kann man natürlich auch wieder einen Schnitt durch den Balken durchführen und die Schnittgrößen Querkraft, Normalkraft und Biegemoment einzeichnen. Da keine äußeren vertikalen Kräfte und keine äußeren horizontalen Kräfte auf den Balken wirken (sondern nur Momente), nehmen Querkraft und Normalkraft den Wert null an.


Im Bereich der reinen Biegung treten nur Normalspannungen $\sigma_x $ auf:

Normalspannungen bei reiner Biegung
Normalspannungen bei reiner Biegung

Für die Beziehung zwischen der Spannungsverteilung für $\sigma_x $ und den resultierenden Kräften und Momenten gilt dann:

Normalkraft

Die Normalkraft berechnet sich (siehe Definition der Spannungen) aus:

$\sigma = \frac{dN}{dA}$ 

$\rightarrow \;  N = \int_A \sigma_x \; dA $ 

Die Normalkraft ist nach den Voraussetzungen gleich null, demnach gilt:

Methode

$ N = 0 \; \rightarrow \; \int_A \sigma_x dA = 0 $                             Normalkraft

Biegemomente

Bei der reinen Biegung tritt nur ein Biegemoment um die $y$-Achse auf (Belastung in $x,z$-Ebene):

Methode

 $ M_y = \int_A z \cdot \sigma_x \; dA $                                           Biegemoment

Es lässt sich auf diesem Weg zwar das Biegemoment $M_y$ erfassen, jedoch nicht die Verteilung und Höhe der Spannung $\sigma_x $. 

Neutrale Faser

Zur Lösung dieses Problems verwendet man die Normalenhypothese von Bernoulli, welche Verformungen des Balkens berücksichtigt.

Merke

Normalenhypothese von Bernoulli

Alle Querschnitte bleiben eben und stehen auch nach einer Verformung senkrecht auf der anschließend gekrümmten Balkenachse. Diese Balkenachse wird als neutrale Faser bezeichnet, da diese ihre Länge nicht verändert, also neutral gegenüber reiner Biegungen bleibt. 

Das bedeutet also, dass die neutrale Faser diejenige Linie ist, deren Länge sich beim Biegevorgang nicht ändert. Die weiter außen liegenden Fasern werden beim Biegen gedehnt, die weiter innen liegenden hingegen gestaucht. Für die gedehnte Faser besteht die Gefahr, dass sich Risse bilden. Bei symmetrischen Querschnitten (Quadrat, Rechteck, Kreis) liegt die neutrale Faser genau in der Mitte des Bauteils. 

Unverformter Balken mit mehreren Querschnitten
Unverformter Balken mit mehreren Querschnitten

In der obigen Grafik ist der unverformte Balken mit mehreren Querschnitten zu sehen. Die neutrale Faser (gestrichelte Linie) liegt auf der Balkenachse. Diese Faser ändert ihre Länge bei Verformung nicht und die Querschnitte stehen auch nach der Verformung senkrecht (im 90° Winkel) auf dieser:

Neutrale Faser
Neutrale Faser

In der obigen Grafik ist die neutrale Faser (gestrichelt) zu sehen. Bei der Biegung des Balkens wird diese in ihrer Länge nicht verändert und die Querschnitte stehen weiterhin im 90°-Winkel zu dieser Faser (wie beim unverformten Balken). Betrachtet man die einzelnen Abschnitte des Kreisbogens im Vergleich zum Ausgangsbalken, so sieht man, dass im unteren Bereich $\downarrow$ [ z > 0 ] die Faser des Balkens gedehnt wird, wohingegen im oberen Bereich $\uparrow $[z < 0 ] die Faser des Balkens im gleichen Umfang gestaucht wird. 

Kreisbogenlänge

Kreisbogenlänge bei reiner Biegung
Kreisbogenlänge bei reiner Biegung

Ob sich ein Abschnitt im Balken durch Biegung dehnt oder staucht, lässt sich anhand der Kreisbogenlänge des entsprechenden Abschnitts durch folgende Beziehung bestimmen:

Methode

$ ds = (p + z)d\varphi $     Kreisbogenlänge zwischen zwei Nachbarquerschnitten

mit

$p $ = Krümmungsradius

$d\varphi $ = Neigungswinkel zwischen zwei im Abstand $ dx$ benachbarten Querschnitten [linker und rechter Rand eines Abschnitts] auf der neutralen Faser.

