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Baustofftechnik 1 - Wahre Spannung und Dehnung

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Baustofftechnik 1

Wahre Spannung und Dehnung

Bei Belastungen von Baustoffen treten zwei Ausprägungen von Spannungen und Dehnungen auf. Wir werden in diesem Kurstext 

  • die technische Spannung und Dehnung von
  • der wahren Spannung und Dehnung

unterscheiden.

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenIm Zugversuch ermittelt man die technische Spannung $ \sigma$ direkt. Eine Messung der wahren Spannung $ \sigma_w $ ist mit dem Zugversuch nicht möglich, sofern nicht parallel eine optische Auswertung stattfindet.

Technische Spannung und Dehnung

Wenn wir die technische Spannung und Dehnung bestimmen möchten, so ist es notwendig die Kraft auf die Ausgangsfläche $ A_0 $ und die Längenänderung auf die Ausgangslänge $ l_0 $ zu beziehen. Formal sieht das dann wie folgt aus:

Methode

Hier klicken zum AusklappenTechnische Spannung: $ \sigma = \frac{F}{A_0} $

und

Methode

Hier klicken zum AusklappenTechnische Dehnung: $ \epsilon = \frac{\Delta l}{l_0} $

Die Belastungen entstehen infolge von Krafteinwirkungen oder Temperaturänderungen (Wärmedehnungen). 

Merke

Hier klicken zum AusklappenIn der Fachliteratur findet man nicht selten anstelle der Bezeichnung technische Dehnung den Ausdruck Cauchy-Dehnung. 

Wahre Spannung und Dehnung

Sobald eine Last veränderlich ist, treten Änderungen des Querschnitts und der Länge auf. Beide veränderlichen Größen $ A_i $ und $ l_i $ müssen wir dann in unseren Berechnungen berücksichtigen. Es ergibt sich die wahre Spannung $ \sigma_w $ und die wahre Dehnung $\epsilon_w $ immer für den betrachteten Zeitpunkt $ i $. Die formale Schreibweise ist hier:

Methode

Hier klicken zum AusklappenWahre Spannung: $\sigma_w = \frac{F}{A_i} $

und

Methode

Hier klicken zum AusklappenWahre Dehnung: $ \epsilon_w = \int_{l_o}^{l_i} \frac{dl}{l} $

Plastische Verformungen

Tritt der Zustand einer plastischen Verformung ein, so bleibt das Volumen des verformten Körpers gegenüber des Ausgangsvolumens des unverformten Körpers zu jedem Zeitpunkt $ i $ konstant, da keine Materie abhanden gekommen ist. Diese Tatsache führt uns zu folgender Gleichung:

Methode

Hier klicken zum AusklappenVolumenkonstanz: $ A_0 \cdot l_0 = A_i \cdot l_i $

berücksichtigen wir, dass $ l_i = l_0 + \Delta l $ ist, so erhalten wir für $ A_i $:

$ A_i = \frac{A_0}{1 + \epsilon} $

und unsere Gleichung für die wahre Spannung ändert sich zu:

Methode

Hier klicken zum AusklappenWahre Spannung [umformuliert]: $ \sigma_w = \frac{F}{A_0} \cdot (1 + \epsilon) = \sigma \cdot (1 + \epsilon) $.

Die gleiche Anpassung nehmen wir für die wahre Dehnung vor:

Methode

Hier klicken zum AusklappenWahre Dehnung [umformuliert]: $ \epsilon = \int_{l_0}^{l_i} \frac{dl}{l} = ln \frac{l_i}{l_0} = ln ( \frac{l_o + \Delta l}{l_0} ) = ln (1 + \epsilon) $

Merke

Hier klicken zum AusklappenUnsere Gleichungen für die wahre Spannung und Dehnung sind nun so umformuliert, dass sie allein aus den Werten für die technische Spannung und Dehnung ermittelt werden können.