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Ableitungen, bzw. Differentialquotienten, werden aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve.
Methode
Liegt eine Funktion $\ f$ auf dem Intervall $\ I \subseteq \mathbb{R}$ und ist $\ x_0 \in I$, so ist $\ f$ in $\ x_0$
differenzierbar, wenn der Grenzwert
$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$ existiert und
endlich ist. Diesen Grenzwert bezeichnet man mit $\ f´(x)$ oder $\frac{\triangle f(x)}{\triangle x} $.
Ein allgemeines Beispiel für eine Funktion mit einer Ableitung erster Ordnung ist
$\ f(x) = a\cdot x + b \rightarrow f'(x) = a;\ a,b \in \mathbb{R}$.
Die Funktion hat in jedem Punkt die gleiche Steigung. Also egal welchen $x$-Wert man betrachtet, die Funktion hat an jeder Stelle die Steigung $a$.
Beweis
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[a(x + h) + b - (ax + b)]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[ax + ah + b - ax - b]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} ah = a$
Die Funktion $f(x) = ax^2 + b \rightarrow f'(x) = 2ax$ hingegen hat die Steigung $2ax$. Das bedeutet, dass die Funktion für verschiedene $x$-Werte auch eine unterschiedliche Steigung aufweist.
Beweis
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[a(x + h)^2 + b - (ax^2 + b)]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[ax^2 + 2axh + ah^2 + b - ax^2 - b]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[2axh + ah^2]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}[2ax + ah]$
$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} 2ax + a \cdot 0 = 2ax$
In der obigen Grafik ist deutlich zu sehen, dass die Steigung in den einzelnen Punkten unterschiedlich ist. Zur Verdeutlichung wurde eine Tangente eingefügt, welche die gleiche Steigung wie der Punkt $x = 1$ besitzt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die anderen Punkte eine andere Steigung aufweisen.
Die in der obigen Grafik eingezeichnete Tangente liegt im Punkt $x =1$ und weist dieselbe Steigung auf wie die Funktion in diesem Punkt. Für jeden Punkt auf der Funktion kann eine solche Tangente approximiert werden.
Merke
Beim Ableiten wird die Funktion linearisiert, d.h. durch eine einfachere Funktion, nämlich eine Gerade (lineare Funktion), ersetzt. Bei dieser Gerade handelt es sich um die Tangente im Ableitungspunkt.
Allgemeine Bestimmung der Tangente
Methode
$g(x) = f(x_0) + f´(x_0)(x - x_0)$
Bei $x_0$ handelt es sich um den betrachteten Punkt, für welchen die Tangente bestimmt werden soll. Diese weist dieselbe Steigung auf, wie die Funktion in diesem Punkt $x_0$.
Im obigen Fall für $x_0 = 1$:
$f(1) = 5, f´(1) = 4$
$g(x) = 5 + 4(x - 1)$
$g(x) = 4x + 1$ Tangente im Punkt $x =1$ mit derselben Steigung wie die Funktion in diesem Punkt
Merke
$\ f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1} $.
Beispiel
Differenziere folgende Stammfunktion $\ f(x) = 5 \cdot x^4 + 3 \cdot x^3 + 9 \cdot x^2 + 9$
Hierbei wird der bisherige Wert des Exponenten mit dem Faktor vor der Variablen $x$ multipliziert und der Exponent um den Wert Eins reduziert. Terme ohne Variable fallen, wie bereits erwähnt, weg.
$ f`(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{4-1} + 3\cdot 3 \cdot x^{3-1} + 9\cdot 2 \cdot x^{2-1} + \not{9}$
$ f`(x) = 20 \cdot x^3 + 9 \cdot x^2 + 18 \cdot x$
Merke
Setzt man die 1. Ableitung gleich Null und löst diese nach $x$ auf, so erhält man die Extrempunkte bzw. Wendepunkte der Funktion. Um diese jedoch genau bestimmen zu können, benötigt man die nächst höhere Ableitung.
