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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Ableitungen höherer Ordnung

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Ableitungen höherer Ordnung

Inhaltsverzeichnis

Existiert eine differenzierbare Funktion $\ f(x)$ und besitzt diese zudem eine differenzierbare Ableitung $ f'(x)$, so ist $f$ zweimal differenzierbar.

Die 2. Ableitung schreibt sich $ f''(x) := (f'(x))'$

Ist die Funktion $f^{(n)}$ mehrfach differenzierbar, so spricht man von der  $n$-ten Ableitung von $ f $.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Man berechne die 2. Ableitung von $ f(x) = x^3 + 3x^2 $

Man erhält in 2 Schritten:

I $\rightarrow f'(x)=3x^2 + 6x$

II $\rightarrow f''(x)= 6x + 6$

Die Vorgehensweise des Differenzierens ist identisch mit der Ableitung erster Ordnung und kann für eine Funktion  $n$-ten Grades n-mal durchgeführt werden.

Krümmungsverhalten

Die 2. Ableitung bestimmt das Krümmungsverhalten der Stammfunktion $ f(x)$ an der Stelle  $x$. Ist die Krümmung positiv, so handelt es sich um eine "Links-Kurve" und ist sie negativ um eine "Rechts-Kurve".

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Eine Funktion $f $ heißt linksgekrümmt wenn $f''(x) > 0$ und rechtsgekrümmt wenn $f''(x) < 0$.
Krümmungsverhalten
Krümmungsverhalten

In der obigen Grafik ist zu erkennen, dass für alle Werte $x < -1$ eine Rechtskrümmung vorliegt, also $F´´(x) < 0$ und für alle Werte $x > -1$ eine Linkskrümmung vorliegt, also $f``(x) > 0$. Bei $x = -1$ geht die Funktion von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Diesem Punkt nennt man Wendepunkt.