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Ableitungen erster Ordnung

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Ableitungen, bzw. Differentialquotienten, werden aus der Stammfunktion erzeugt. Die Ableitung erster Ordnung gibt die Änderung der Stammfunktion an, d.h. sie gibt Auskunft über die Steigung der Funktionskurve.

Methode

Liegt eine Funktion $\ f$ auf dem Intervall $\ I \subseteq \mathbb{R}$ und ist $\ x_0 \in I$, so ist $\ f$ in $\ x_0$

differenzierbar, wenn der Grenzwert   

$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$   existiert und

endlich ist. Diesen Grenzwert bezeichnet man mit $\ f´(x)$ oder $\frac{\triangle f(x)}{\triangle x} $.


Ein allgemeines Beispiel für eine Funktion mit einer Ableitung erster Ordnung ist 

$\ f(x) = a\cdot x + b \rightarrow f'(x) = a;\ a,b \in \mathbb{R}$.

Die Funktion hat in jedem Punkt die gleiche Steigung. Also egal welchen  $x$-Wert man betrachtet, die Funktion hat an jeder Stelle die Steigung  $a$.

Beweis:  

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[a(x + h) + b - (ax + b)]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[ax + ah + b - ax - b]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} ah = a$

Steigung1
Funktion mit konstanter Steigung


Die Funktion  $f(x) = ax^2 + b \rightarrow f'(x) = 2ax$  hingegen hat die Steigung  $2ax$.  Das bedeutet, dass die Funktion für verschiedene  $x$-Werte auch eine unterschiedliche Steigung aufweist.   

Beweis:

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[f(x + h) - f(x)]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[a(x + h)^2 + b - (ax^2 + b)]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[ax^2 + 2axh + ah^2 + b - ax^2 - b]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}[2axh + ah^2]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}[2ax + ah]$

$f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}   2ax + a \cdot 0 = 2ax$

Steigung
Funktion mit unterschiedlicher Steigung

In der obigen Grafik ist deutlich zu sehen, dass die Steigung in den einzelnen Punkten unterschiedlich ist. Zur Verdeutlichung wurde eine Tangente eingefügt, welche die gleiche Steigung wie der Punkt  $x = 1$  besitzt. Es ist deutlich zu erkennen, dass die anderen Punkte eine andere Steigung aufweisen.

Die in der obigen Grafik eingezeichnete Tangente liegt im Punkt $x =1$ und weist dieselbe Steigung auf wie die Funktion in diesem Punkt. Für jeden Punkt auf der Funktion kann eine solche Tangente approximiert werden.

Merke

Beim Ableiten wird die Funktion linearisiert, d.h. durch eine einfachere Funktion, nämlich eine Gerade (lineare Funktion), ersetzt. Bei dieser Gerade handelt es sich um die Tangente im Ableitungspunkt.

Allgemeine Bestimmung der Tangente

Methode

$g(x) = f(x_0) + f´(x_0)(x - x_0)$

Bei $x_0$ handelt es sich um den betrachteten Punkt, für welchen die Tangente bestimmt werden soll. Diese weist dieselbe Steigung auf, wie die Funktion in diesem Punkt $x_0$.

Im obigen Fall für  $x_0 = 1$:

$f(1) = 5, f´(1) = 4$

$g(x) = 5 + 4(x - 1)$  

$g(x) = 4x + 1$  Tangente im Punkt $x =1$ mit derselben Steigung wie die Funktion in diesem Punkt

Merke

Wiederholung: Die Ableitung 1. Ordnung für Funktionen mit Exponenten sieht wie folgt aus


$\ f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1} $.

Beispiel

Differenziere folgende Stammfunktion $\ f(x) = 5 \cdot x^4 + 3 \cdot x^3 + 9 \cdot x^2 + 9$

Hierbei wird der bisherige Wert des Exponenten mit dem Faktor vor der Variablen  $x$  multipliziert und der Exponent um den Wert Eins reduziert. Terme ohne Variable fallen, wie bereits erwähnt, weg.

$ f`(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{4-1} + 3\cdot 3 \cdot x^{3-1} + 9\cdot 2 \cdot x^{2-1} + \not{9}$

$ f`(x) =  20 \cdot x^3 + 9 \cdot x^2 + 18 \cdot x$

Merke

Setzt man die 1. Ableitung gleich Null und löst diese nach $x$ auf, so erhält man die Extrempunkte bzw. Wendepunkte der Funktion. Um diese jedoch genau bestimmen zu können, benötigt man die nächst höhere Ableitung.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.

Differenziere folgende Funktion :



$\ f(x) = 4x^2 $

$\ f(x)' = $

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

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Autor: Jessica Scholz

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Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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    "Waaaaaaaaaaaaaaaaaaahnsinn einfach nur sein Geld wert :D Nur 25€ für solch einen Kurs würden auch reichen ;) wir sind schließlich Studenten und noch keine Akademiker ;-D aber auf jedenfall TOP Immer, wenn ich in der Uni sitze und nichts verstehe und dann an diesen Kurs hier denke, komme ich mir in der Uni richtig dumm vor :-D mir fehlen einfach die Worte Note 1 reicht garnicht :)"

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    Ein Kursnutzer am 13.10.2014:
    "Kurz und kapp,werden die Inhalte (wesentliche und wichtige) verständlich erklärt. "

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    Ein Kursnutzer am 22.08.2014:
    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

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