$ds$ = unterer Kreisbogen.

Ist $ z = 0 $ (neutrale Faser), so verkürzt sich obige Beziehung zu:

Methode

$ dx = p \; d\varphi $ 

Krümmung

Die Krümmung $\kappa $ stellt den Kehrwert des Krümmungsradiuses dar und hat unter Berücksichtigung von $z = 0$ daher die Form:

Methode

$ \kappa = \frac{1}{p} = \frac{d\varphi}{dx} = \varphi' $                  Krümmung

Dehnung

Das Ausmaß der Dehnung der Faser lässt sich über die Abstände zweier gewählter Punkte vor und nach der Verformung ermitteln. Bei der Wahl der Punkte ist darauf zu achten, dass beide einen identischen Wert für die z-Achse besitzen. In der obigen Grafik sollen das die Punkte $A$ und $B$ sein, welche einen identischen Wert für die $z$-Achse besitzen. Formal schreibt man:

$ \epsilon_x = \frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}} = \frac{(p + z)d\varphi - p \; d \varphi}{p \; d \varphi} $

$ \overline{A'B'}$ = Neuer Abstand

$ \overline{AB}$ = Alter Abstand


Nach dem Kürzen der obigen Gleichung erhält man die in $z$ lineare Dehnungsverteilung:

Methode

$ \epsilon_x = \frac{z}{p} $                                Lineare Dehnungsverteilung

Spannung

Mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes lässt sich schließlich auch die lineare Spannungsverteilung ermitteln. Setzt man voraus, dass $\sigma_y = \sigma_z = 0 $, so ergibt sich diese zu:

Methode

$\sigma_x = E \cdot \epsilon_x = E \cdot \frac{z}{p} $         Lineare Spannungsverteilung

$ E$ = E-Modul, welches aus Tabellenwerken entnommen werden kann.

Zugspannungen liegen vor, wenn $ z > 0 $ und Druckspannungen liegen vor, wenn $ z < 0 $ wird. Zudem liegt in beiden Fällen ein positives Biegemoment $ M = M_y $ vor und die neutrale Faser hat weiterhin die Eigenschaft $\sigma_x = 0 $:

Zug-/ Druckspannungen bei reiner Biegung
Zug-/ Druckspannungen bei reiner Biegung

Relation zwischen Biegemoment und Normalspannung

Um nun die Normalspannungen bei reiner Biegung aus den Schnittgrößen bestimmen zu können, betrachtet man das Biegemoment $M_y$. Wie oben bereits aufgeführt, wird sowohl die Normalkraft als auch die Querkraft bei reiner Biegung gleich null. Es verbleibt also das Biegemoment, welches um die $y$-Achse dreht. Dieses wird bestimmt durch:

$M_y = \int_A z \cdot \sigma_x \; dA$


Einsetzen von $\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p} $ ergibt:

$M_y = \int_A E \cdot \frac{z^2}{p} \; dA$

$M_y = \frac{E}{p} \int_A z^2 \; dA$


Wobei $\int_A z^2 \; dA = I_{yy}$

$M_y = \frac{E}{p} \cdot I_{yy}$

Umstellen der Formel für die Normalspannung nach $\frac{E}{p}$:

$\frac{E}{p} = \frac{\sigma_x}{ z}$

Einsetzen in $M_y$:

$M_y = \frac{\sigma_x}{ z} \cdot I_{yy}$


Umgestellt nach der Normalspannung $\sigma_x$ ergibt sich:

Methode

$\sigma_x = \frac{M_y}{I_{yy}} z $           Normalspannung (einachsige Reine Biegung)

Hier ist die Spannung nicht mehr vom Flächeninhalt selbst abhängig, sondern vom Flächenträgheitsmoment $I_{yy}$ zweiter Ordnung. 

Die obige Formel wird zur Berechnung der Normalspannung bei einachsiger reiner Biegung herangezogen.