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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Ableitungsregeln

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Ableitungsregeln

Elementare Funktionen sind an allen Stellen an denen sie definiert sind auch differenzierbar. Hierbei geht man selten auf die Definitionen zurück. Stattdessen benutzt man Ableitungsregeln, um auch aufwendige Funktionen differenzieren zu können.

Im Folgenden eine Übersicht der Ableitungsregeln:

Summenregel

  • $\ (u + v)' = u' + v' $

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = 5x^2 + 3x$

$(u + v)' = (5x^2 + 3x)´ = 10x + 3$

$u' + v' = (5x^2)´ + (3x)´ = 10x + 3 $

  • $\ (ru)' = ru' $                        [konstanter Faktor $\ r \in \mathbb{R}$]

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x) = 10x^2$

$(ru)' = (10x^2)´= 20x$

$ru' = 10 \cdot (x^2)´= 10 \cdot 2x^2 = 20x$

Produktregel

$\ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion: $5x^3 \cdot 4x^2$

$(u \cdot v)' = (20x^5)´= 100x^4$

$u' \cdot v + u \cdot v' = 15x^2 \cdot 4x^2 + 5x^3 \cdot 8x = 60x^4 + 40x^4 = 100x^4$

Quotientenregel

$\ (\frac{u}{v})' = \frac{ u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}, \     v(x) \not = 0 $

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion: $\frac{x^3}{5x^4}$

$(\frac{u}{v})' = (\frac{x^3}{5x^4})´ = (\frac{1}{5x})´ = (\frac{1}{5}x^{-1})´ = -\frac{1}{5} x^{-2} = -\frac{1}{5x^2}$

$\frac{ u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \frac{(3x^2) \cdot (5x^4) - (x^3) \cdot (20x^3)}{(5x^4)^2}$

$= \frac{15x^6 - 20x^6}{25x^8} = \frac{-5x^6}{25x^8} = -\frac{1}{5x^2}$

Kettenregel

Ist eine Funktion $\ f $ mit $\ f(x) = u( v(x))$ eine aus $\ u(v)$ und $\ v(x) $ zusammengesetzte Funktion und sind diese an einer Stelle a differenzierbar, ist auch die zusammengesetzte Funktion differenzierbar.

$\ f'(a) = u' ( v(a)) \cdot v'(a)$

Beispiel

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Differenziere $\ y = (t^4 - 2)^2$  mittels Kettenregel

Nach dem Prinzip von äußerer Ableitung multipliziert mit innerer Ableitung, erhält man schließlich

$\frac {dy}{dt} = 2(t^4-2) \cdot 4t^3$.

Beispiel

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Differenziere $\ y = \sqrt{t^4 - 2}$  mittels Kettenregel

Auch hier kann die Kettenregel angewandt werden. Die Funktion kann auch geschrieben werden zu:

$\ y = (t^4 - 2)^{\frac{1}{2}}$

Äußere mal innere Ableitung ergibt dann:

Äußere Ableitung: $\frac{1}{2} (t^4 - 2)^{-\frac{1}{2}}$

Wichtig: Das $\frac{1}{2}$ über der Klammer wird negativ da: $\frac{1}{2} - 1$

Innere Ableitung: $4t^3$

Zusammen:

$\ y' = \frac{1}{2} (t^4 - 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4t^3$

Das kann wieder als Wurzel geschrieben werden. Da nun aber ein $-\frac{1}{2}$ resultiert, muss die Wurzel unter den Bruchstrich:

$\ y' = \frac{1}{2 \sqrt{t^4 - 2}} \cdot 4t^3$

$\ y' = \frac{2t^3}{\sqrt{t^4 - 2}}$